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Trouver un contre-exemple

Envoyé par Mickaël 
Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
Bonjour
Savez-vous comment constrire $f \in L^2(\mathbb{R}^3)$ telle que la fonction $u$ définie pour $(t,x)\in\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^3$ par
$$u(t,x)=t\int_{\omega \in S}f(x+t\omega)\,\mathrm{d}\omega \,,
$$ avec $S$ la sphère unité de $\mathbb{R}^3$, n'est pas dans $L^2_t L^{\infty}_x =\left\{v\,, \int_{\mathbb{R}} \|v(t,\cdot)\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^3)}^2\,\mathrm{d}t < \infty\right\}$ ?

Afin d'éviter les problèmes de bonne définition de $u$ en fonction de $f$, on demande de plus à ce que $f$ soit continue sauf en un nombre dénombrable de points par exemple.

Cette construction est possible (explicitement), mais j'aimerais bien voir vos idées sur ce genre de problème et comment on trouve naturellement un exemple.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Mickaël.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
avatar
Bonjour,
Soit $\chi:\Bbb R^3 \to \Bbb R$ une fonction continue qui vaut $1$ sur $B(0,1)$ et $0$ en dehors de $B(0,2)$. Notons $|.|$ la distance euclidienne et prenons $f: x\mapsto |x|^{-1} \chi(x)$. Alors $\int_{\Bbb R^3} f^2$ a la même nature que $\int_0^1 t^{2-2\times 1}\,{\rm d}t$, donc $f\in L^2(\Bbb R^3)$. De plus, $\forall t<1, u(t,0) = 4\pi t^{-1}$ donc $\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t \geqslant \int_0^1 (4\pi t^{-1})^2 \,{\rm d}t=+\infty$.
Ai-je bien respecté le cahier des charges ? À te lire, j'ai l'impression que les exemples sont censés être plus compliqués, donc j'ai peut-être raté quelque chose.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Calli.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
Bonjour Calli,
Je suis vraiment désolé, j'ai oublié un facteur $t$ dans la définition de $u$ ... cela change la donne.
Cela dit, le contre-exemple connu n'est pas si compliqué, mais je ne le comprends pas complètement du coup je demande à un public qui ne le connaît pas déjà, puisque une fois qu'on connaît cet exemple c'est difficile de penser à un autre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Mickaël.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
avatar
Edit : Ce qui suit est faux.

sad smiley

Nouvelle tentative. Soit, pour tout $r>0$, $\chi_r:\Bbb R^3 \to [0,1]$ une fonction continue qui vaut 1 sur $B(0,r)$ et 0 en dehors de $B(0,2r)$. Soit $e$ un vecteur unitaire de $\Bbb R^3$. Posons, de façon naturelle et spontanée spinning smiley sticking its tongue out, $$f:x\mapsto \sum_{n=2}^\infty n^3 \chi_{1/n^2}(x-ne).$$ Cette somme est en fait finie car les supports des $\chi_{1/n^2}(\cdot-ne)$ sont disjoints. Alors $\newcommand\sp[1]{\,#1\,}$
$$\begin{eqnarray*}
\int_{\Bbb R^3} f^2 \sp\leqslant \sum_{n=2}^\infty n^3 \, \lambda(B(ne,\frac2{n^2})) \sp= \sum_{n=2}^\infty n^3 \frac43 \pi \frac8{n^6} \sp< +\infty
\end{eqnarray*}$$
Posons $\nu : t\mapsto \max\{n\in\Bbb N^* \mid t\leqslant \frac1{n^2}\}$.
$$\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t &\geqslant& \int_0^{1/4} u(t,\nu(t) e)^2 \,{\rm d}t \\
&=& \int_0^{1/4} \left(t \, 4\pi \nu(t)^3 \right)^2 \,{\rm d}t \\
&\geqslant& \int_0^{1/4} \left(\frac1{(\nu(t)+1)^2} 4\pi \nu(t)^3 \right)^2 \,{\rm d}t \\
&=& \sum_{n=2}^\infty \left(\frac1{(n+1)^2} 4\pi n^3 \right)^2 \lambda(\{t \mid \nu(t)=n \}) \\
&=& \sum_{n=2}^\infty \left(\frac1{(n+1)^2} 4\pi n^3 \right)^2 \left(\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2} \right) \\
&\geqslant& (4\pi)^2 \sum_{n=2}^\infty \frac{n^6}{(n+1)^7} \\
&=& +\infty
\end{eqnarray*}$$



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Calli.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
Cette deuxième tentative me plaît bien. Par contre ta fonction $f$ n'est pas $L^2$, il me semble que dans le carré $f^2$ tu as oublié de mettre le $n^3$ au carré, non ?
Cela dit, je pense qu'on peut réadapter ton exemple. Malheureusement, une inspection rapide de ta preuve avec, cette fois-ci, la fonction $f(x)=\sum_n n^{\alpha}\chi_{n^{-\beta}}(x-ne)$ demande que $2\alpha -3\beta<-1$ pour que $f\in L^2$, mais pour faire diverger $u$ il "faut" $2\alpha-3\beta>0$.
Une manière de modifier ta preuve serait de déplacer tes boules $B(ne,1/n^2)$ à mon avis pour qu'elles tiennent compte naturellement du fait que $u(t, \cdot)$ intègre sur une sphère de rayon $t$.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
avatar
Et merde... Franchement c'est très difficile de pas se planter. J'ai beau me relire plein de fois.$\newcommand\sp[1]{\,#1\,}$

Il est vraiment compliqué ton problème. Quelques remarques que me suis faites en reréfléchissant à cette histoire :

$\bullet$ Si $f$ est un contre-exemple, alors $|f|$ aussi. Donc on peut ne regarder que des fonctions positives.

$\bullet$ On a par Cauchy-Schwarz : $$\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t
&\sp\geqslant& \sup_{x\in\Bbb R} \int_0^\infty u(t,x)^2 \,{\rm d}t \\
&=& \sup_{x\in\Bbb R} \int_0^\infty t^2 \left(\int_S f(t\omega) \,{\rm d}\omega \right)^2 {\rm d}t \\
&\leqslant& \sup_{x\in\Bbb R} \int_0^\infty 4\pi t^2 \int_S f(t\omega)^2 \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t \\
&=& 4\pi \int_{\Bbb R^3} f^2.
\end{eqnarray*}$$
Donc si on veut un contre-exemple, on doit absolument avoir $\displaystyle \sup_{x\in\Bbb R} \int_0^\infty u(t,x)^2 \,{\rm d}t \sp< +\infty \sp =\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t $. Et je ne sais pas comment l'obtenir.

$\bullet$ Mettons qu'on ne minore $\|u(t,\cdot)\|_\infty^2$ qu'en regardant un nombre dénombrable de points $x$. On a donc une suite $(x_n)$ et une partition $(A_n)$ d'un intervalle de $\Bbb R_+^*$ qui permettent de faire la minoration $$\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t \sp\geqslant \sum_{n=0}^\infty \int_{A_n} u(t,x_n)^2 \,{\rm d}t.
$$ Evidemment on veut avoir $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \int_{A_n} u(t,x_n)^2 \,{\rm d}t = +\infty$ et $f\in L^2$. J'ajoute l'hypothèse qu'on ne regarde que des sphères disjointes dans la minoration : $\forall t\in A_n, \forall s\in A_m, s\neq t\Rightarrow \partial B(x_n,t) \cap \partial B(x_m,s)=\varnothing$. C'était le cas dans ma tentative. Alors $$\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^\infty \int_{A_n} u(t,x_n)^2 \,{\rm d}t
&\sp\leqslant& \sum_{n=0}^\infty \int_{A_n} 4\pi t^2 \int_S f(x_n+t\omega)^2 \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t \\
&\sp=& 4\pi \sum_{n=0}^\infty \int_{\{x_n+t\omega \mid t\in A_n,\omega\in S\}} f^2 \,{\rm d}\lambda \\
&\sp\leqslant& 4\pi \int_{x\in\Bbb R^3} f^2 \,{\rm d}\lambda \\
&\sp<& +\infty
\end{eqnarray*}$$
car les $\{x_n+t\omega \mid t\in A_n,\omega\in S\}$ sont disjoints. Donc cette démarche est un échec. Ça ferme la porte à plein de bricolages et recollement possibles de fonctions. sad smiley

Edit : J'ai enlevé mes "$\Bbb E$" qui obscurcissaient les choses.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Calli.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
Sous réserve que je ne me sois pas planté (ce qui est très possible vu mon état ):


En cherchant à faire apparaitre le problème vers $+ \infty$ (donc les équivalence qui suivent sont en l'infini) :

Si on prends une fonction positive de $L^2$ qui n'est pas dans $L^1$, on va avoir, pour tout x,

$\int_0^\infty \int_S f(t\omega + x) d\omega dt= + \infty$ et $\int_0^\infty \int_S f^2(t\omega + x) d\omega dt= C$

Si, de plus, la fonction est radiale, en notant $g(t) = f(t\omega) \mu(S)$. on obtient
$\int_0^\infty g(t) dt = + \infty$ et $\int_0^\infty g^2(t) dt= C$

Donc on va regarder $g(t) \sim \frac{1}{t}$, et alors,

$u(t,0) = t \int_S f(t\omega) d\omega = t g(t) \sim 1$

Ce qui va entrainer que

$\int_0^\infty \| u(t,.) \|^2_\infty dt = + \infty$


Au final, la fonction $f(x) = \text{min}(1, \frac{1}{\|x\|})$ devrait convenir
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
@Tryss : c'est un exemple très simple et qui marche bien ! oups j'ai mal lu... cf le message de Calli ci-dessous.

Calli cherchait à obtenir un contre-exemple un peu plus fort, tel que $u \notin L^2_t\times L^{\infty}_x([0,1]\times \mathbb{R}^3)$, c'est pour ça que c'est plus difficile.

Je propose donc que l'on cherche à construire un tel exemple. Et ce n'est a priori pas si simple de transformer l'exemple de Tryss. Il va falloir que $f$ soit grosse, non pas en l'infini mais en au voisinage d'un point.

EDIT : je me suis fait avoir, j'ai mal lu :(



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Mickaël.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
avatar
Si je ne me suis pas trompé dans les remarques que j'ai faites dans mon précédent message (a-t-il été lu ?), la démarche radiale de Tryss (que j'ai aussi essayée au début) est vouée à l'échec. Je répète pourquoi. C'est parce que $\newcommand\sp[1]{\,#1\,}$
$$\int_0^\infty u(t,0)^2 \,{\rm d}t
\sp= \int_0^\infty t^2 \left(\int_S f(t\omega) \,{\rm d}\omega \right)^2 {\rm d}t
\sp\leqslant \int_0^\infty 4\pi t^2 \int_S f(t\omega)^2 \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t
\sp= 4\pi \int_{\Bbb R^3} f^2
\sp< +\infty$$
par Cauchy-Schwarz.

D'ailleurs :

Citation
Tryss
Si on prends une fonction positive de $L^2$ qui n'est pas dans $L^1$, on va avoir, pour tout x,

$\int_0^\infty \int_S f(t\omega + x) d\omega dt= + \infty$ et $\int_0^\infty \int_S f^2(t\omega + x) d\omega dt= C$

$\displaystyle \int_0^\infty \int_S f(t\omega + x) \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t$ n'est a priori pas égal à $\displaystyle \int_{\Bbb R^3} f$. C'est $\displaystyle \int_0^\infty t^2 \int_S f(t\omega + x) \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t$ qui vaut $\displaystyle \int_{\Bbb R^3} f$ parce que $S$ est la sphère unité.

Citation
Tryss
Au final, la fonction $f(x) = \text{min}(1, \frac{1}{\|x\|})$ devrait convenir

$\displaystyle \int_{\Bbb R^3} f^2 = \int_0^\infty 4\pi t^2 \min(1,\frac1{t^2}) \,{\rm d}t = +\infty$ donc $f\not\in L^2(\Bbb R^3)$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Calli.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
Calli, merci de nous corriger ! Je n'avais pas encore lu ton message. Au moins ça exclu tout un tas d'exemples !
Pour avancer, disons qu'on souhaite garder l'idée directrice qu'il y a des fonctions dont le carré est intégrable au voisinage d'un point de $\mathbb{R}^3$ mais pas intégrable sur des sphères qui passent par ce point, et continuons de chercher $f$ radiale qui devient très grande au voinage de $0$, avec par exemple $f(x)=|x|^{-\alpha}$. Prenons $e$ un vecteur unitaire, alors on s'attend à ce que $u(t,te)$ soit énorme parce que la sphère de rayon $t$ de centre $e$ passe par $0$.
$f \in L^2$ à condition que $\alpha>3/2$ et on aimerait regarder $u(t,te)=t\int_{S^2}f(t,te)d\omega = t \sum _k \int_{S^2} \mathbf{1}_{|x|\sim 2^{-k}}d\omega$. Pythoagore assure que $\lambda_{2}(\{|x|\sim 2^{-k} \cap S(te,t)\}) \sim 2^{-2k}$ de sorte que $\|u(t, \cdot)\|_{L^{\infty}} \geq \sum_k 2^{((\alpha-2)k}$ et donc on voudrait prendre essentiellement $\alpha=2$, problème, ça ne donne pas $f \in L^2$, on a $f \approx L^{3/2}$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Mickaël.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
avatar
J'avais pensé à regarder ce genre de sphère. Mais j'avais abandonné parce que ça me paraissait trop compliqué. J'ai été un peu bête car ça n'est pas insurmontable finalement, mais bon.

Soient $\chi:\Bbb R^3 \to \Bbb R$ une fonction continue qui vaut $1$ sur $B(0,1)$ et $0$ en dehors de $B(0,2)$ et $f: x\mapsto |x|^{-1} \chi(x)$ (oui oui, je reprends mon tout premier exemple !). Alors $f\in L^2$.
Ensuite, soient $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\Bbb R^3$ et $\varepsilon = 10^{-3}$. On a $$\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t
&\geqslant& \int_0^1 u(t, te_3)^2 \,{\rm d}t \\
&\geqslant& \int_0^1 t^2 \left(\int_S f(te_3 + t\omega) \, {\bf 1}_{\langle \omega,-e_3 \rangle >\cos(\varepsilon)} \,{\rm d}\omega\right)^2 {\rm d}t \\
&\approx& \int_0^1 t^2 \left(\int_{B_{\Bbb R^2} (0,\varepsilon ) \times\{0\}} f(ty) \,{\rm d}y\right)^2 {\rm d}t \\
&=& \int_0^1 \frac1{t^2} \left(\int_{B_{\Bbb R^2} (0,\varepsilon t) \times\{0\}} f(z) \,{\rm d}z\right)^2 {\rm d}t \\
&=& \int_0^1 \frac1{t^2} \left(\int_0^{\varepsilon t} 2\pi s \frac1s \,{\rm d}s\right)^2 {\rm d}t \\
&=& 4\pi^2 \varepsilon^2 \int_0^1 \frac1{t} {\rm d}t \qquad édit\, : \ 4\pi^2 \varepsilon^2 \int_0^1{\rm d}t \\
&=& +\infty \qquad édit\, : \ <\infty
\end{eqnarray*}$$
Reste à savoir si je n'ai pas fait d'erreur de calcul (yawning smiley) et si tu es convaincu par mon "$\approx$". J'ai la flemme d'essayer de formaliser le $\approx$, mais je pense/j'espère que ça tient la route.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Calli.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
Alors je n'ai pas réussi à vérifié ton "$\approx$" et puis je ne comprends pas ce que tu entends par $B_{\mathbb{R}^2}\times\{0\}$ ... on est passé d'une intégrale 2d à 3d ? Peux-tu m'éclairer ?

En revanche, c'est bizarre parce que quand je fais le calcul à ma sauce pour ton $u(t,te_3)$ j'ai que des intégrales qui convergent (mais $B(te_3,t) \cap \{|x| \sim 2^{-k}\} \sim t$ est pénible à estimer pour $t$ petit, faudra que je refasse le calcul).

Edit : en faisant ce calcul proprement, je trouve que ton $u \notin L^2_tL^{\infty}_x$. Mais ça m'a permis de comprendre mieux le contre exemple "connu" : la fonction que j'ai donnée plus haut peut être regardée pour $t \in [1,2]$, ce qui évite les problèmes de taille de $t$ proche de zéro dans l'estimation de l'ensemble $B(te_3,t) \cap \{|x| \sim 2^{-k}\}$; et la fonction est également regardée uniquement sur $B(e_3,2) \setminus B(e_3,1)$ (l'ensemble balayé pour $t \in [1,2]$). Il se trouve que cette fois-ci la fonction $f$ est bien $L^2$ (modulo une modification logarithmique supplémentaire). Je pourrais donner des détails si tu veux. Mais c'est peut-être sympa d'aller construire par toi/nous-même un contre-exemple !



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Mickaël.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
avatar
L'idée dans mon $\approx$, c'est que de l'intégrale sur la sphère (en rouge transparent), je ne garde que la partie de l'intégrale sur une petite calotte autour de l'origine (en rouge moins transparent). Et ensuite, j'assimile la calotte (qui est très aplatie) au disque bleu, i.e. $B_{\mathbb{R}^2}(0,\varepsilon) \times\{0\}$.

Et mon intégrale sur $B_{\mathbb{R}^2}\times\{0\}$ est en fait une intégrale 2D pour la mesure de Lebesgue 2D du plan $\Bbb R^2\times\{0\}$. C'est vrai que c'est ambigu.


Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
avatar
On non, j'ai oublié le carré à l'avant dernière ligne. Donc ce que j'ai écrit ne marche pas.

Bon j'en ai marre, je jette l'éponge. C'est vraiment imbitable comme problème ^^. Maintenant au moins tu sais que, si le contre-exemple que tu connais est compliqué, il y a une bonne raison à ça.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
Très bien, je vois mieux ce que tu fais alors, tu approches la calotte par un cercle, c'est dommage que ça ne marche pas. Je rédigerai tout à l'heure une solution.

Il y a des contre-exemples bien plus compliqués à trouver. J'essaierai d'en parler si je trouve le temps.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
L'exemple était $f(x)=|x|^{-2}\log(|x|)^{-1} \mathbf{1}_{B(2e_3,2)\setminus B(e_3,1)}$ et pour la preuve on estime $\{|x|\sim 2^{-k}\} \cap \left(B(2e_3,2)\setminus B(e_3,1)\right)$ qui a pour mesure (volumique) $\sim 2^{-4k}$, alors que l'intersection $\{|x|\sim 2^{-k}\}\cap S(te_3,t)$ n'a qu'une mesure (surfacique) de $\sim 2^{-k}$ et du coup cela montre (après calculs) que $f \in L^2$ et $u(t,te_3)=+\infty$ pour $t \in ]1,2[$.

Avec le recul, on se rend compte que l'exemple que j'avais donné plus haut était seulement dans $L^{3/2}$ (environ). Pour avoir $f \in L^2$ on pouvait essayer de modifier en regardant les sphères balayés $S(te_3,t)$ pour $t \in [0,1]$ et se restreindre à cette zone. Mais les calculs sont compliqués quand $t \to 0$ et donc $t \in [1,2]$ marche mieux. En faisant tout ça on a quand même $f \in L^{2-\varepsilon}$ et on modifie logarithmiquement pour faire converger l'intégrale dans $L^2$.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
avatar
Mmm. C'est vrai que ça n'est pas un contre-exemple simple à comprendre.

Quelle est la finalité de tout ça au fait ? Ç'a une utilité d'étudier les fonctions $u$ et $\|u(t,\cdot)\|_\infty$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Calli.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
Voici le fond de l'histoire : il s'agit de contre-exemples aux cas limites des inégalités de Strichartz. Qu'est-ce donc ?
La question est d'étudier les solutions $(u,\partial_t u)$ de $(\partial_t^2-\Delta u)=0$ (en dimension $d \geqslant 2$) ayant pour données initiales $(u(0),\partial_tu(0))=(u_0,u_1) \in H^s \times H^{s-1}$ (espaces de Sobolev). Strichartz affirme (entre autres) que
$$\|u\|_{L^p_t([0,T],L^q_x)} \lesssim _T \|(u_0,u_1)\|_{\dot H^s \times \dot H^{s-1}}\,,
$$ dès que $s\geqslant 0$, $p\in[2,\infty]$, $q\in[2,\infty[$ satisfont la condition d'homogénéité
$$\frac{1}{p}+\frac{d}{q}=\frac{d}{2}-s
$$ et la condition supplémentaire
$$\frac{1}{p}+\frac{d-1}{2q} \leqslant \frac{d-1}{4}\,.

$$ Que se passe-t-il quand $q=\infty$, $d=3$, $s=1$ et $p=2$ ? Et bien on pourrait penser que l'inégalité est toujours vraie ... or il n'en est rien. Notre contre exemple est fait pour : prendre $(u_0,u_1)=(0,f)$ et appliquer une formule de représentation en dimension $d=3$ pour les ondes et conclure.

Un dernier mot : à quoi servent les inégalités de Strichartz ? Et bien pour le dire simplement, on remarque que la seule information $u(t) \in H^s_x$ ne donne a priori pas mieux que $u(t) \in L^q_x$ pour $q \leqslant q^*$ (exposant donné par les injections de Sobolev). Ici on fait bien mieux : quitte à regarder une norme espace-temps on peut obtenir n'importe quel exposant $q$. La répercussion majeure de cette observation est qu'on peut résoudre le problème de Cauchy (localement en temps) pour l'équation des ondes à des régularités plus faibles que ce que les injections de Sobolev seules permettent d'obtenir. L'idée clé derrière l'obtention des estimées de Strichartz est la dispersion, phénomène cher aux ondes linéaires (en dimension supérieure à $2$). On exploite ainsi une propriété fondamentale de l'équation et on ne se contente plus uniquement d'arguments d'analyse fonctionnelle.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Trouver un contre-exemple
il y a sept mois
avatar
Merci pour ces explications. J'ai vu en cours d'EDP l'équation des ondes juste cet après-midi. Quand j'ai lu ce matin

Citation
Mickaël
prendre $(u_0,u_1)=(0,f)$ et appliquer une formule de représentation en dimension $d=3$ pour les ondes et conclure.

je ne comprenais pas, mais ce soir je sais de quoi tu parles. smiling smiley
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