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Transformée de Fourier de $x/|x|^2$

Envoyé par Niser 
Transformée de Fourier de $x/|x|^2$
il y a six mois
Bonjour
J'essaye de calculer la transformée de Fourier de $\frac{x}{|x|^2}$ mais je n'arrive pas. Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Transformée de Fourier de x/|x|^2
il y a six mois
Alors déjà, si x est réel, ta fonction est égale à la fonction 1/x, et n'est donc ni $L^1$ ni $L^2$, et, tel quelle, n'est pas non plus une distribution.

Ceci étant dit, on pourrait considérer que la distribution "valeur principale de 1/x" est "presque pareil" et calculer la transformée de Fourier de cette dernière (vu qu'il s'agit d'une distribution tempérée)
Re: Transformée de Fourier de $x/|x|^2$
il y a six mois
Désolé, j'avais oublié de préciser que $x$ est dans $\mathbb R^d$ eye rolling smiley . Mais dans ce cas, si je ne dis pas de bêtises, on n'aura plus un problème en $0$ (si on passe par les coordonnées polaires $|x|^2$ au dénominateur se simplifie quand on multiplie par la jacobienne). Par contre, je n'ai pas encore réussi à calculer sa transformée de Fourier.

En fait le problème c'est étant donné $f\in C^1_c$, on doit essayer de trouver une formule qui lie $f$ et $\nabla f$.

Ce que j'étais en train de faire :
$\displaystyle f=\big((\Delta)^{-1} \nabla \big)\nabla f= \frac{1}{(2\pi)^d} \int \frac{i\xi}{|\xi|^2}\mathscr F (\nabla f)(\xi) e^{ix.\xi} \ d\xi$.
Et puis j'ai appliqué Fubini et j'arrive à l'étape où je dois calculer une transformée de Fourier de $\frac{i\xi}{|\xi|^2}$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
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