Inégalité
$\newcommand{\dist}{\mathrm{dist}}$Bonsoir, j'ai besoin d'aide s'il vous plaît.
On me donne quatre cubes disjoints $Q_0,\,Q_1,\,Q_2$ et $Q_3$ de même longueur tels que \[
\dist(x,Q_3)>\dist(x,Q_2)>\dist(x,Q_1),\quad \forall x\in Q_0.
\] Puis on me dit qu'il existe $c>0$ indépendant de $x $ tel que \[
\ln(e+\dist(x,Q_3))\geq c\ln(e+3).
\] Mais je ne vois pas cet inégalité.
Je partais du fait que $\dist(x,Q_1)>\frac{1}{2}long(Q_0)$,
mais je n'obtiens pas le résultat souhaité.
Bien cordialement.
[small][Correction de "quatre" sans 's' (merci à EV) AD][/small]
On me donne quatre cubes disjoints $Q_0,\,Q_1,\,Q_2$ et $Q_3$ de même longueur tels que \[
\dist(x,Q_3)>\dist(x,Q_2)>\dist(x,Q_1),\quad \forall x\in Q_0.
\] Puis on me dit qu'il existe $c>0$ indépendant de $x $ tel que \[
\ln(e+\dist(x,Q_3))\geq c\ln(e+3).
\] Mais je ne vois pas cet inégalité.
Je partais du fait que $\dist(x,Q_1)>\frac{1}{2}long(Q_0)$,
mais je n'obtiens pas le résultat souhaité.
Bien cordialement.
[small][Correction de "quatre" sans 's' (merci à EV) AD][/small]
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Réponses
Tu n'es pas clair sur les hypothèses et le résultat cherché.
L'inégalité revient à $d(x,Q_3) \geq (e+3)^c-e$ qui, pour $c>0$ couvre $[0, +\infty[.$ Donc on a aucune contrainte sur $d(x,Q_3)$, non ?
Pour être plus exact, les $(Q_i)_i $ forment une partition de $\mathbb{R}^n$ où on les a ordonné comme ci-haut.
Toujours pas.
Quand tu écris, 'on me dit que', c'est une hypothèse ou une implication ?
\[d(x,Q_3)>d(x,Q_2)>d(x,Q_1)\] alors il existe $c>0$ tel que \[\ln(e+d(x,Q_3))\geq c\ln(e+3).\]
L'objectif final est de montrer que pour tout $j\geq1$, si \[
d(x,Q_j)>\cdots >d(x,Q_1)\] alors il existe $c>0$ indépendant de $j $ tel que \[\ln(e+d(x,Q_j))\geq c\ln(e+j).
\] Comme indication on dit qu'il y a au plus $(2j)^n$ cubes tels que la distance de $x $ à chacun de ses cubes est plus petit que $j\mathrm{long} (Q_0) $.
Mais je ne vois pas comment l'utiliser.
Cordialement.