Transformée de Fourier d'un peigne
Bonsoir, $\def\F{\mathscr{F}}$ $\def\S{\mathcal{S}}$ $\def\R{\Bbb R}$
Soit $T=\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k$. Dans mon cours d'analyse fonctionnelle, la démonstration de $\F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$ est assez compliquée, donc j'ai essayé de voir s'il n'était pas possible de simplement partir de $\F \delta_0 = 1$. Pouvez-vous me dire si ce qui suit est bien correct ? Comme ça, je pourrai le considérer comme une seconde démo de cours (quand on croit trouver une preuve plus naturelle que celle du cours, on doute forcément).
Merci d'avance.
On a $(\forall \varphi \in\S(\R), \sum_{k=-n}^n \varphi(k) \underset{n\to\infty}\longrightarrow \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k))$ par convergence dominée, donc $\sum_{k=-n}^n \delta_k \to T$ dans $\S'(\R)$. Puisque $\F : \S'(\R) \to \S'(\R)$ est continue, on a pour la topologie de $\S'(\R)$ : $$\F T=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n \F \delta_k
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto e^{-in} \frac{e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right) $$
Admettons qu'on connait l'intégrale : $$\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x = 2\pi$$
Soit $\varphi\in\S(\R)$. Alors $$\begin{eqnarray*}
\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x
&=& \sum_{k\in\Bbb Z} \int\limits_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} \varphi(2k\pi) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x + \int_\R \left(\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x) \right) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \\
&=& 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi) + \int_\R \underbrace{ \frac{\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x)}{\sin(\frac{x}2)} }_{:= \,f(x)} \sin((n+\frac12)x) \,{\rm d}x
\end{eqnarray*}$$
Or : $\forall k\in\Bbb Z, \forall x \in [(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[,$ $$|f(x)| = \left|\frac{\varphi(x)-\varphi(2k\pi)}{\sin(\frac{x}2)}\right| \leqslant \left|\frac {x-2k\pi}{\sin(\frac{x}2)}\right| \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| \leqslant \pi \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| $$
donc $f\in L^1$.
Ainsi le lemme de Riemann-Lebesgue donne $$\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \underset{n\to\infty}\longrightarrow 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi)$$
Et on conclut : $$\F T = \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right)
=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$$
Soit $T=\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k$. Dans mon cours d'analyse fonctionnelle, la démonstration de $\F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$ est assez compliquée, donc j'ai essayé de voir s'il n'était pas possible de simplement partir de $\F \delta_0 = 1$. Pouvez-vous me dire si ce qui suit est bien correct ? Comme ça, je pourrai le considérer comme une seconde démo de cours (quand on croit trouver une preuve plus naturelle que celle du cours, on doute forcément).
Merci d'avance.
On a $(\forall \varphi \in\S(\R), \sum_{k=-n}^n \varphi(k) \underset{n\to\infty}\longrightarrow \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k))$ par convergence dominée, donc $\sum_{k=-n}^n \delta_k \to T$ dans $\S'(\R)$. Puisque $\F : \S'(\R) \to \S'(\R)$ est continue, on a pour la topologie de $\S'(\R)$ : $$\F T=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n \F \delta_k
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto e^{-in} \frac{e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right) $$
Admettons qu'on connait l'intégrale : $$\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x = 2\pi$$
Soit $\varphi\in\S(\R)$. Alors $$\begin{eqnarray*}
\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x
&=& \sum_{k\in\Bbb Z} \int\limits_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} \varphi(2k\pi) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x + \int_\R \left(\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x) \right) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \\
&=& 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi) + \int_\R \underbrace{ \frac{\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x)}{\sin(\frac{x}2)} }_{:= \,f(x)} \sin((n+\frac12)x) \,{\rm d}x
\end{eqnarray*}$$
Or : $\forall k\in\Bbb Z, \forall x \in [(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[,$ $$|f(x)| = \left|\frac{\varphi(x)-\varphi(2k\pi)}{\sin(\frac{x}2)}\right| \leqslant \left|\frac {x-2k\pi}{\sin(\frac{x}2)}\right| \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| \leqslant \pi \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| $$
donc $f\in L^1$.
Ainsi le lemme de Riemann-Lebesgue donne $$\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \underset{n\to\infty}\longrightarrow 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi)$$
Et on conclut : $$\F T = \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right)
=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$$
Réponses
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Je pense que la preuve est juste
À titre personnel, j'ai appris ce résultat comme une conséquence de la formule sommatoire de Poisson -
Je plussoie benjamin, la seule chose ( ce n'est pas difficile) à démontrer en utilisant la formule sommatoire de Poisson est quesi $f\in{\cal S}({\mathbb R})$ alors $\displaystyle \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{f}(n)={ 2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}} f({2\pi}n)$
Après c'est un jeu d'enfant. Soit $T=\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k$ par définition
$<\hat T,\phi>\,=\,<T,\hat \phi>\, =\,<\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k,\phi>\,=\sum_{k\in\Bbb Z}\hat \phi(k).$
Par la formule sommatoire de Poisson $\sum_{k\in\Bbb Z}\hat \phi(k)=
2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \phi(2\pi k)=2\pi <\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2\pi k},\phi>$ donc
$\hat T =2 \pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}.$Le 😄 Farceur -
Merci à vous !
C'est la formule $\mathscr F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$ qui est appelée "formule sommatoire de Poisson" dans mon cours. Mais c'est équivalent à $\forall f\in{\cal S}(\Bbb R), \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{f}(n)={ 2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}} f({2\pi}n)$. -
Que se passe-t-il si on prend un "peigne irrégulier", en remplaçant $\sum_{k \in \mathbb Z} \delta_k$ par $\sum_{n \in \mathbb N} \delta_{\theta_n}$ où la famille $\{\theta_n \mid n \in \mathbb N\}$ est linéairement indépendante sur $\mathbb Q$ ? (:P)
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Déjà, pour que ce soit bien une distribution, il faut que ta famille $(\theta_n)$ soit composée de points isolés.
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Pourquoi avoir choisi cette hypothèse d'indépendance linéaire sur $\Bbb Q$ ?
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Ton peigne a toute ses "fréquences" alignées, il se passe peut-être des choses intéressantes si celles-ci sont linéairement indépendantes sur $\mathbb Q$. C'est quelque chose qui revient souvent en analyse harmonique.
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Poirot comment se peigner avec ton peigne irrégulier :-DLe 😄 Farceur
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Les chauves se contenteront d'une seule masse de Dirac.
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J'utilise les formules de wikipédia, les facteurs $2\pi$ s'ajoutent et s'enlèvent un peut partout mais je ne doute pas que Calli saura adapter tout ça à ses propres définition.
On sait que $T$ est $1$-périodique, donc on a $\mathcal F(T) = \mathcal F (T \circ \tau_1 ) = e_{2\pi}\mathcal F(T)$, de là on en déduit que $\mathcal F(T)$ est à support dans $\Z$. De la même façon on a $e_{2\pi } T = T $ donc $\mathcal F(T) =\mathcal F( e_{2\pi } T) = \mathcal F(T) \circ \tau_1$ et on en déduit que $\mathcal F(T)$ est $1$-périodique.
On peut alors reprendre les calculs de Calli mais avec $\varphi\in \mathcal S(\R)$ à support dans $[-1/2; 1/2]$, ce qui simplifie les majorations et nous donne la restriction de $\mathcal F(T)$ à $\{0\}$.
Peut-être qu'on peut éviter encore un peu plus longtemps d'utiliser le noyau de Dirichlet. Par exemple si l'on arrive à montrer que $\mathcal F (T)$ est positive on doit normalement pouvoir en déduire que $\mathcal F(T) = \lambda \sum_n \delta_n$ avec $\lambda $ un réel positif à préciser. Par contre pour la détermination de $\lambda$ je suppose qu'on a pas trop le choix et qu'il faut d'une façon ou d'une autre faire des calculs. C'était quoi la démonstration de ton cours Calli ? -
Voilà la démonstration de mon cours. Elle ressemble beaucoup à ce que tu dis Corto.
Elle est bien aussi, mais elle est un peu en mode devinette ($\mathscr F T$ est à support dans $\Bbb Z$, puis une somme de pics de Dirac, et puis périodique... et à la fin il reste un calcul pour trouver la constante), donc je trouve plus naturel de trouver $\mathscr F T$ par un calcul direct, en sommant la relation connue $\mathscr F\delta_0=1$.
-
Ah oui, le coup de la multiplication par $\xi-2k\pi$ est pas mal !
Bon après chacun ses goûts en matière de démonstration, je trouve qu'utiliser la périodicité de $T$ pour en déduire le support de $\mathcal F(T)$ et sa périodicité est assez naturel. -
supp
-
Dans mon cours, le théorème sur les séries de Fourier des distributions périodiques est démontré grâce à la formule de ce fil. Donc je ne peux pas l'utiliser. Si je pouvais, la preuve de la formule serait immédiate. :-D
-
supp
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Ce que je ne comprends pas, pourquoi le prof n'a pas utilisé la formule sommatoire de Poisson vue en cours.Le 😄 Farceur
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gebrane : Ce que la prof a appelé "formule sommatoire de Poisson" c'est $\mathscr F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$. Il n'y a pas d'autre formule de Poisson dans mon cours que je pourrais utiliser. Je l'avais dit là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2088870,2089038#msg-2089038.
-
bizarre quand même
https://agreg-maths.fr/uploads/versions/870/Formule_sommatoire_Poisson.pdf
https://agreg-maths.fr/developpements/98Le 😄 Farceur -
supp
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Bonjour!
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