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Preuve non constructive

Envoyé par gebrane 
Preuve non constructive
il y a sept mois
avatar
Bonsoir, est-ce qu'il y a une preuve non constructive de

Citation

Il existe des nombres irrationnels $x$ et $y$, tels que $x^y$ est rationnel
Edit. On m'a dit que oui et je ne sais pas quel type de raisonnement, on doit utiliser.

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Preuve constructive
il y a sept mois
Que penses tu de $e^{\ln(2)} = 2$ ?

Bon, ça demande quelques prérequis, mais c'est une preuve constructive



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Tryss.
Re: Preuve constructive
il y a sept mois
Oui puisque $e^\pi$ et $e^{-\pi/2}$ le sont, mais j'ai sûrement mal compris la question.

Edit : j'ai lu de travers, mais l'idée reste la même.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par skyffer3.
Re: Preuve constructive
il y a sept mois
avatar
Je suis étourdi comme d'habitude la nuit, je corrige la question

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Preuve constructive
il y a sept mois
avatar
Si $a={\sqrt 2}^{\sqrt 2}$ est rationnel, terminé. Sinon, on observe que $a^{\sqrt 2}=2$ est rationnel.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Preuve constructive
il y a sept mois
avatar
Et en fait $a={\sqrt 2}^{\sqrt 2}$ est transcendant d'après le théorème de Gelfond-Schneider (1934). Mais il n'est pas nécessaire de le savoir pour répondre à la question posée.
Re: Preuve constructive
il y a sept mois
avatar
Ah oui, la réponse était sous mon nez merci Chaurien

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Preuve constructive
il y a sept mois
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C'était le PB 26 dans Le Petit Archimède 15-16, juin 1975, p. 42 [www.lepetitarchimede.fr]
Solution dans Le Petit Archimède 19, septembre 1975, p. 22. [www.lepetitarchimede.fr]
Mais j'ignore qui a trouvé cet exemple, Halmos ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Re: Preuve constructive
il y a sept mois
avatar
Lorsque, on a compris l'idée, on peut donner d' autres exemples. par exemple celui de Tryss. Si $a=e^{\frac 1{\pi}}$ est rationnel, terminé. Sinon, on observe que $a^{\pi\ln2}=2$ est rationnel

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Preuve non constructive
il y a sept mois
Un autre type de preuve non constructive :

On note $\mathbb{I}$ l'ensemble des irrationnels

Considérons la fonction $f_x:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ définie par $f_x(y) = x^y$.

Soit $x>1$ irrationnel. $f_x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, donc bijective, donc le cardinal de $f_x(\mathbb{I}^+) $ est égal à celui de $\mathbb{I}^+$, donc strictement plus grand que celui de $\mathbb{Q}$

Ainsi, il existe $y \in \mathbb{I}^+$ tel que $f_x(y) = x^y \not\in \mathbb{Q}$
ev
Re: Preuve non constructive
il y a sept mois
avatar
Bonjour Gebrane.

Je ne sais pas ce qu'est une preuve non constructive.

1/ il existe \( x \in \R_+^*, \; x^x = 2 \).

2/ Ce réel \( x \) est irrationnel.

Est-ce que ça répond à ta question ?

amicalement,

e.v.
Re: Preuve non constructive
il y a sept mois
avatar
Bonjour,
Moi aussi j'ai du mal à savoir ce qu'est une preuve constructive. Dans l'exemple d'ev, on a une formule pour le nombre trouvé : $x=\sup\{y>0\mid y^y<2\}$. Et on est théoriquement capable de calculer autant de décimales de $x$ qu'on veut. Est-ce que ça n'en fait pas une preuve constructive ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Calli.
Re: Preuve non constructive
il y a sept mois
@gebrane : comment sais-tu que $\pi \log 2$ est irrationnel ?
Re: Preuve non constructive
il y a sept mois
avatar
D'accord, il y a un réel $x>0$ tel que $x^x=2$, mais prouver qu'il est irrationnel, c'est sans doute faisable, comme pour $\sqrt 2$, mais ce n'est pas immédiat, non ?.
Re: Preuve non constructive
il y a sept mois
Pour une preuve non constructive de l'existence de deux irrationnels (ou même transcendants $x$ et $y$), un simple argument de cardinalité suffit. Il existe par exemple un ensemble non dénombrable de couples de réels strictement positifs $(x,y)$ tels que $x^y = 2$. Or seul un sous-ensemble dénombrable de ceux-ci à une coordonnée rationnelle. Il y en a donc forcément d'autres.
JLT
Re: Preuve non constructive
il y a sept mois
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Supposons que $x=\frac{a}{b}$ avec $a,b$ entiers naturels premiers entre eux. On a $a^a=2^bb^a$ donc $av_2(a)=b+av_2(b)$. On en déduit que $a$ divise $b$ donc $a=1$. Il vient $1=2^bb$ ce qui est impossible.
Re: Preuve non constructive
il y a sept mois
avatar

La preuve classique de Chaurien doit-elle être considérée constructive ou non ? En quelque sorte on exhibe modulo une discussion.
Re: Preuve non constructive
il y a sept mois
avatar
En admettant le théorème de Lindemann, est-ce que l’on ne pourrait pas s’en sortir avec le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction exponentielle ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
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