Problème dans $L_{per}^2(Y)$

poli12
poli12
dans Analyse
Bonjour
$L_{per} ^2(Y)$ est le sous-ensemble de $L^2(Y)$ formé des fonctions qui sont $1$-périodiques. Soit $f=(f_1,\ldots,f_N)$ une fonction bornée et $1$-périodique, j'aimerais savoir si $\mathrm{div}(f) \in L_{per} ^2(Y),$ où $Y=[0,1]^N,\ N\in \mathbb N$.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    bonjour poli,
    si f dans $L^2(Y)$, quel sens donnes-tu à $div f$?
    Le 😄 Farceur


  • poli12
    poli12
    bonjour gebrane. j'ai changé avant ton poste.
  • gebrane
    gebrane
    J'ai bien vu ton édit avant! dans quel sens tu considères les dérivées partielles des $ f_i$
    Le 😄 Farceur


  • poli12
    poli12
    aux sens des distributions.
  • gebrane
    gebrane
    une dérivation au sens des distributions ne garantie pas qu'une fonction L^2 periodique reste L^2. tu peux construire des exemples pour faire apparaître Dirac après dérivation
    Le 😄 Farceur


  • poli12
    poli12
    Bien que Y soit bornée ?
    Bref je me pose la question de savoir si $(uv)’=u’v+v’u$ dans $L^2(Y)$.
  • gebrane
    gebrane
    Negative, prend u=v= fonction de Heaviside
    Le 😄 Farceur


  • O.G.
    O.G.
    Périodique ou pas, si $f$ est dans $L^2$ pour que $div(f)$ soit dans $L^2$, il en faut un peu plus sur $f$...
  • poli12
    poli12
    Ça veut dire que l’orientation que je prends n’est pas bonne. Au fait je vais vous envoyer le document de G.Allaire sur lequel je travaille peut-être vous sauriez mieux m’indiquer quel axe suivre.
  • poli12
    poli12
    voici le document dans lequel je travaille. Il y a le lemme 1.2.1 de la page 7. qu'on applique sur le problème 1.9. je ne comprends pas comment ils font pour appliquer cela? En fait je n'arrive pas à me mettre dans les hypothèses pour appliquer cela. Merci pour toute aide.
  • Tryss
    Tryss
    Si je ne m'abuse, on peut réecrire le problème (1.9) sous la forme

    $-\text{div}A(y)\nabla_yw_i(y) = f(y)$, avec $f(y) = \text{div}A(y) e_i$

    Reste alors à montrer que $\int_Y f(y) dy = 0$, ce qui est ici une conséquence du théorème de la divergence + la périodicité de A(y)
  • poli12
    poli12
    Mais le théorème demande d’abord que $f \in L_{per} ^2 (Y)$. Et mon problème est que je n’arrive pas à montrer cela lorsque je prends $f=Ae_i$
    je voulais dire que le théorème demande d’abord que $f \in L_{per} ^2 (Y)$. Et mon problème est que je n’arrive pas à montrer cela lorsque je prends $f=div(Ae_i)$ . ou $Ae_i$ est le produit du tenseur A et du vecteur $e_i$
  • gebrane
    gebrane
    Il faut comprendre ce qu'est ce A, ça dit que c'est la matrice d'un tenseur d'ordre 2. Il faut voir si A(y) signifie le produit A.y ( produit matrice par un vecteur)
    Le 😄 Farceur


  • Tryss
    Tryss
    Tout est sur la page 2 du document.

    La propriété (1.1) permet de montrer que c'est dans $L^2(Y)$, et deux phrases plus loin,

    " The matrix $A(y)$ is a periodic function of $y$, with period $Y$", d'où l'on déduit que $y \mapsto A(y)e_i$ est dans $L^2_{per}(Y)$
  • gebrane
    gebrane
    Tryss, on veut que sa divergence soit L^2
    Le 😄 Farceur


  • abdelbaki.attioui
    abdelbaki.attioui
    $\newcommand{\div}{\operatorname{div}}$Bonjour, si mes souvenirs sont justes.
    Soit $f\in L^2(Y)$, alors $T:\phi\in D(Y) \to\R$ définie par : $T(\phi)=-\int_Y f\div(\phi)$ est une distribution.
    Car par Cauchy-[large]S[/large]chwarz $$
    |T(\phi)|\leq \Big(\int_Yf^2\Big)^{1/2} \sup_Y \Big|\div(\phi)\Big|.
    $$ On dit alors que $f$ admet une divergence au sens distribution et on note $\div(f)=T$. Ceci n'implique pas toujours $\div(f)\in L^2(Y)$ i.e $T$ régulière, mais $\div(f)\in L^2(Y)$ dans le cas $f\in H^1(Y)$.

    [Herman Schwarz (1843-1921), tout comme Augustin Cauchy (1789-1857) prennent tous deux des majuscules. AD]
  • poli12
    poli12
    Je n'ai pas pu montrer que $\div(Ae_i) \in L_{per} ^2(Y)$ j'ai fait la formulation variationnelle de ces problèmes aux cellules pour pallier à ce problème mais je voulais vraiment utiliser ce lemme.
  • poli12
    poli12
    abdelbaki.attioui
    comment montres-tu que $\sup_{Y}\div(f)$ existe ?
  • gebrane
    gebrane
    Poli de ma part, désolé je ne peux pas t'aider car il faut lire ton papier minutieusement et comprendre les notations. Je n'ai pas le temps ni l'envie. mais si tu poses une questions précise avec des notations claires, peut-être !
    Le 😄 Farceur


  • poli12
    poli12
    D'accord gebrane bien que je n'arrive pas à être plus clair que cela.
    Merci bien
  • O.G.
    O.G.
    En fait le lemme est valable avec un second membre plus général que $L^2_{per}$, du style dans le dual de $H^1_{per}$. Je te conseille en parallèle le livre de "Introduction to homogenization" de P. Donato et D. Cioranescu, il y a tout une partie sur les pbs elliptiques périodiques...
  • poli12
    poli12
    S'il vous plait $OG$ vous pouvez avoir ce livre en pdf?
  • Tryss
    Tryss
    A mon avis, il y peu de chance que $\text{div}(A(y)e_i)$ soit $L^2$ dans tout les cas.

    Ne serait-ce que parce que si $A(y)e_i$ n'est pas continu, sa divergence n'est pas forcément une fonction.
  • poli12
    poli12
    Bonsoir je profite de ces notations pour demander si quelqu'un peu m'aider à montrer que $D_{per}(Y)$ est dense dans $L_{per} ^2(Y)$?
  • O.G.
    O.G.
    $L^2_{per}(Y)$ ($Y$ étant un pavé ouvert) c'est juste une fonction définie p.p. sur $\R^N$, $Y$-périodique et dont la restriction à $Y$ est $L^2$. Normalement $Y$ est un ouvert, donc pour la densité on approche la restriction sur $Y$ par une fonction $C^\infty$ à support compact dans $Y$ et après on étend la fonction régulière à $\R^N$ tout entier par périodicité...
  • poli12
    poli12
    Merci beaucoup
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 43

DomGuegoLucasMath CossNicoLeProfjelobreuilmtho5pozzarraoul.Szeste +33 Invités