Transformée de Fourier d'un peigne

Bonsoir, $\def\F{\mathscr{F}}$ $\def\S{\mathcal{S}}$ $\def\R{\Bbb R}$
Soit $T=\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k$. Dans mon cours d'analyse fonctionnelle, la démonstration de $\F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$ est assez compliquée, donc j'ai essayé de voir s'il n'était pas possible de simplement partir de $\F \delta_0 = 1$. Pouvez-vous me dire si ce qui suit est bien correct ? Comme ça, je pourrai le considérer comme une seconde démo de cours (quand on croit trouver une preuve plus naturelle que celle du cours, on doute forcément).
Merci d'avance.

On a $(\forall \varphi \in\S(\R), \sum_{k=-n}^n \varphi(k) \underset{n\to\infty}\longrightarrow \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k))$ par convergence dominée, donc $\sum_{k=-n}^n \delta_k \to T$ dans $\S'(\R)$. Puisque $\F : \S'(\R) \to \S'(\R)$ est continue, on a pour la topologie de $\S'(\R)$ : $$\F T=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n \F \delta_k
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto e^{-in} \frac{e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right) $$

Admettons qu'on connait l'intégrale : $$\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x = 2\pi$$

Soit $\varphi\in\S(\R)$. Alors $$\begin{eqnarray*}
\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x
&=& \sum_{k\in\Bbb Z} \int\limits_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} \varphi(2k\pi) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x + \int_\R \left(\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x) \right) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \\
&=& 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi) + \int_\R \underbrace{ \frac{\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x)}{\sin(\frac{x}2)} }_{:= \,f(x)} \sin((n+\frac12)x) \,{\rm d}x
\end{eqnarray*}$$

Or : $\forall k\in\Bbb Z, \forall x \in [(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[,$ $$|f(x)| = \left|\frac{\varphi(x)-\varphi(2k\pi)}{\sin(\frac{x}2)}\right| \leqslant \left|\frac {x-2k\pi}{\sin(\frac{x}2)}\right| \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| \leqslant \pi \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| $$
donc $f\in L^1$.
Ainsi le lemme de Riemann-Lebesgue donne $$\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \underset{n\to\infty}\longrightarrow 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi)$$

Et on conclut : $$\F T = \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right)
=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$$