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Vitesse de convergence

Envoyé par Borelline 
Vitesse de convergence
il y a six mois
avatar
Bonjour, dans mes sources, soit $(x_n)$ un suite convergeant vers $\alpha$, je lis :
Cette convergence est au moins linéaire si il existe $0 < C < 1$, $N \geq 1$ tel que : $\forall n \leq N, |x_n - \alpha| < C|x_{n-1}-\alpha|$
Cette convergence est au moins géométrique si il existe $0 < k < 1$, $N \geq 1$ tel que : $|x_n - \alpha| = \mathcal{O}(k^n)$

J'ai alors plusieurs questions :
-> êtes vous bien d'accord avec ces définitions ?
-> la convergence au moins linéaire implique la convergence au moins géométrique est clair. La réciproque est-elle vrai ? Avez-vous une preuve? Un contre-exemple ?

Je n'arrive vraiment pas à clarifier ces notions !
Merci à vous,
Re: Vitesse de convergence
il y a six mois
Bonjour,
Je ne connaissais pas les définitions, c'est une convention comme une autre, ça ne me choque pas. Il y a des convergence au moins géométrique qui ne sont pas au moins linéaire, exemple:
$u_0\neq 0\wedge \forall n\in\mathbb{N}, [ u_{2n+1}=2 u_{2n}\wedge u_{2n+2} =0.25 u_{2n+1}]$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Titi le curieux.
Re: Vitesse de convergence
il y a six mois
@Titi : ça veut dire quoi $2 u_{2n}\wedge u_{2n+2}$ stp ?
Re: Vitesse de convergence
il y a six mois
Re,
Désolé, j'ai pris l'habitude de définir des trucs avec des formules plus ou moins complète (c'est un petit investissement au départ, mais je trouve que ça rend la lecture plus efficace). $\wedge$ ça signifie "et" (et $\lor$ c'est "ou"). En gros ça signifie pour tout $n$, $u_{2n+1}=...$ et $u_{2n+2}=...$.
Re: Vitesse de convergence
il y a six mois
avatar
Bonjour, par récurrence tu prouves que si $(u_n)$ vérifie ta croissance linéaire alors:
$$
|u_n- a| \leq K \times C^n

$$
à paritir d'un certain rang évidemment, ce qui correspond à ta croissance géométrique...

A demon wind propelled me east of the sun



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par gilles benson.
Re: Vitesse de convergence
il y a six mois
avatar
D'un autre côté, on parle de convergence "quadratique" quand $|u_{n+1} - a| \leq K \times |u_n - a |^2 $...

A demon wind propelled me east of the sun
Re: Vitesse de convergence
il y a six mois
avatar
Merci !
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