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Inégalité

Envoyé par Le fustré 
Inégalité
il y a neuf mois
$\newcommand{\dist}{\mathrm{dist}}$Bonsoir, j'ai besoin d'aide s'il vous plaît.
On me donne quatre cubes disjoints $Q_0,\,Q_1,\,Q_2$ et $Q_3$ de même longueur tels que \[
\dist(x,Q_3)>\dist(x,Q_2)>\dist(x,Q_1),\quad \forall x\in Q_0.
\] Puis on me dit qu'il existe $c>0$ indépendant de $x $ tel que \[
\ln(e+\dist(x,Q_3))\geq c\ln(e+3).
\] Mais je ne vois pas cet inégalité.
Je partais du fait que $\dist(x,Q_1)>\frac{1}{2}long(Q_0)$,
mais je n'obtiens pas le résultat souhaité.
Bien cordialement.

[Correction de "quatre" sans 's' (merci à EV) AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Inégalité
il y a neuf mois
avatar
Bonjour,

Tu n'es pas clair sur les hypothèses et le résultat cherché.

L'inégalité revient à $d(x,Q_3) \geq (e+3)^c-e$ qui, pour $c>0$ couvre $[0, +\infty[.$ Donc on a aucune contrainte sur $d(x,Q_3)$, non ?
Re: Inégalité
il y a neuf mois
Oui.
Pour être plus exact, les $(Q_i)_i $ forment une partition de $\mathbb{R}^n$ où on les a ordonné comme ci-haut.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Le fustré.
Re: Inégalité
il y a neuf mois
avatar
Bonjour,

Toujours pas.

Quand tu écris, 'on me dit que', c'est une hypothèse ou une implication ?
Re: Inégalité
il y a neuf mois
Je veux montrer que si
\[d(x,Q_3)>d(x,Q_2)>d(x,Q_1)\] alors il existe $c>0$ tel que \[\ln(e+d(x,Q_3))\geq c\ln(e+3).\]
Re: Inégalité
il y a neuf mois
Le terme de gauche est supérieur ou égal à 1, donc en prenant $c = \frac{1}{2 \ln(e+3)}$ on a le résultat, même pas besoin de ton hypothèse
Re: Inégalité
il y a neuf mois
C'est bien vrai, mais ce n'est pas exactement ce que je recherche.
L'objectif final est de montrer que pour tout $j\geq1$, si \[
d(x,Q_j)>\cdots >d(x,Q_1)\] alors il existe $c>0$ indépendant de $j $ tel que \[\ln(e+d(x,Q_j))\geq c\ln(e+j).
\] Comme indication on dit qu'il y a au plus $(2j)^n$ cubes tels que la distance de $x $ à chacun de ses cubes est plus petit que $j\mathrm{long} (Q_0) $.
Mais je ne vois pas comment l'utiliser.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Inégalité
il y a neuf mois
On dirait un énoncé fortement incomplet, et une tentative de résolution qui ne tient pas compte de la totalité de l'énoncé. L'idée que des cubes puissent être une partition (au départ, il y en avait seulement 4 ! ) de $\mathbb R^n$ par exemple demande à être précisée. Elle heurte les hypothèses posées au départ. Sans compter qu'avec des cubes identiques, on ne peut pas partitionner $\mathbb R^n$ sans leur imposer des conditions de bord adéquates.

Cordialement.
Re: Inégalité
il y a neuf mois
On peut écrire $\R^n $ comme réunion de cubes d'intérieur deux à deux disjoints. Par des cubes dyadiques. Voir la définition 2.2 et je ne comprends pas bien la première partie de la preuve du théorème 2.2. Celle qui concerne l'inégalité. Voir le fichier ci-joint.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
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