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Inclusion d'intersection infinie

Envoyé par mokata 
Inclusion d'intersection infinie
il y a six mois
avatar
Soit $ E $ un espace de Banach, $\ T: E \rightarrow E $ une fonction, et $ \{x_n \}_{n \in \mathbb N} $ tel que $$ x_ {n + 1} = T ( x_n), \quad \forall n \in \mathbb {N}.

$$ Soit $ X_n = \overline{\text {Conv}} \{x_n, x_{n + 1} ,\ldots \}. $
Je veux prouver que $$ T \Big (\bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n \Big) \subseteq \bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n.
$$

J'ai commencé la preuve, en prenant $y\in T \big (\bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n \big),$ donc $\exists x\in \bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n $ tel que $y=T(x)$.
Puisque $x\in \bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n $ , alors $x\in X_n ,\ \forall n.$

Après, le fait que $x\in X_n $ veut dire implique que pour n'importe quel $\epsilon >0,$ il existe $u\in \text {Conv} \{x_n, x_{n + 1}, \ldots \}$ vérifiant $\|x-u\|<\epsilon$.

Je ne suis pas arrivé à terminer la démonstration jusqu'au bout, même en explicitant le fait que $u\in \text {Conv} \{x_n, x_{n + 1},\ldots \}$.
De l'aide SVP !



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par mokata.
Re: Inclusion d'intresection infinie
il y a six mois
avatar
Je suppose que $T$ est une application linéaire continue. Dans ce cas pour $x\in X_n$ et $\epsilon > 0$, tu peux choisir $u\in \text {Conv} \{x_n, x_{n + 1} \cdots \}$ tel que $\|x-u\|<\epsilon / \|T\|$ (on suppose $\|T\|\neq 0$ autrement ce que tu veux montrer est trivial).

Donc $\|Tx-Tu\|\leq \|T\|\cdot\|x-u\|< \epsilon$. Ce qui veut dire que $Tx\in \overline{\text {Conv} \{x_{n+1}, x_{n + 2}\}}=X_{n+1}$.

Etc.
Re: Inclusion d'intresection infinie
il y a six mois
avatar
Nonconfused smiley, Justement $T$ est une fonction quelconque, bornée en norm.
Re: Inclusion d'intresection infinie
il y a six mois
avatar
Si $T$ est quelconque je crois qu'on peut trouver un contre-exemple mais j'ai la flemme de chercher, désolé.

Si une âme généreuse passe par là...
Re: Inclusion d'intersection infinie
il y a six mois
avatar
Espérons que votre intuition n'est pas juste dans ce cas, puisque j'aimerais bien que ce résultat soit vrai !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Inclusion d'intersection infinie
il y a six mois
Prends $E = \mathbb{R}^2$, et $T$ une fonction telle que l'image d'un vecteur de norme 1 est sa rotation par un angle $\theta$ de 1 radian.

Alors si $x_0$ est de norme 1, pour tout n,$ X_n$ est le disque unité fermé.

Sauf qu'il existe des fonctions vérifiant ces propriétés Mais pour laquelle l'image du disque unité n'est pas inclue dans le disque unité. Il suffit d'ailleurs que |T(0)| > 1,
Re: Inclusion d'intersection infinie
il y a six mois
avatar
Merci pour la réponse.

Si tu veux dire par le disque unité $D(0,1)=\{x\in \mathbb{R}^2:\;\|x\|=1\}$, je ne vois pas pourquoi l'image(par une rotation d'ange $\theta$ et de radian $1$) de disque unité n'est pas incluse dans le disque unité
Re: Inclusion d'intersection infinie
il y a six mois
avatar
C'est bon, j'ai trouvé la réponse ailleur, merci à vous tous;

$X=\mathbb{R},\;x_0=1,\;T(1)=-1,T(-1)=1,\;T(0)=2.$
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