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Densité et point verifiant une propriété

Envoyé par r.k95 
Densité et point verifiant une propriété
il y a neuf mois
Soit $D \subset \mathbb{R}^d$ tel que $\overline{D}=\mathbb{R}^d,$ soient $ \epsilon>0,\ q>0.$
Peut-on trouver un nombre fini de points $x_1=(x_1^1,\ldots ,x_d^1),\ x_2=(x_1^2,\ldots ,x_d^2),\ \ldots ,\ x_k=(x_1^k,\ldots ,x_d^k) \in [-q,q]^d$ ($k$ dépend de $\epsilon$ et $q$) tel que $\forall 1 \leq \ell \leq d,\ \forall 1 \leq i \leq k-1,\ 0<x^{i+1}_\ell-x^i_\ell<\epsilon$ et $\forall 1 \leq i_1,\ldots ,i_d\leq k,\ (x_1^{i_1},\ldots ,x_{d}^{i_d}) \in D\ ?$.

Le cas $d=1,$ est facile car si on prend, $2q/k \leq \epsilon/2,\ y_i=-q+2iq/k,\ 0 \leq i \leq k-1,$ puisque $D\, \cap\, ]y_{i},y_{i+1}[\, \neq \emptyset,\ \exists x_1,\ldots ,x_k \in D,$ tel que $0<x_{i+1}-x_i<\epsilon$.

Comment trouver ces points dans le cas $d>1$ ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Densité et point verifiant une propriété
il y a neuf mois
Je dirais que tu peux prendre $k$ points dans $]-q,q[^d$ qui vérifient $\frac{\epsilon}{3} < y_\ell^{i+1} - y_\ell^i < \frac{2\epsilon}{3}$, et ensuite choisir un $x_\ell \in D$ dans la boule de centre $y_\ell$ et de rayon $\frac{\epsilon}{6}$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
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