Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
100 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Transformée de Fourier d'un peigne

Envoyé par Calli 
Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Bonsoir, $\def\F{\mathscr{F}}$ $\def\S{\mathcal{S}}$ $\def\R{\Bbb R}$
Soit $T=\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k$. Dans mon cours d'analyse fonctionnelle, la démonstration de $\F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$ est assez compliquée, donc j'ai essayé de voir s'il n'était pas possible de simplement partir de $\F \delta_0 = 1$. Pouvez-vous me dire si ce qui suit est bien correct ? Comme ça, je pourrai le considérer comme une seconde démo de cours (quand on croit trouver une preuve plus naturelle que celle du cours, on doute forcément).
Merci d'avance.



On a $(\forall \varphi \in\S(\R), \sum_{k=-n}^n \varphi(k) \underset{n\to\infty}\longrightarrow \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k))$ par convergence dominée, donc $\sum_{k=-n}^n \delta_k \to T$ dans $\S'(\R)$. Puisque $\F : \S'(\R) \to \S'(\R)$ est continue, on a pour la topologie de $\S'(\R)$ : $$\F T=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n \F \delta_k
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto e^{-in} \frac{e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right) $$

Admettons qu'on connait l'intégrale : $$\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x = 2\pi$$

Soit $\varphi\in\S(\R)$. Alors $$\begin{eqnarray*}
\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x
&=& \sum_{k\in\Bbb Z} \int\limits_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} \varphi(2k\pi) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x + \int_\R \left(\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x) \right) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \\
&=& 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi) + \int_\R \underbrace{ \frac{\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x)}{\sin(\frac{x}2)} }_{:= \,f(x)} \sin((n+\frac12)x) \,{\rm d}x
\end{eqnarray*}$$

Or : $\forall k\in\Bbb Z, \forall x \in [(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[,$ $$|f(x)| = \left|\frac{\varphi(x)-\varphi(2k\pi)}{\sin(\frac{x}2)}\right| \leqslant \left|\frac {x-2k\pi}{\sin(\frac{x}2)}\right| \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| \leqslant \pi \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| $$
donc $f\in L^1$.
Ainsi le lemme de Riemann-Lebesgue donne $$\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \underset{n\to\infty}\longrightarrow 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi)$$

Et on conclut : $$\F T = \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right)
=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Je pense que la preuve est juste
À titre personnel, j'ai appris ce résultat comme une conséquence de la formule sommatoire de Poisson
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Je plussoie benjamin, la seule chose ( ce n'est pas difficile) à démontrer en utilisant la formule sommatoire de Poisson est que
Citation

si $f\in{\cal S}({\mathbb R})$ alors $\displaystyle \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{f}(n)={ 2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}} f({2\pi}n)$

Après c'est un jeu d'enfant. Soit $T=\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k$ par définition
$<\hat T,\phi>\,=\,<T,\hat \phi>\, =\,<\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k,\phi>\,=\sum_{k\in\Bbb Z}\hat \phi(k).$
Par la formule sommatoire de Poisson $\sum_{k\in\Bbb Z}\hat \phi(k)=
2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \phi(2\pi k)=2\pi <\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2\pi k},\phi>$ donc
$\hat T =2 \pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}.$

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Merci à vous !
C'est la formule $\mathscr F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$ qui est appelée "formule sommatoire de Poisson" dans mon cours. Mais c'est équivalent à $\forall f\in{\cal S}(\Bbb R), \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{f}(n)={ 2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}} f({2\pi}n)$.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
Que se passe-t-il si on prend un "peigne irrégulier", en remplaçant $\sum_{k \in \mathbb Z} \delta_k$ par $\sum_{n \in \mathbb N} \delta_{\theta_n}$ où la famille $\{\theta_n \mid n \in \mathbb N\}$ est linéairement indépendante sur $\mathbb Q$ ? spinning smiley sticking its tongue out
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
Déjà, pour que ce soit bien une distribution, il faut que ta famille $(\theta_n)$ soit composée de points isolés.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Tryss.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Pourquoi avoir choisi cette hypothèse d'indépendance linéaire sur $\Bbb Q$ ?
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
Ton peigne a toute ses "fréquences" alignées, il se passe peut-être des choses intéressantes si celles-ci sont linéairement indépendantes sur $\mathbb Q$. C'est quelque chose qui revient souvent en analyse harmonique.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Poirot comment se peigner avec ton peigne irrégulier grinning smiley

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
P.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
Les chauves se contenteront d'une seule masse de Dirac.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
J'utilise les formules de wikipédia, les facteurs $2\pi$ s'ajoutent et s'enlèvent un peut partout mais je ne doute pas que Calli saura adapter tout ça à ses propres définition.

On sait que $T$ est $1$-périodique, donc on a $\mathcal F(T) = \mathcal F (T \circ \tau_1 ) = e_{2\pi}\mathcal F(T)$, de là on en déduit que $\mathcal F(T)$ est à support dans $\Z$. De la même façon on a $e_{2\pi } T = T $ donc $\mathcal F(T) =\mathcal F( e_{2\pi } T) = \mathcal F(T) \circ \tau_1$ et on en déduit que $\mathcal F(T)$ est $1$-périodique.

On peut alors reprendre les calculs de Calli mais avec $\varphi\in \mathcal S(\R)$ à support dans $[-1/2; 1/2]$, ce qui simplifie les majorations et nous donne la restriction de $\mathcal F(T)$ à $\{0\}$.

Peut-être qu'on peut éviter encore un peu plus longtemps d'utiliser le noyau de Dirichlet. Par exemple si l'on arrive à montrer que $\mathcal F (T)$ est positive on doit normalement pouvoir en déduire que $\mathcal F(T) = \lambda \sum_n \delta_n$ avec $\lambda $ un réel positif à préciser. Par contre pour la détermination de $\lambda$ je suppose qu'on a pas trop le choix et qu'il faut d'une façon ou d'une autre faire des calculs. C'était quoi la démonstration de ton cours Calli ?
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Voilà la démonstration de mon cours. Elle ressemble beaucoup à ce que tu dis Corto.
Elle est bien aussi, mais elle est un peu en mode devinette ($\mathscr F T$ est à support dans $\Bbb Z$, puis une somme de pics de Dirac, et puis périodique... et à la fin il reste un calcul pour trouver la constante), donc je trouve plus naturel de trouver $\mathscr F T$ par un calcul direct, en sommant la relation connue $\mathscr F\delta_0=1$.


Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Ah oui, le coup de la multiplication par $\xi-2k\pi$ est pas mal !

Bon après chacun ses goûts en matière de démonstration, je trouve qu'utiliser la périodicité de $T$ pour en déduire le support de $\mathcal F(T)$ et sa périodicité est assez naturel.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
bonsoir,

si on dispose du cadre des séries de Fourier (mes souvenirs sont assez vagues mais de mémoire c'est magique : il n'y a jamais de difficulté) des distributions périodiques de $S'$ la preuve prend 2 lignes.
On écrit l'égalité (dans $S'$) entre $T$ et sa série de Fourier, puis on utilise la continuité de la transformée de Fourier de $S'$ pour obtenir une nouvelle égalité, qui simplifiée donne le résultat.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Dans mon cours, le théorème sur les séries de Fourier des distributions périodiques est démontré grâce à la formule de ce fil. Donc je ne peux pas l'utiliser. Si je pouvais, la preuve de la formule serait immédiate. grinning smiley
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
merci @calli, ceci explique cela. J'étais en train de rédiger quelques détails, du coup je ne publie pas (d'ailleurs j'avais du mal à obtenir la constante $2\pi$).
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
Ce que je ne comprends pas, pourquoi le prof n'a pas utilisé la formule sommatoire de Poisson vue en cours.

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
gebrane : Ce que la prof a appelé "formule sommatoire de Poisson" c'est $\mathscr F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$. Il n'y a pas d'autre formule de Poisson dans mon cours que je pourrais utiliser. Je l'avais dit là : [www.les-mathematiques.net].
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
avatar
bizarre quand même
[agreg-maths.fr]
[agreg-maths.fr]

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Transformée de Fourier d'un peigne
il y a sept mois
Bonjour,

Je viens de survoler le cours (Bony) que j'avais étudié. La construction des séries de Fourier pour les distributions tempérées périodiques n'utilise pas cette formule sommatoire. La preuve que je suggérais est donc correcte (mais évidemment ne peut pas être utilisée pour construire ces séries de Fourier). D'ailleurs, dans de cours, elle est donnée en exercice d'application.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 163, Messages: 1 505 815, Utilisateurs: 27 638.
Notre dernier utilisateur inscrit Bordée2.


Ce forum
Discussions: 33 646, Messages: 315 689.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page