Distributions et mesure de Borel
dans Analyse
Bonsoir à tous
D'après le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_représentation_de_Riesz_(Riesz-Markov) , l'espace des mesures boréliennes $ \mathcal{M} (X) $ sur un espace topologique localement compact $ X $, s'identifie à un sous-espace du dual topologique de l'espace vectoriel $ \mathcal{C}_c (X , \mathbb{R} ) $ des fonctions réelles continues à support compact.
D'autre part, tout élément $ \mu \in \mathcal{M} (X) $ défini une distribution régulière, $ T_{ \mu } $ définie en visitant le lien suivant, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,898494,898607 .
Est-ce que cela signifie que, $ \mu $ s'identifie à une fonction localement intégrable. C'est-à-dire, $ \mu \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ ?
Parce que, pour définir une distribution régulière $ T $, il faut lui trouver une fonction $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T = T_f $. Est-ce que c'est ça ?
Merci d'avance.
D'après le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_représentation_de_Riesz_(Riesz-Markov) , l'espace des mesures boréliennes $ \mathcal{M} (X) $ sur un espace topologique localement compact $ X $, s'identifie à un sous-espace du dual topologique de l'espace vectoriel $ \mathcal{C}_c (X , \mathbb{R} ) $ des fonctions réelles continues à support compact.
D'autre part, tout élément $ \mu \in \mathcal{M} (X) $ défini une distribution régulière, $ T_{ \mu } $ définie en visitant le lien suivant, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,898494,898607 .
Est-ce que cela signifie que, $ \mu $ s'identifie à une fonction localement intégrable. C'est-à-dire, $ \mu \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ ?
Parce que, pour définir une distribution régulière $ T $, il faut lui trouver une fonction $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T = T_f $. Est-ce que c'est ça ?
Merci d'avance.
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Réponses
Donc, $ \delta $ est un exemple de mesure de Borel qui est une distribution d'ordre, $ 0 $, mais, qui ne se met pas sous la forme d'une distribution régulière.
Merci Tryss.
Tryss, sais-tu pourquoi $ \delta $ ne se met pas sous la forme d'une distribution régulière $ T_f $ avec, $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ ?
Merci d'avance.
Voici comment je raisonne,
Soit $ K \subset X $ un compact.
Supposons qu'il existe, $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T_f = \delta_0 $.
On aurait alors, pour toute $ \varphi \in \mathcal{C}_{0}^{ \infty } ( X ) $, telle que, $ 0 \in \mathrm{supp} \ \varphi \subset K $,
$$ \langle \delta_0 , \varphi \rangle = \displaystyle \int_K f(x) \varphi (x) dx = \varphi (0) \neq 0 $$
Par ailleurs, si pour toute $ \varphi \in \mathcal{C}_{0}^{ \infty } ( X \backslash \{ 0 \} ) \subset \mathcal{C}_{0}^{ \infty } ( X ) $, $ \displaystyle \int_K f(x) \varphi (x) dx = 0 $. alors, $ f = 0 $ $ \ \mathrm{p.p.} $ sur $ X \backslash \{ 0 \} $, et donc, sur $ X $.
Mais alors, pour toute $ \varphi \in \mathcal{C}_{0}^{ \infty } (X ) $, $ \displaystyle \int_K f(x) \varphi (x) dx = \displaystyle \int_K 0. \varphi (x) dx = 0 = \varphi (0) $. D'où contradiction.
Par conséquent, il n'existe aucune $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T_f = \delta_0 $.
Correct ?