Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
222 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$

Envoyé par poli12 
Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a huit mois
Bonjour
Besoin d'explications s'il vous plaît.

Soit $Y ={\color{red}{]}}0,1{\color{red}{[}}^N$ et soit $F(\mathbb{R}^N$) un espace fonctionnel donné. On note $F_{per} (Y)$ l'espace des fonctions de $F_{loc} (\mathbb{R}^N)$ qui sont $Y-$périodiques, et par $F_{\sharp}(Y)$ les fonctions de $F_{per}(Y)$ avec une valeur moyenne nulle. Comme cas spécial, $D_{per} (Y)$ désigne l'espace des fonction $C^{\infty}_{per} (Y)$ qui n'est autre que l'espace des fonctions $C^{\infty} (\mathbb{R}^N)$ qui sont $Y$-périodiques tandis que $D_{\sharp}(Y)$ représente l'espace des fonctions de $D_{per} (Y)$ à valeur moyenne nulle. $D_{per}'(Y)$ représente le dual topologique de $D_{per}(Y)$ et il peut être identifié à l'espace des distributions périodiques $D'(\mathbb{R}^N)$, l'espace des distributions sur $\mathbb{R}^N$.

J'aimerais avoir de l'aide pour montrer que :
$1)$ $W^{1,2}_{\sharp}(Y)$ (qui est doté de sa topologie usuelle définie par le proquit scalaire $(u,v)_{\sharp}=\int_Y \nabla u(y).\nabla v(y)dy)$) est un espace de Hilbert.
$2)$ $D_{\sharp}(Y)$ est dense dans $W^{1,2}_{\sharp}(Y)$.

Merci d'avance.

Nul n'a le monopole du savoir.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a huit mois
avatar
Bonjour,
J'essaie en dimension 1.
1) $W^{1,2}_\sharp([0,1])$ est isométrique à $L^2(\Bbb Z^*,\mu)$ pour $\mu$ la mesure telle que $\forall A\subset \Bbb Z^*, \mu(A)=\sum_{n\in A} n^2$. L'isométrie est l'application $u\mapsto (c_n(u))_{n\in\Bbb Z^*}$ qui à $u$ associe ses coefficients de Fourier sauf le coefficient numéro $0$. Et c'est une isométrie car $$\int_Y u' \overline{v'}\,{\rm d}\lambda = \sum_{n\in\Bbb Z} c_n(u') \overline{c_n(v')} = \sum_{n\in\Bbb Z^*} n^2 c_n(u) \overline{c_n(v)}.$$
2) L'ensemble des suites à support fini dans $\Bbb Z^*$ est dense dans $L^2(\Bbb Z^*,\mu)$. Or les sommes de Fourier de ces suites sont dans $D_\sharp([0,1])$. Donc on conclut grâce au fait que l'application $u\mapsto (c_n(u))_{n\in\Bbb Z^*}$ est une isométrie, comme expliqué en 1).

Mais je ne sais absolument pas si ça peut se généraliser en dimension supérieure.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Calli.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a huit mois
Idées un peu en vrac pour la 1) :

J'ai l'impression que L'inégalité de Poincaré permet de se ramener à la fermeture de $W^{1,2}_\sharp(Y)$ dans $W^{1,2}(Y)$

En effet, si on a une suite de Cauchy d'éléments $u_n$ de $W^{1,2}_\sharp(Y)$, i.e. $\|\nabla(u_n-u_m)\|_2 \to 0$, alors par l'inégalité de Poincaré $ \|u_n-u_m\|_{W^{1,2}} \to 0$, donc est de Cauchy dans $W^{1,2}(Y)$ et donc converge vers un $u\in W^{1,2}(Y)$ (et en particulier, son gradient converge). Si on montre que $u\in W^{1,2}_\sharp$, c'est gagné

Une fois arrivé là, la valeur moyenne de $u$ n'est pas un problème, $u \mapsto \int_Y u(y) dy$ est continue pour la norme de $W^{1,2}$, par contre, la $Y$ périodicité (i.e. la possibilité de recoller les morceaux sans perdre le caractère $W^{1,2}$ ) n'est pas forcément immédiate, pour ça, je me demande si le plus simple ne serait pas plutôt de considérer un domaine $W$ un peu plus grand que $Y$ (genre $]-1,2[^N$). Et là, on aura bien le recollement à la frontière de $Y$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Tryss.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a huit mois
Bonjour.
Je pense que l'inégalité de Poincaré n'est vrai que lorsque on travaille avec les fonctions de $W^{1,2}_0(Y)$.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a huit mois
Je voulais parler de l'inégalité de Poincaré-Wirtinger, qui est valable pour $W^{1,2}$ et fait apparaitre la valeur moyenne de la fonction
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a huit mois
Après avoir obtenu la limite $u\in W^{1,2}(Y)$, je propose pour pallier ce problème de poser $v=u_{{\vert Y}}$ et $\tilde{v}$ la prolongée de $v$ de manière périodique sur $\mathbb R^N$. Je pense que $\tilde{v} \in W^{1,2}_{\sharp}(Y)$ et qu'on a bien $u_n \to \tilde{v}$ dans $W^{1,2}_{\sharp}(Y)$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a huit mois
La rentrée est un peu difficile...pas le temps de faire des maths...

1) Il faut faire attention, prolonger $u_{|Y}$ par périodicité sur $\R^N$ ne donne pas un élément de $W_\sharp^{1,2}(Y)$. Il y a une question de recollement des traces (les traces coïncident sur deux côtés opposés de $Y$), vu qu'un tel élément est dans $W_{loc}^{1,2}$. Il faut donc écrire un peu plus.
2) par convolution ? (quitte à retrancher la moyenne de la convolée)
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
Bonjour O.G
pouvez vous m'expliquer en quel sens ce principe de recollement dont vous parlez (et dont je ne connais pas) agit sur la démonstration?
Bref si vous avez un document qui en parle déjà que cet espace $W^{1,2}_{\sharp}(Y)$ me parait un peu difficile à cerner.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
En fait j'ai regardé hier dans le livre de D. Cioranescu et P. Donato. Dans ce livre la définition de $H_{per}$ à moyenne nulle est directement la complétion des fonctions régulières (périodiques + moyennes nulles). Et il y a aussi une proposition qui affirme, par exemple en dimension 2, $Y=]0,1[^2$ que la trace à gauche coïncide avec la trace à droite (il suffit de passer à la limite).
Avec la définition donnée ici dans le premier post, ça se voit aussi car $u$ est $H^1(Y)$, $H^1(\text{translaté à gauche de }Y)$, $H^1(]-1,1[\times]0,1[)$ et $Y$-périodique.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
Pour voir le problème potentiel au recollement, considère la situation suivante en dimension 1 ($Y=\,]0,1[$), imagine que tu obtiennes une suite $u_n$ qui converge vers la fonction $u(x) = 2x-1$. Cette fonction est bien dans $W^{1,2}(Y)$ (et à moyenne nulle), mais son prolongement par $Y$ périodicité n'est pas $W^{1,2}_\sharp(Y)$ (la dérivée n'est pas $L^2$ à cause des sauts aux $x\in \mathbb{N}$).

Il faut donc montrer que ce type de situation ne peut pas se produire.

Un peu plus haut, j'ai proposé de faire le raisonnement sur un ensemble un peu plus gros que $Y$, pour que l'on puisse recoller les morceaux en les superposant.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
avatar
poli12 : Mon message est-il si mauvais pour mériter d'être ignoré comme ça ?
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
NON @Calli c'est juste que votre approche me semble un peu compliquée et n'est utilisable qu'en dimension 1. Je voulais me pencher dessus que si les autres voies sont épuisées en vain.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
@O.G
mon problème est que $W^{1,2}_{per}(Y)=\{u \in W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)\mid u$ est $Y$-périodique$\} $.
Je ne connais même pas qui est $W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)$ bref je pense que $u \in W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)$ ssi pour tout ouvert $U\subset \mathbb R^N$, $\mathbb1_{U}u \in W^{1,2}(\mathbb R^N)$ et $u$ est $Y$-périodique.
Sauf si la définition de $W^{1,2}_{per}(Y)$ donnée ici coïncide avec celle du livre de Cioranescu et Donato ??

J'avais mal cerné la définition.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
@O.G
C'est vrai que je ne comprends pas bien votre dernier post peut-être parce que je ne comprends pas bien la notion de trace.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
Apparté sur la notion de trace :

La trace c'est la "valeur" de la fonction au bord du domaine de définition.

Je mets valeur entre guillemets, car, à priori, les fonctions de $W^{1,2}$ ne sont définies que presque partout, et la mesure du bord est nulle. Donc, au premier abord, ça n'a pas de sens.

Sauf que, magie des espaces fonctionnels, l'application linéaire Trace qui a une fonction $C^1(\overline{\Omega})$ fait correspondre sa restriction sur la frontière, $\text{Tr}(f) = f_{| \partial\Omega}$, peut être prolongée par continuité sur $W^{1,2}$, ce qui permet de donner un sens raisonnable à la notion de valeur d'une fonction de $W^{1,2}(\overline{\Omega})$ sur la frontière $\partial\Omega$
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
Bonjour à tous
C'est de ce principe du recollement que vous parlez?
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$
Soit $(\omega_i)$ une famille de recouvrement d'ouverts de $\Omega$ et pour tout $i$, $T_i \in D'(\omega_i)$ alors $\forall i\neq j$,
$T_{i\lvert \omega_i\cap \omega_j}=T_{j\lvert \omega_i\cap \omega_j}$ lorsque $\omega_i\cap \omega_j \neq \emptyset \Longrightarrow$ il existe un unique $T \in D'(\Omega)$ tel que $T_{\lvert \omega_i}=T_i$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
Merci @Tryss je viens de vérifier et la dérivée de votre fonction est
$(u^{\sharp})'=(u')^{\sharp}+\sum_{k \in \mathbb Z} (u(0)\delta_{-k} -u(1)\delta_{1-k})$ donc il est clair que $u' \notin L^2_{loc}(\mathbb R)$.
J'ai utilisé la partition de $\mathbb R$, $(Y_k)$ définie par: $Y_k=Y+k$ $\forall k \in \mathbb Z$ pour calculer cette dérivée j'espère que c'est bon.
Mais je constate donc que si :
$u(0)=u(1)$ alors on aura: $(u^{\sharp})'=(u')^{\sharp}$ ce qui nous donnera bien $(u^{\sharp})' \in L^2_{loc}(\mathbb R)$.
PS: Je pense qu'en généralisant ceci je vais obtenir le résultat.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
N.B: Ça c'est la dérivée de la fonction $u$ donnée par @tryss ($u$ ici est étendue par $Y$-périodicité sur $\mathbb R^N)$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
Bonjour à tous
Tout d'abord merci pour vos différentes indications.
Je vais montrer la densité de $C^{\infty}_{per}(Y)$ dans $W^{1,2}_{per}(Y)$ pour la norme de $W^{1,2}(\mathbb R^N)$
Soit $u \in W^{1,2}_{per}(Y)$ alors $u \in W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)$, $u$ est $Y-$périodique. On a:$\mathbb R^N=\cup_{j}B_j$, $B_j=B(0,J)$, $\forall j$
Puisque $B_j$ est un ouvert de $\mathbb R^N$ et que $u \in W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)$ alors $1_{B_j}u \in W^{1,2}(\mathbb R^N)$ et puisque $C^{\infty}_0(\mathbb R^N)$ est dense dans $W^{1,2}(\mathbb R^N)$ il existe $(u^j_n) \subset C^{\infty}_0(\mathbb R^N)$ telle que $u^j_n \to 1_{B_j}u$ dans $ W^{1,2}(\mathbb R^N)$. Par ailleurs,pour n fixé, puisque $\forall j$ $u^j_n \in $ $ D'(B_j)$ alors par le principe de recollement, il existe un unique $u_n \in D'(\mathbb R^N)$ tel que ${u_n}_{\lvert B_j}=u^j_n$.Donc on a:
-$(u_n) \subset C^{\infty}(\mathbb R^N)$
-$1_{B_j}u_n \to 1_{B_j}u$ dans $W^{1,2}(\mathbb R^N)$.
je pense maintenant à poser $v_n={u_n}_{\lvert Y}$ et $v_n^{\sharp}$ l'extension de $v_n$ par $Y-$périodicité sur $\mathbb R^N$ de sorte que la trace de $v_n^{\sharp}$ sur les bords opposés de $Y$ à la même valeur. On a donc $(v_n^{\sharp}) \subset C^{\infty}_{per}(Y)$ reste donc à montrer que $v_n^{\sharp} \to u$ pour la norme de $W^{1,2}(\mathbb R^N)$. Ce qui est facile car:
$ \lVert v_n^{\sharp}-u \rVert_{W^{1,2}(\mathbb R^N)}^2 \le \sum_{k \in \mathbb Z^N} \lVert 1_{{B_j}_0}(u_n-u) \rVert_{W^{1,2}(\mathbb R^N)}^2 \to 0 $
$\grave{ou}$ $B_{j_0}$ est une boule qui contient $Y$.



Edité 11 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
Quelqu'un peut vérifier cette démarche?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
spinning smiley sticking its tongue out



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$
il y a sept mois
svp besoin si possible de la vérification du dernier résultat montré ici. Car j'ai fait une permutation de limite à la fin et je n'arrive pas à justifier.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 244, Messages: 1 507 378, Utilisateurs: 27 667.
Notre dernier utilisateur inscrit Setif.


Ce forum
Discussions: 33 667, Messages: 315 859.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page