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Distributions tempérées

Envoyé par mati 
Distributions tempérées
il y a neuf mois
Bonjour
Je cherche à démontrer le résultat suivant: toute fonction $f \in L^1_{loc}(\R)$ majorée par un polynôme $P$, est une distribution tempérée. Les polynômes eux mêmes sont des distributions tempérées.
Voici ce que j'ai essayé.
$f \in L^1_{loc}(\R)$ veut dire qu'il définie une distribution $T_f$ par: pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ on a $$

<T_f,\varphi>= \displaystyle\int_{\R^n} f(x) \varphi(x) dx.

$$ On suppose qu'il existe un polynôme $P$ tel que $\forall x \in \R^n: f(x) \leq P(x)$. On a $$

|\langle T_f,\varphi\rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}} |
=
\Big|\int_{\R^n} f(x) \varphi(x) dx\Big| \leq \displaystyle\int_{\R^n} |P(x) \varphi(x)| dx.

$$ Pas d'idée pour finir la démonstration.
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Bonsoir,
Quelle est la définition d’une distribution tempérée ?
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
La définition d'un élément de $S'(\R^n)$ est la suivante:
Soit $T \in \mathcal{D}'(\R^n)$. On dit que $T \in S'(\R^n)$ si $$

\exists p \in \N,\ \exists c,\ \forall \varphi \in \mathcal{D}(\R^n),\ |<T,\varphi>| \leq c N_p(\varphi),

$$ où $N_p(\varphi)= \sum\limits_{\substack{|\alpha| \leq p\\ |\beta| \leq p}} \|x^{\alpha} D^{\beta} \varphi\|_{L^{\infty}}.$
Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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mati pour rafraîchir ta mémoire.[www.les-mathematiques.net]

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Oui mais l'utilisation du polynôme $Q$ n'est pas claire. C'est pour ça que je pose encore la question. Je cherche une méthode naturelle
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Bonjour,
La fonction $f\ \colon x\mapsto -e^x$ vérifie les hypothèses mais n'est pas une distribution tempérée (pourquoi ?).
Les bonnes hypothèses sont plutôt : il existe un polynôme $P$ (à $n$ variables et à coefficients réels) tel que $\left\vert f(x)\right\vert\leqslant\left\vert P(x)\right\vert$ pour tout $x$ dans $\R^n$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Philippe Malot: $e^x$ ne peut pas être majorée par un polynôme mais c'est une distribution tempérée, c'est d'accord.
L'hypothèse est qu'il existe P qui majore $f \in L^1_{loc}$. Ma question est comment montrer que si ce $P$ existe, alors $T_f$ est tempérée?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par mati.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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mati $x\mapsto e^x$ est tempérée ?

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Excuses, je viens de corriger mon message. $e^x$ n'est pas tempérée.
Du coup je ne comprends plus la remarque de Mallot Philippe sur les bonnes hypothèses.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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mati ne vois-tu pas la différence entre $f$ majorée par un polynôme et $|f(x)|\leq |P(x)|,\ \forall x$ ?
PM dit que $-e^x$ est majoré par le polynôme nul, pourtant ce n'est pas une tempérée

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Si je vois la différence. Le résultat que l'on cherche doit avoir comme hypothèse que $f$ est majorée par P partout, et tout le temps.
Mais après, comment on montrer que si f vérifie cette hypothèse, alors f est tempérée?
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Si $f$ est majoré par un polynôme, alors pour tout $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$,

$$\left| \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) f(x) dx \right| \leq \cdots $$
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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mati, tu n'as pas compris la différence,

f majorée par P veut dire $f(x)\leq P(x),\forall x$
@Tryss, il n'a pas compris [www.les-mathematiques.net]

Je vais tenter ceci,mati
montre pour commencer que si P est un polynôme alors il existe c>0 et $p\in \N$ tel que $$|P(x)|\leq c(1+|x|^p),\forall x$$

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Bonjour
si j'ai bien compris la différence.
On suppose que $f \in L^1_{loc}(\R^n)$ et il existe un polynôme $P$ tel que $|f(x)| \leq |P(x)|, \ \forall x \in \R^n$.
Question. Montrer que $f \in S'(\R^n)$.

Voici ce que j'ai essayé : $f \in L^1_{loc}(\R^n)$, donc elle définie une distribution qu'on note $T_f$ et qui est définie pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\R^n)$ par : $$

\langle T_f,\varphi \rangle = \displaystyle\int_{\R^n} f(x) \varphi(x) dx.

$$ On a: $$

|\langle T_f,\varphi\rangle| = |\displaystyle\int f(x) \varphi (x) dx| \leq \displaystyle\int_{\R^n} |P(x)||\varphi(x)| dx.

$$ Ma question est comment finir le raisonnement de manière naturelle ?
Merci d'avance.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Tu n 'as pas compris. PM vient de te donner un contre si tu supposes $f(x)\leq P(x),\forall x$
Pour moi une méthode naturelle est une méthode qu'on peut trouver par soi même. Donc si tu cherches une méthode naturelle, tu sais ce que tu dois faire!

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Non pardon, j'ai oublié les valeurs absolue (erreur de frappe). Je viens de modifier dans mon message.
Sinon d'après Tryss, l'erreur est de prendre $\varphi \in \mathcal{D}$. En fait il faudrait prendre $\varphi$ dans $S(\R^n)$! Donc ma question du début est: comment on continue le raisonnement?
Merci d'avance.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par mati.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Quelqu'un a une idée sur comment finir ma démonstration initiale? Tryss avait utilisé un polynôme $Q$ mais je ne comprends pas pourquoi faire intervenir un autre polynôme $Q$.
Merci d'avance.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Bonjour
Est-ce quelqu'un a une réponse à ma question, ou peut m'expliquer l'idée de Tryss (pourquoi avoir choisi un polynôme $Q$ tel que $\dfrac{1}{Q} \in L^1$ ?
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Regarde un cours sur l'espace de Schwartz et les différentes semi-norme qu'on peut définir sur cet espace et ça deviendra naturel pour toi.

[Laurent Schwartz (1915-2002) mérite le respect de son patronyme. AD]

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Gebrane vous pensez vraiment que je n'ai pas lu un cours?! J'ai écrit la norme plus haut!
Tryss si vous passez par là, ou bien n'importe qui qui a compris l'idée de Tryss, pouvez-vous m'expliquer votre idée d'introduire un polynôme $Q$ telle que $1/Q \in L^1$? S'il vous plait.
Merci d'avance.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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mati
Dans ton premier message, tu as dit que Les polynômes eux mêmes sont des distributions tempérées. Pourquoi?

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Mais c'est ce que j'essaye de démontrer! Je n'y comprends rien pourtant j'ai fait un essai et je bloque sur la fin c'est pour ça que j'ai posé la question, mais depuis une semaine je tourne en rond!
J'ai écris jusqu'à
pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\R^n): |<T,\varphi>| \leq \displaystyle\int_{\R^n} |P(x)| |\varphi(x)| dx$.
J'ai donné la norme $N-p(\varphi)$ de la définition d'une distribution tempérée et ma question est pourquoi est-ce que Tryss a fait intervenir un polynôme $Q$ tel que $\dfrac{1}{Q} \in L^1$.
Est-ce que quelqu'un sait répondre à cette question?
Merci d'avance
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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C'est une provocation Est-ce que quelqu'un sait répondre à cette question?
Tous le monde le sait, un polynôme (sauf le polynôme nul) n'est pas L^1, l'astuce c'est de deviser par quelque chose de bon pour récupérer un truc L^1

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Non je ne provoque personne je veux seulement comprendre.
Gebrane pourquoi on aurait besoin de quelque chose dans $L^1$? Puisque la semi-norme $N_p$ ne fait pas intervenir d'éléments de $L^1$?
D'abord mon erreur est d'avoir pris $\varphi$ dans $\mathcal{D}$ or qu'il faut le prendre dans $S(\R^n)$. On a
$|<T,\varphi>| \leq \int_{\R^n} |P(x)||\varphi(x)|$ puis si on pultiplie par $Q$ et on divise par $Q$ ça nous donne la majoration
$$
|<T,\varphi>| \leq ||P(x) \varphi(x) Q(x)||_{\infty}||1/Q||_{L^1}
$$
En quoi cette dernière inégalité implique que $T$ est dans $S'$?

Merci d'avance.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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le problème c' est que tu ne connais pas ton cours.
les semi norme sont définies par la norme infinie d un truc. Pour avoir la bonne dualité on à besoin d'un truc L^1

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
C'est ce que je me dis "mon cours n'est pas complet" en fait.
Il y a plusieurs normes équivalentes d'après mes dernières recherches. Tout est brouillé dans ma tête.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Il y a deux questions dans tout cela :
Faut-il prendre nécessairement les $\varphi$ dans $S(\R^n)$ ou peut-on se contenter de $D(\R^n)$ ?
On peut effectivement se contenter des fonctions test, car celles-ci forment un sous-espace vectoriel dense dans $S(\R^n)$ muni de sa topologie avec les semi-normes $\mathcal{N}p$ ($p\in\N$).
Que veut-on démontrer ? On veut montrer qu'il existe un nombre entier naturel $p$ et un nombre réel strictement positif $C$ tel que $$\left\vert\left\langle T_f,\varphi\right\rangle\right\vert\leqslant C\mathcal{N}_p(\varphi)$$ pour toute fonction $\varphi$ dans $D(\R^n)$ (ou $S(\R^n)$).
Je prends pour $\mathcal{N}_p(\varphi)$ la même notation que sur wikipedia :
$$\mathcal{N}_p(\varphi)=\sum_{\left\vert\alpha\right\vert,\left\vert\beta\right\vert\leqslant p} \left\Vert x^\alpha D^\beta\varphi\right\Vert_{\infty}$$
On suppose donc que $f$ est dans $L_{loc}^1$ et qu'il existe un polynôme $P$ de degré au plus $m$ tel que $\left\vert f\right\vert\leqslant\left\vert P\right\vert$ dans $\R^n$, polynôme qu'on peut écrire $\displaystyle P\ \colon x\mapsto\sum_{\left\vert\alpha\right\vert\leqslant m} a_\alpha x^\alpha$.
Si on écrit les choses telles qu'elles viennent (sans essayer de faire des majorations hyper fines), avec $\varphi$ dans $D(\R^n)$, on arrive assez rapidement sur :
$$\left\vert\left\langle T_f,\varphi\right\rangle\right\vert\leqslant\int_{\R^n}\left\vert P(x)\varphi(x)\right\vert dx\;.$$
À partir de là, on a donc envie de majorer l'intégrale par une expression du type $C\mathcal{N}_p(\varphi)$.
Le problème est qu'on a une intégrale, et qu'on ne peut pas majorer simplement l'intégrande $\left\vert P(x)\varphi(x)\right\vert$ par un expression du type voulu (on voit bien que c'est possible : $\left\Vert P\varphi\right\Vert_{\infty}\leqslant C\mathcal{N}_m(\varphi)$ pour tout $\varphi$ dans $D(\R^n)$ en prenant $\displaystyle C=\max_{\left\vert\alpha\right\vert\leqslant n}\left\vert a_\alpha\right|$), même si on a supposé que $\varphi$ se trouve dans $D(\R^n)$ et donc que l'intégration se fait sur un compact, car on n'a pas de maîtrise dudit compact (il dépend de $\varphi$).
On obtient une majoration par un terme du type $\lambda_n\left(\mathrm{supp}(\varphi)\right) C\mathcal{N}_m(\varphi)$, ce qui ne nous convient pas.
Il faut donc être plus judicieux et se débrouiller pour avoir non seulement une majoration du type voulu mais également faire que l'intégrale converge : on est donc plus ou moins amené à ne majorer qu'une partie (un facteur) de l'intégrande et laisser quelque chose dans l'intégrande qui fasse converger l'intégrale.
C'est là que vient l'astuce du polynôme $Q$ : le fait de multiplier l'intégrande par $Q$ ne va pas changer le fait qu'on ait une majoration du type voulu, par contre on va pouvoir compenser en laissant un $1/Q$ dans l'intégrale en choisissant $Q$ de telle manière que $1/Q$ soit dans $L^1(\R^n)$.
À toi de trouver comment choisir $Q$ et d'écrire comme il faut toute la preuve !
En fait, on ne se sert pas vraiment du fait que les fonctions $\varphi$ se trouvent dans $D(\R^n)$, on peut tout à fait supposer qu'elles se trouvent dans $S(\R^n)$ sans changer le raisonnement.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Prend le temps qu' il faut pour chercher un bon cours er bien l'étudier. je ne veux pas te donner une solution complète, car je veux t 'aider et non pas montrer à tes lecteurs que je sais faire.
édit posté avant de voir le post de PM

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par gebrane.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Merci! C'est plus clair maintenant.
Il me reste le problème des semi-normes (on prend $\varphi \in S(\R^n)$ dans la démonstration).
Alors la semi norme sur $S(\mathbb{R}^n)$ est donnée par
$$
\forall p \in \mathbb{N}, \ N_p(\varphi)= \sum_{|\alpha| \leq p, |\beta| \leq p} ||x^{\alpha} D^{\beta} \varphi||_{L^{\infty}}.
$$
Après quelques recherches, je lis qu'on peut dire que $N_p(\varphi)= ||P D^{\alpha} \varphi||_{L^{\infty}}$, où $\alpha \in \mathbb{N}^n$.
Question 1: c'est quoi la relation entre ce nouveau $N_p$ avec un polynôme quelconque $P$ et la définition initiale?
Ensuite, je lis aussi la remarque suivante: puisque pour tout compact $P$ il existe $m$ assez grand tel que $|P(x)|=O((1+||x||^2)^m)$, alors on peut écrire $N_p(\varphi)$ de la forme $(1+||x||^2)^m |D^{\alpha} \varphi(x)| \leq c$

Question 2: Qu'est ce qu'on veut dire ici par la notation $|P(x)|=O((1+||x||^2)^m)$ pour tout polynôme $P$?

Question 3: dans toute les semi-norme, il apparait $D^{\alpha} \varphi$ ce qui n'est pas le cas dans l'intgrale $\displaystyle\int_{\R^n} Q(x) P(x) \varphi(x) \dfrac{1}{Q}{x}$. Que faire dans ce cas?

J'ai cherché un cours où tout ça est bien écrit en clair mais pas de chance.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Tu as définis plusieurs types de semi-normes qui engendrent la même topologie : $N_{P,\alpha}$ où $P$ est un polynôme quelconque et $\alpha$ un multi-indice fixé,
les $\mathcal{N}_p$ avec $p$ entier naturel, tels que je les ai définis dans mon précédent message, qui font intervenir une somme de normes des monômes unitaires de degrés au plus $p$ multipliés par des différentielle d'ordre $\alpha$ avec $\left\vert\alpha\right\vert\leqslant p$, on peut aussi prendre les $\left\Vert\left(1+\Vert x\Vert^2\right)^m D^\alpha(\varphi)\right\Vert_{\infty}$, ou encore d'autres variantes qui font intervenir des sommes de termes ou des max.
Il faut arriver à te convaincre que tout cela revient au même.

Question 1 :
Je note $N_{P,\alpha}\left(\varphi\right)=\left\Vert PD^\alpha\varphi\right\Vert_{\infty}$ (qui dépend d'un polynôme $P$ et d'un multi-indice $\alpha\in\N^n$).
Si $P$ et de degré $m$ et $C$ désigne le max des valeurs absolues des coefficients de $P$ (exprimé dans la base des $x^\beta$ où $\beta$ parcourt $\N^n$), alors $N_{P,\alpha}\leqslant C\mathcal{N}_p$, où $p$ est n'importe quel nombre entier naturel supérieur ou égal à $m$ et $\left\vert\alpha\right\vert$.
Dans l'autre sens, on peut remarquer que $\displaystyle\mathcal{N}_p=\sum_{\left\vert\alpha\right\vert,\left\vert\beta\right\vert\leqslant p} N_{x^\beta,\alpha}$.
Ceci permet d'ailleurs de démontrer que la topologie engendrée par les $N_{P,\alpha}$ et la même que celle engendrée par les $\mathcal{N}_p$.

Question 2 :
Cela signifie qu'il existe une constante positive réelle $C$ telle que $\left\vert P(x)\right\vert\leqslant C\left(1+\Vert x\Vert^2\right)^m$ pour tout $x$ dans $\R^n$.
Soit $C_1$ le sup de $\left\vert P\right\vert$ sur la boule unité pour la norme euclidienne $\Vert.\Vert$.
Supposons $P$ de degré $m$ et notons $C_2$ la somme des valeurs absolues des coefficients de $P$.
Si $\Vert x\Vert\geqslant 1$, on a $\left\vert P(x)\right\vert\leqslant C_2\Vert x\Vert^m\leqslant C_2\Vert x\Vert^{2m}$ (il faut d'abord commencer par voir que $\left\vert x^\alpha\right\vert\leqslant\left\Vert x\right\Vert^{\left\vert\alpha\right\vert}$ pour tout $x$ dans $\R^n$ et tout $\alpha$ dans $\N^n$).
Pour tout $x$ dans $\R^n$, on a donc $\left\vert P(x)\right\vert\leqslant C\left(1+\Vert x\Vert^{2m}\right)\leqslant C\left(1+\Vert x\Vert^2\right)^m$ où $C=\max(C_1,C_2)$.

Question 3 :
Tu peux remarquer que $\varphi=D^\alpha\varphi$ où $\alpha=(0,\ldots,0)\in\N^n$.
Cela ne fait intervenir qu'une dérivée d'ordre 0 qui est bien comptabilisée dans la semi-norme $\mathcal{N}_p$.
Soit $Q$ un polynôme tel que $1/Q$ soit dans $L^1(\R^n)$.
Soit $f$ dans $L_{loc}^1(\R^n)$ et $P$ un polynôme tel que $\left\vert f\right\vert\leqslant\left\vert P\right\vert$ (presque partout). On suppose que $PQ$ est de degré $p$ et on écrit $\displaystyle PQ\ \colon x\mapsto\sum_{\left\vert\alpha\right\vert\leqslant p} a_\alpha x^\alpha$.
On pose également $\displaystyle C=\Vert 1/Q\Vert_1\max_{\left\vert\alpha\right\vert\leqslant p} \left\vert a_\alpha\right\vert$.
Alors, pour tout $\varphi$ dans $S(\R^n)$, on a :
\[ \left\vert\left\langle T_f,\varphi\right\rangle\right\vert \leqslant\int_{\R^n}\left\vert P(x)Q(x)\varphi(x)/Q(x)\right\vert dx
\leqslant \int_{\R^n}\sum_{\left\vert\alpha\right\vert\leqslant p}\left\vert a_\alpha\right\vert\left\vert x^\alpha\varphi(x)\right\vert/\left\vert Q(x)\right\vert dx\leqslant C\mathcal{N}_p\left(\varphi\right) \]

Évidemment, je me suis contraint à utiliser une semi-norme $\mathcal{N}_p$ mais l'écriture était beaucoup plus rapide avec une semi-norme $N_{P,\alpha}$ !
Pour tout $\varphi$ dans $S(\R^n)$, on a \[\left\vert\left\langle T_f,\varphi\right\rangle\right\vert\leqslant\int_{\R^n}\left\vert P(x)Q(x)\varphi(x)\right\vert/\left\vert Q(x)\right\vert dx
\leqslant\Vert 1/Q\Vert_1 N_{PQ,0}\left(\varphi\right)\]

Pour $Q$, je propose $\displaystyle Q\ \colon x\mapsto 1+\prod_{i=1}^n x_i^2$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Bonjour
j'ai bien étudié votre réponse et j'ai bien compris maintenant.
Je vous remercie beaucoup Philippe Malot.
Il me reste une dérnière question: c'est que dans la définition de la semi-norme, il me semble que c'est "quelque soit $\alpha \in \N^n$", et pas "il existe $\alpha \in \N^n$. La démonstration est uniquement pour $\alpha=(0,\ldots,0)$. Donc c'est "pour tout polynôme $P$, il existe $\alpha$ "?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par mati.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Bonjour
je souhaite bien écrire les quantificateurs pour les semi-normes équivalentes. Je trouve ceci:
pour tout polynôme $P$, quelque soit $\alpha \in \N^n$, il existe $c \geq 0$ telle que
$$
N_{P,\alpha}(\varphi)=\sup_{x \in \R^n} |P(x) D^{\alpha} \varphi(x)|=||P D^{\alpha} \varphi||_{L^{\infty}} \leq c
$$
mais dans la preuve, on a montré qu'il existe $\alpha$ qui est dans notre exemple $(0,\ldots,0)$.
Comment boen ajuster les quantificateurs?

Question 2 et dernière question:
Comment vous avez déduit du fait que pour $||x|| \geq 1$: $|P(x)| \leq c_2||x||^{2m}$, que $|P(x)| \leq c(1+||x||^2)^m$.
?

Merci d'avance.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
avatar
Mati
Je vais expliquer le plus simple possible, on veut démontrer que $T_f$ est continue sur $S(\R^n)$, il suffit la continuité en 0 puisque c'est linéaire. Cela veut dire si $\phi_m$ converge vers 0 dans $S(\R^n)$, alors $<T_f,\phi_m>$ converge vers 0 dans $\R$
Dire que $\phi_m$ converge vers 0 dans $S(\R^n)$ c'est à dire ( je fais un choix de semi-norme)
$$\forall \alpha,\beta\in\mathbb N^n,\quad \sup_{x\in\mathbb R^n} |(1+|x|)^{\alpha} D^{\beta} \phi_m(x)|\to 0$$
Il faut remarquer q'un polynôme est à croissance lente c'est à dire il existe $C>0$ et $p\in\mathbb N$ tel que
$$|P(x)|\leq C (1+|x|)^{p},\quad \forall x\in\mathbb R^n \text{Pourquoi?}$$

Apres on écrit que
$$\left\vert\left\langle T_f,\phi_m\right\rangle\right\vert \\
\leqslant

C\int_{\R^n}\left\vert \frac{(1+|x|)^{p}}{(1+|x|)^{p+n+1}}(1+|x|)^{p+n+1} \phi_m(x)\, dx\right\vert \leq

C\big (\int_{\R^n} \frac{1}{(1+|x|)^{n+1}}\, dx\big ).\sup_{x\in\mathbb R^n} |(1+|x|)^{p+n+1} \phi_m(x)|\to 0$$

NB que $x\to \frac{1}{(1+|x|)^{n+1}}\in L^1(\R^n)$

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par gebrane.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Bonjour
En fait Gebrane tu utilises une autre approche mais équivalente à celle de Malot Philippe.
Pour l'exercice c'est bon c'est compris. Ma dérnière question concernait les quantificateurs. On a montré l'exercice pour un $\alpha$ par pour n'importe quel $\alpha$. Donc je demande si $N_{P,\alpha}(\varphi)$ est définie pour tout $\alpha$, ou bien il suffit qu'il existe un $\alpha$ tel que $N_{P,\alpha} < +\infty$?
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
avatar
c'est ce que je venais de t' expliquer. on suppose une convergence uniforme d un truc pour tous alpha et bêta . mais si tu as compris j ai utilisé cette convergence uniquement pour des alpha et bêta particuliers.

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Vous avez démontré quelque chose pour un $\alpha$ particulier et vous en avez déduit le même résultat pour $\alpha$ quelconque. Pourquoi ? (Si possible sans utiliser les fonctions à croissance lente).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
avatar
tu as la tête vraiment dure. Je laisse PM t'expliquer

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Bonjour Malot Philippe, s'il vous plaît il me reste deux points

Question 1.
Je souhaite bien écrire les quantificateurs pour les semi-normes équivalentes. Je trouve ceci.
Pour tout polynôme $P$, quelque soit $\alpha \in \N^n$, il existe $c \geq 0$ telle que $$

N_{P,\alpha}(\varphi)=\sup_{x \in \R^n} |P(x) D^{\alpha} \varphi(x)|=||P D^{\alpha} \varphi||_{L^{\infty}} \leq c,

$$ mais dans la preuve, on a montré qu'il existe $\alpha$ qui est dans notre exemple $(0,\ldots,0)$.
Comment bien ajuster les quantificateurs ?

Question 2 et dernière question.
Comment vous avez déduit du fait que pour $||x|| \geq 1$ : $|P(x)| \leq c_2||x||^{2m}$, que $|P(x)| \leq c(1+||x||^2)^m \quad ?$
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
avatar
Question 1 :
En fait, il y a quelque chose d'un peu pointu qui est trop long à expliquer ici.
Il faudrait que tu regardes un cours sur les espaces localement convexes ou les espaces munis d'une famille de semi-normes.
Ces questions de topologie ne sont parfois pas abordées complètement dans les cours sur les distributions : on se contente de définir une famille de semi-normes et de définir les suites convergentes.
Les semi-normes $\mathcal{N}_p$ avec $p\in\N$ ont la bonne propriété que si on prend $p$ et $q$ dans $\N$, alors $\mathcal{N}_p$ et $\mathcal{N}_q$ sont plus petites que $\mathcal{N}_r$ avec $r$ dans $\N$ (il suffit de prendre $r\geqslant\max(p,q)$).
Ce n'est pas le cas des semi-normes $N_{P,\alpha}$ avec $P$ un polynôme et $\alpha$ un multi-indice.
Normalement, pour montrer la continuité d'une forme linéaire $f\ \colon X\to\R$ dont la topologie est donnée par une famille de semi-normes $\mathcal{P}$, il faut montrer qu'il existe $M>0$ et des semi-normes $p_1,\ldots,p_n$ dans $\mathcal{P}$ telles que $\left\vert f\right\vert\leqslant M\left(p_1+\ldots+p_n\right)$ sur $X$.
Dans le cas où la famille $\mathcal{P}$ jouit de la propriété dont jouit la famille des $\mathcal{N}_p$ avec $p\in\N$, il suffit de se contenter d'une seule semi-norme puisqu'on peut toujours majorer une somme $p_1+\ldots+p_n$ par $kp$ où $k>0$ et $p$ une autre semi-norme.
Dans le cas présent, avec les semi-normes $N_{P,\alpha}$, il se trouve qu'on a besoin que d'une seule semi-norme.
Si tu prends la distribution $T$ définie par $\left\langle T,\varphi\right\rangle=\varphi(0)+\varphi'(0)$ pour tout $\varphi$ dans $S(\R)$, tu as besoin de deux semi-normes $N_{1,0}$ et $N_{1,1}$ (où le premier $1$ désigne la fonction polynôme constante égale à $1$) pour montrer que $\left\vert\left\langle T,\varphi\right\rangle\right\vert\leqslant N_{1,0}\left(\varphi\right)+N_{1,1}\left(\varphi\right)$ mais uniquement d'une seule semi-norme $\mathcal{N}_1=N_{0,0}+N_{1,0}+N_{0,1}+N_{1,1}$ !

Question 2 : Rappel : $C=\max(C_1,C_2)$
Si $\Vert x\Vert\leqslant 1$, on a $\left\vert P(x)\right\vert\leqslant C_1\leqslant C_1+C_2\Vert x\Vert^{2m}\leqslant C\left(1+\Vert x\Vert^{2m}\right)$.
Si $\Vert x\Vert\geqslant 1$, on a $\left\vert P(x)\right\vert\leqslant C_2\Vert x\Vert^{2m}\leqslant C_1+C_2\Vert x\Vert^{2m}\leqslant C\left(1+\Vert x\Vert^{2m}\right)$.
EDIT : Le fait que $1+\Vert x\Vert^{2m}\leqslant\left(1+\Vert x\Vert^2\right)^m$ pour tout $x$ dans $\R^n$ est facile à prouver (si $m>0$).



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Bonjour Philippe Malot

Ne vois-tu pas qu'il fait une confusion entre ce qu'on suppose et ce qu'on veut démontrer?
Pour bien lui montrer, j'ai utilisé la continuité séquentielle pour faciliter la compréhension . Ce qu'on veut démontrer est que
$$<T_f,\phi_m>\to 0$$
A ce niveau il n y a ni un $\alpha$ ou un $\beta$, donc les questions sur les quantificateurs $\forall$ ou $\exists$ ne se posent pas pour ce qu'on veut démontrer.

mais ce qu'on suppose c'est la convergence des $(\phi_m)$ dans $S(\R^n)$ et c'est la qu'on voit apparaître $\forall \alpha $....

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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@gebrane : Je vois effectivement beaucoup de confusion et ça depuis de nombreux mois !
Je ne suis pas mal non plus en fait : je pense avoir dit une bêtise dans mon message précédent !
Par exemple, si je prends la semi-norme $N=N_{1+x^2,1}$, alors on voit que pour toute fonction $\varphi$ de $S(\R)$ et tout nombre réel $x$ :

\[\left\vert\varphi'(x)\right\vert=\left\vert\dfrac{(1+x^2)\varphi'(x)}{1+x^2}\right|\leqslant\dfrac{N\left(\varphi\right)}{1+x^2}\leqslant N\left(\varphi\right)\]

et

\[\left\vert\varphi(x)\right\vert=\left\vert\int_{-\infty}^x\varphi'(t)dt\right\vert\leqslant\int_{-\infty}^x\dfrac{N\left(\varphi\right)}{1+t^2}dt\leqslant\pi N\left(\varphi\right)\]

D'où :
\[N_{0,0}+N_{1,1}\leqslant N_{(1+\pi)(1+x^2),1}\]

Je pense même qu'on peut montrer (mais il faut que je l'écrive comme il faut pour m'en convaincre) que n'importe quelle somme de normes du type $N_{P,\alpha}$ peut-être majorée par une norme du même type !



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Par un raisonnement similaire à celui que j'ai fait dans mon dernier message, on voit que si $\alpha$ et $\beta$ sont deux multi-indices, où les composantes de $\beta$ sont toutes nulles sauf une qui vaut $1$, alors pour toute fonction $\varphi$ dans $S(\R^n)$ et tout $x$ dans $\R^n$, on a :
\[\left\vert D^\alpha\varphi(x)\right\vert\leqslant\pi\left(1+\Vert x\Vert^2\right)\left\vert D^{\alpha+\beta}\varphi(x)\right\vert\;.\]

Je note $Q$ la fonction polynôme $x\mapsto\pi\left(1+\Vert x\Vert^2\right)$, alors pour toute fonction polynôme $P$, on a : \[N_{P,\alpha}\leqslant N_{PQ,\alpha+\beta}\;.\]
Par une récurrence facile que je n'ai pas envie d'écrire, si je pose $\beta=(r,\ldots,r)$ un multi-indice dont toutes les composantes sont égales à l'entier naturel $r$, alors pour tout $\alpha\leqslant\beta$ et toute fonction polynôme $P$, on a :
\[N_{P,\alpha}\leqslant N_{PQ^{nr},\beta}\;.\]

Par conséquent, si je choisis des fonctions polynômes $P_1,\ldots,P_m$ et des multi-indices $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$. Soit $r$ la plus grande composante d'un des $\alpha_i$, $\beta=(r,\ldots,r)$ et d'après ce qu'on a vu dans un de mes messages précédents, soit $P\ \colon x\mapsto C\left(1+\left\Vert x\right\Vert^2\right)^m$ une fonction polynôme telle que $\left\vert P_i\right\vert\leqslant\left\vert P\right\vert$ pour tout $i$, alors je dis que pour tout $i$ on a :
\[N_{P_i,\alpha_i}\leqslant N_{PQ^{nr},\beta}\;.\]

On peut remarquer que $PQ^{nr}$ est de la forme $x\mapsto C'\left(1+\Vert x\Vert^2\right)^{m'}$, ce qui montre qu'en se restreignant à ces semi-normes particulières (c'est une sous-famille de celle des $N_{P,\alpha}$), on a encore une famille de semi-normes qui jouit de cette bonne propriété d'être ordonnée filtrante croissante.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
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Tu as donné un excellent travail à mati

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions tempérées
il y a neuf mois
Merci beaucoup Malot Philippe, c'est bien compris maintenant.
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