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Distributions et mesure de Borel

Envoyé par Pablo_de_retour 
Distributions et mesure de Borel
il y a huit mois
avatar
Bonsoir à tous
D'après le lien suivant, [fr.wikipedia.org]) , l'espace des mesures boréliennes $ \mathcal{M} (X) $ sur un espace topologique localement compact $ X $, s'identifie à un sous-espace du dual topologique de l'espace vectoriel $ \mathcal{C}_c (X , \mathbb{R} ) $ des fonctions réelles continues à support compact.

D'autre part, tout élément $ \mu \in \mathcal{M} (X) $ défini une distribution régulière, $ T_{ \mu } $ définie en visitant le lien suivant, [www.les-mathematiques.net] .
Est-ce que cela signifie que, $ \mu $ s'identifie à une fonction localement intégrable. C'est-à-dire, $ \mu \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ ?
Parce que, pour définir une distribution régulière $ T $, il faut lui trouver une fonction $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T = T_f $. Est-ce que c'est ça ?
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions et mesure de Borel.
il y a huit mois
Tu penses vraiment que la mesure de Dirac définit une distribution régulière ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions et mesure de Borel.
il y a huit mois
avatar
Ah oui, c'est vrai. Merci. Donc, une mesure de Dirac $ \delta $, est une mesure de Borel, donc, d'après le théorème de représentation de Riez, $ \delta $ s'identifie à un élément de $ \mathcal{C}_c ( X , \mathbb{R} )^{ \vee } $, qui se met sous la forme $ \delta \ : \ \mathcal{C}_c ( X , \mathbb{R} ) \to \mathbb{R} $ telle que, pour tout $ \phi \in \mathcal{C}_c ( X , \mathbb{R} ) $, $ \langle \delta , \phi \rangle = \displaystyle \int_X \phi d \delta = \phi (0) $.
Donc, $ \delta $ est un exemple de mesure de Borel qui est une distribution d'ordre, $ 0 $, mais, qui ne se met pas sous la forme d'une distribution régulière.
Merci Tryss.

Tryss, sais-tu pourquoi $ \delta $ ne se met pas sous la forme d'une distribution régulière $ T_f $ avec, $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ ?
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Distributions et mesure de Borel.
il y a huit mois
Ça a été fait 10 fois sur ce forum. Cherche un peu.
Re: Distributions et mesure de Borel
il y a huit mois
avatar
@gerard0, je n'ai pas trouvé.
Re: Distributions et mesure de Borel
il y a huit mois
avatar
Bonjour,

Voici comment je raisonne,

Soit $ K \subset X $ un compact.

Supposons qu'il existe, $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T_f = \delta_0 $.

On aurait alors, pour toute $ \varphi \in \mathcal{C}_{0}^{ \infty } ( X ) $, telle que, $ 0 \in \mathrm{supp} \ \varphi \subset K $,
$$ \langle \delta_0 , \varphi \rangle = \displaystyle \int_K f(x) \varphi (x) dx = \varphi (0) \neq 0 $$

Par ailleurs, si pour toute $ \varphi \in \mathcal{C}_{0}^{ \infty } ( X \backslash \{ 0 \} ) \subset \mathcal{C}_{0}^{ \infty } ( X ) $, $ \displaystyle \int_K f(x) \varphi (x) dx = 0 $. alors, $ f = 0 $ $ \ \mathrm{p.p.} $ sur $ X \backslash \{ 0 \} $, et donc, sur $ X $.

Mais alors, pour toute $ \varphi \in \mathcal{C}_{0}^{ \infty } (X ) $, $ \displaystyle \int_K f(x) \varphi (x) dx = \displaystyle \int_K 0. \varphi (x) dx = 0 = \varphi (0) $. D'où contradiction.

Par conséquent, il n'existe aucune $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T_f = \delta_0 $.

Correct ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Distributions et mesure de Borel
il y a huit mois
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J'ai trouvé un fil qui peut t'intéresser où j' étais vraiment chiant avec reuns. regarde surtout la preuve de remarque.[www.les-mathematiques.net]

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Distributions et mesure de Borel
il y a huit mois
avatar
D’ailleurs, reuns a disparu...?
Re: Distributions et mesure de Borel
il y a huit mois
avatar
J' espère que ce n'est pas à cause des chiants sur le forum. il est tres fort et tres apprécié sur ME.

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
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