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Oraux concours RMS 2020 X, ENS

Envoyé par etanche 
MrJ
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@Bisam : Sauf erreur de ma part, il faut aussi démontrer que $\sum y_n^2$ est convergente pour obtenir la contradiction souhaitée (on peut le démontrer en comparant avec une intégrale il me semble).
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Une indication (pas une solution !) pour le 245 ?

Je n'ai rien écrit mais déjà :

Si $(\epsilon_i)$ est constante, je sais faire (il est alors classique que $(a_n)$ est un petit o de 1/n, ce qui permet de conclure).

Si $\epsilon_i = (-1)^i$, je sais faire (série alternée).

Sinon, pas trop d'idée...
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
avatar
@MrJ : Tu as parfaitement raison, j'ai oublié ce "détail" spinning smiley sticking its tongue out
On peut montrer la convergence de la série de terme général $y_n^2$ en remarquant que, par croissance de la suite $(S_n)$, on a : \[\forall n\geq 1,\quad 0\leq y_n^2=\frac{x_n^2}{S_n^2}\leq \frac{x_n^2}{S_nS_{n-1}}=\frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_n}\]
Ce dernier terme est celui d'une série télescopique convergente puisque la suite $(S_n)$ diverge vers $+\infty$ donc $\frac{1}{S_n}$ converge vers $0$.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@bisam cependant, pour une approche hors programme, l'utilisation du graphe fermé est efficace ! ^^
Par hypothèse, la forme linéaire $\varphi$ (où $\displaystyle \varphi(y)=\sum_{n\geq 1}x_{n}y_{n}$) est continue sur $\ell^{2}$ (via le théorème du graphe fermé).
Ainsi, pour $y\in \ell^{2},\ \displaystyle \vert \varphi(y) \vert \leq C\|y\|_{2}.$
Soit $N\in \mathbb{N}^{*}.$ En sélectionnant pour $n\leq N,\ \displaystyle y_{n}=\mbox{sg}(x_{n})x_{n}$ et pour $n>N,\ y_{n}=0,$ il vient : $$\sum\limits_{n=1}^{N}x^{2}_{n}\leq C\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{N}x^{2}_{n}}\quad \mbox{ i.e. }\quad \sum\limits_{n=1}^{N}x^{2}_{n}\leq C^{2}.
$$ Ainsi, $x\in \ell^2.$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Ramufasa : as-tu essayé une transformation d'Abel ?
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Oui !

On arrive à : $a_N \sum_i \epsilon_i = \sum_n a_n \epsilon_n + \sum_n (\sum_i \epsilon_i) (a_{n+1} - a_n)$ sauf erreur.

Et je ne vois pas comment gérer le second terme...
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@Boobyjoe: peut-on utiliser Cauchy-Schwarz ici ou c'est hors-sujet ? merci.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Je reviens sur la démonstration du 69 par bisam.

On peut éviter l'utilisation du théorème de la double limite (hors programme PC actuellement).
Comme je n'utilise pas les suites de fonctions je pose $w_n=u_n+u_{2n}$ et donc $v_{n,k}=w_{2^kn}$.

A partir de $u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2^k}w_{2^kn}$ (démontré par bisam), on peut écrire $u_n-\dfrac23=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2^k}(w_{2^kn}-1)$.

Par hypothèse : pour tout $\varepsilon>0$ il existe $n_0$ tel que pour $n\geq n_0$ on a $|w_n|\leq \varepsilon$.

On a alors pour $n\geq n_0$ : $|u_n-\dfrac23|\leq\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac1{2^k}\varepsilon=2\varepsilon$. Cela démontre que $(u_n)$ vonverge vers $\dfrac23$.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@Ramufasa : il faut plutôt faire une transformation d'Abel mais dans un autre sens : $\displaystyle \sum\limits_{k=A}^{B}\varepsilon_{k}=\sum\limits_{k=A}^{B}\varepsilon_{k}a_{k}\times \frac{1}{a_{k}}.$

@Totem : L'inégalité de Cauchy-Schwarz (du moins son cas d'égalité) donne l'idée de comment sélectionner les $y_{k}.$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par BobbyJoe.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Une variation technique autour de l'exercice traité par Bisam et Jandri (je mets des majuscules car pour moi, ce sont des noms propres! ^^)... qui force cette fois-ci à faire des découpages.

Soit $q$ un entier plus grand ou égal à $2$ et $\alpha\in \mathbb{C}.$
On considère une suite $u$ verifiant :
$\displaystyle \exists\beta\geq 0,\mbox{ } \forall n\gg1 : \vert u_{n} \vert \lesssim n^{\beta} \mbox{ et } \exists \ell\in\mathbb{C},\mbox{ } u_{n}+\alpha u_{qn}\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell.$

Montrer que $u$ est convergente si $\vert \alpha \vert q^{\beta}<1$ (et donner un contre-exemple lorsque cette condition n'est pas satisfaite).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par BobbyJoe.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Bonsoir,

Numéro 50
On vérifie l'identité du parallélogramme $\forall a,b\in E, ||a-b||^2+||a+b||^2=2( ||a||^2+||b||^2)$ (NB : tout se passe dans un espace vectoriel de dimension 2 au plus $vect(a, b)$. C'est donc l'identité qu'on voit au collège si on considère l'espace vectoriel associé au plan affine euclidien : $||a-b||, ||a+b||$ représentent les longueurs des diagonales d'un parallélogramme et $|a||, ||b||$ représentent les longueurs de deux co^tés adjacents).

Ainsi si $||a||\le M_1, ||b||\le M_2$ l'un au moins des vecteurs $a-b, a+b$ est de norme inférieure ou égale à $ (M_{1}^{2}+M_{2}^{2})^{1/2}$ ce qui assure que le résultat est vrai pour $n=2$.

Montrons le résultat par récurrence.
Supposons le résultat vrai à l'ordre $n\ge 2$.
Ainsi il existe des $\epsilon_i \in \{-1;1\}, i \le n$ tels que $a:=\sum_{i\le n} \epsilon_i v_i$ vérifie $||a|| \le \sqrt n$ et en appliquant ce qui précède avec $b=v_{n+1}, M_1=\sqrt n, M_2=1$, l'un au moins des vecteurs $a-b, a+b$ est de norme inférieure ou égale à $\sqrt {n+1}$ et il n'y a qu'à constater que ce vecteur a la forme requise.
Remarque
On a montré un résultat plus fort : les $v_i$ peuvent être pris de norme inférieure ou égale à $1$. En fait on peut montrer, sans savoir si le résultat est vrai ou pas, que les deux énoncés sont équivalents comme le suggère l'intuition.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
264


Rappel :
$\forall k\in \Z^*, \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi}e^{-ik\theta}d \theta=0$ et $\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}d \theta=1$

Notons $P=\sum_{k\in \N} a_kX^k$ où les $a_k$ sont des entiers relatifs tous nuls sauf peut-être un nombre fini.
On a $\forall k\in \N, a_k=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi} P(e^{i\theta})e^{-ik\theta}d \theta$ d'où en utilisant l'hypothèse vérifiée par $P$,
$|a_k|\le \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi} 1 d \theta=1$ et comme $a_k\in \Z$, on a $\forall k\in \N, a_k \in \{-1; 0; 1 \}$. (1)
Par ailleurs, on vérifie en se souvenant que $|P|^2=P\bar P$, on a l'identité
$\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi} |P(e^{i\theta})|^2d \theta=\sum_{k\in \N} |a_k|^2$ et comme le membre de gauche est majoré par 1, le membre de droite est majoré par $1$ et compte-tenu de $(1)$
1) soit tous les $a_k$ sont nuls et $P$ est alors le polynôme nul,
2) soit tous les $a_k$ sont nuls sauf exactement un et un seul $a_k$ qui est non nul et vaut $+/- 1$ et $P$ est alors un polynôme du type $X^l, l\in \N$ ou du type $-X^l, l\in \N$.

Réciproquement, tous ces polynômes répondent à la question.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Pour le 73


Théorème 7 page 33 mots clefs nombre de rotation , suite quasi sous-additive , lemme de Fekete

Voir aussi page 14 théorème 7

Remarque: dans ces papiers c’est positionné en le théorème 7 . Est-ce un hasard ?



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par etanche.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Le 68 est le plus beau problème que j'ai eu l'occasion de voir parmi tous les oraux x-ens.
MrJ
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Pour le 68 : Il me semble qu’il s’agit d’un cas particulier de résultats généraux sur les réseaux.
Lorsque l’on dilate une partie convexe $C$ de $\R^n$ avec quelques propriétés de régularités par un réel $t$, le nombre de points de $\Z^n$ dans $tC$ est équivalent à $t^n\times Vol(C)$ lorsque $t\to +\infty$.

Ce résultat peut s’étendre au contexte plus général des réseaux.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par MrJ.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Pour le 68

sur un forum anglophone y a une solution

Voir le post de ysharifi
MrJ
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
C’est la démonstration « classique » du résultat que je mentionnais dans mon message précédent.

Ils ont l’air d’apprécier le 135, alors qu’il me rebute directement en voyant l’énoncé...
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@MrJ aurais-tu un pdf pour $vol(C)t^n$ ? Et le contexte plus général des réseaux , références merci
MrJ
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
C’est un résultat que j’avais utilisé dans ma thèse.
Je n’ai malheureusement pas de document pdf sur ce sujet, mais j’ai la référence que j’avais noté dans mon manuscrit : Chapitre 6, théorème 2 du livre ci-dessous.

Serge Lang, Algebraic number theory, second éd., Graduate Texts in Mathematics, vol. 110, Springer-Verlag, New York, 1994.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par MrJ.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
En faite Wer est à l'origine du 135 c'est l'auteur grinning smiley.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par oty20.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
avatar
Citation
Etanche
@MrJ aurais-tu un pdf pour $\mathrm{Vol}(C) t^n$ ?

Pas une référence mais le résultat se démontre assez simplement. Il est trivial pour les pavés droits et donc quasi trivial pour les unions de pavés droits. On voit aussi simplement que si $U\subset V$ alors $tU$ contient plus moins de points à coordonnées entières que $tV$. En utilisant les deux remarques précédentes on montre que $\mathrm{Card}(\Z^n \cap t C) \sim t^n \mathrm{Vol}(C) $ pour tout ensemble $C$ qui est Jordan mesurable (ie la mesure de sa frontière est nulle).



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Corto.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Une photo et poster du théorème 2 chapitre 6 de Serge Lang algebraic number theory. Merci.
Je n’ai pas ce livre à côté de moi.

@oty20 sympa pour la photo du livre



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Voici l'essentiel de la demo dans la référence.


Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@etanche : as-tu le fichier avec les exercices "sans étoile", comme ça on pourrait résoudre des exercices qui ne seront pas corrigés ?
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@Mickaël non je n’ai pas d’autres exercices , le fichier que j’ai mis en ligne je l’avais trouvé sur le site de la RMS où
on peut télécharger librement RMS



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par etanche.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
avatar
Le reste des exercices n'est pas disponible gratuitement.
Il faut un abonnement à la RMS pour y accéder.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Bonsoir,


256

je ne comprends pas cet énoncé, en manque-il un bout ?


Soit $n$ la dimension de l'ev.
On vérifie que le résultat est vrai pour $n=0,1$.


Eléments corrigés après publication initiale

Si $n\ge 2$ :
Soit $(e_i)$ la base canonique.
Considérons la matrice $N$ définie par $Ne_1=e_2, \forall i>1, Ne_i=0$
Soient $A=I_n+3N$ et $B=I_n+3N^{*}$ (ie $B$ est la transposée de $A$, et $A+B$ est symétrique réelle)
On vérifie que les spectres de $A,B$ sont inclus dans $\R^{+*}$ (singleton $\{1\}$).
On vérifie que le spectre de $A+B$ contient les racines du polynôme $X^2-4X-5$ de sorte que $A+B$ possède une valeur propre réelle strictement négative ($-1$).
Le résultat est donc faux pour $n \ge 2$.


AJOUT
à mon avis, soit ma proposition est fausse (je parierais là-dessus), soit il manque un bout de l'énoncé.
Si $A, B$ commutent, le spectre de $A+B$ ne peut rencontrer $\R^-$, on s'attend donc légitimement à ce que le résultat s'étende. Je verrai ce qui cloche ci-dessus demain ou la semaine prochaine.



Ajout
Autre façon d'y arriver
Supposons le résultat vrai.
Soit $A$ de spectre inclu dans $\R^{+*} $ de sorte qu'on aurait $A+^tA$ est de spectre inclu dans $\R^{+*}$ et en particulier $\forall i, a_{ii} =(Ae_i, e_i) =(1/2(A+^tA))e_i, e_i) >0$.
Ainsi on aurait le résultat suivant : toute matrice de spectre inclu dans $\R^{+*} $ possède une diagonale strictement positive et ceci est stable par changement de base.
Il ne reste plus qu'à construire un contre-exemple comme celui qui figure ci-dessus.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par side.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@side il me semble que tu as résolu le 256
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
68

la solution proposée/évoquée me semble trop compliquée pour un oral.
On doit pouvoir traiter avec un peu de combinatoire et quelques encadrements.
Si on note $S_n(t):=X(t)$ en faisant apparaître le $n$ qui est absent dans l'énoncé, et si on introduit $T_n(t)$ la suite où on remplace tous les $1/k$ par $1$, un calcul explicite de $T_n$, des encadrements grossiers de $T_n(t)$, puis de $S_n(t)$ devraient permettre de répondre aux questions a) et b)
Pour l'équivalent, j'essaierais de relier $S_{n+1}$ à $S_n$ et d'obtenir des estimations asymptotiques de $S_{n+1}$ à partir de celles de $S_n$.


étape 1 : calcul de $T_n(t)$
Lemme. Calcul du nombre de possibilités $N_r$ de repartir $r$ jetons dans $n$ boîtes ie d'écrire $r=\sum_{k=1}^n p_k, p_k\in \N$.
C'est équivalent à compter le nombre de configurations
...|..|....|.. (etc).. |. (qui correspond à $p_1=3, p_2=2, p_3=4, etc, p_n=1$, les barres verticales délimitent les boîtes et la première et dernière boîte ne possèdent pas de bord extérieur : ainsi il y a $r$ points et $n-1$ tirets verticaux). Ainsi cela revient à choisir la position des $n-1$ tirets verticaux parmi $r+n-1$ ie $N_r=\binom{n+r-1}{n-1}$.

Ainsi $T_n(t) =\sum_{r=0}^{[t]} N_r=\sum_{r=0}^{[t]} \binom{n+r-1}{n-1}$


Etape 2 : estimations de $T_n(t)$
Rappelons que $n$ est fixé.
On vérifie que la série $\sum_{r=0}^{+\infty} \binom{n+r-1}{n-1}$ (le terme général est strictement positif et croît donc le terme général ne tend pas vers $0$ donc la série diverge). On a $\binom{n+r-1}{n-1} \sim \frac{r^{n-1}}{(n-1)!}$ (les sommes partielles sont équivalentes, résultat général sur les séries à termes positifs ici divergentes) et donc $ T_n(t) \sim \sum_{r=1}^{[t]} \frac{r^{n-1}}{(n-1)!} $ (1)
$\forall n\ge 1, \forall r\in \N^{*}, \int_{r-1}^{r} u^{n-1}du \le r^{n-1} \le \int_{r}^{r+1} u^{n-1}du$
de sorte que
$\frac{1}{(n-1)!} \int_{0}^{[t]} u^{n-1}du \le \sum_{r=1}^{[t]} \frac{r^{n-1}}{(n-1)!} \le \frac{1}{(n-1)!} \int_{1}^{[t]} u^{n-1}du +\frac{[t]^{n-1}}{(n-1)!} $
Le membre de droite de cette inégalité est un $O([t]^n) $ donc un $O(t^n)$. (2)
Le membre de gauche est supérieur à $[t]^n/n! $ donc à $(t-1)^n/n!$ et comme $(\frac{t-1}{t})^n$ tend vers lorsque $t$ tend vers $+\infty$ il existe une constante strictement positive $a_n>0$ telle que pour $t$ assez grand $a_nt^n\le \sum_{r=1}^{[t]} \frac{r^{n-1}}{(n-1)!} $. (3)

En rassemblant $(1), (2), (3)$ il existe deux constantes strictement positives $\alpha, \beta$ et on existe $t_n>0$ tels que $\forall t, t>t_n$ implique $\alpha_n t^n \le T_n(t) \le \beta_n t^n$ puis quitte à diminuer $\alpha_n$ et augmenter $\beta_n$ cette inégalité est vraie pour tout $t$. (4)

Étape 3 : estimation de $S_n(t) $ (ie le $X(t) $ de l'énoncé).
On a $\forall i, \forall a_i \in \N, \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{n} \le \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k} \le \sum_{k=1}^n a_k$ de sorte qu'on obtient via les inclusions des ensembles de solutions correspondants aux définitions de $S_n(t), T_n(t) $ c'est à dire $\forall n, \forall t, T_n(t) \le S_n(t) \le T_n(nt)$ (5)

$(4), (5)$ impliquent alors que $\forall n, S_n(t) =O(t^n), t^n=O(S_n(t)) $


Étape 4 : Équivalent de $S_n(t)$
On a l'égalité (en partitionant les uplets solutions suivant la valeur prise par $a_n$) $\forall t, S_n(t)=\sum_{a_n=0}^{[nt]} S_{n-1}(t-\frac{a_n}{n})$

On va évaluer asymptotiquement $S_n(t) $ en fonction d'avaluations asymptotiques a priori de $S_{n-1}(t)$.
On introduit donc les ensembles de minorants et majorants asymptotiques :
Soient $\forall n$ les ensembles $F_n, G_n$ définis par :
$F_n=\{m>0 | \exists t_0>0 \forall t, t>t_0 \implies mt^n \le S_n(t) \} $
$G_n=\{M>0 | \exists t_0>0 \forall t, t>t_0 \implies S_n(t) \le Mt^n \} $
On introduit également les ensembles $F_{n}^{*}, G_{n}^{*}$ des minorants et majorants (donc de $S_n(t)/t^n$) uniformes en $t$.

D'après les questions a) b) ces quatres ensembles sont non vides.
Par ailleurs, un argument de connexité montre que $F_n, G_n, F_{n}^{*}, G_{n}^{*} $ sont des intervalles.



Rédaction réservée, je ne sais pas si ça aboutit.
Je pense que oui.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par side.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Le 26 accessible à partir de la sup il me semble
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Bonjour,
je reviens sur la correction par Bisam de l'exercice 72: correction.
Comment est-on assuré que $\sum y_n^2$ converge ?
Merci
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@etanche
Le 178 semble aussi faisable en sup.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
avatar
@Mrs Robinson : J'ai fait un ajout un peu plus loin pour corriger cet oubli.
Je vais rajouter un lien sur mon post initial.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Merci beaucoup.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@OShine le 177 est faisable en sup



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par etanche.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
Etanche possible mais je n'aime pas les exercices d'oraux de concours qui font une ligne sans question intermédiaire.
Si tu n'as pas l'idée bah tu avances pas et tu ne fais rien.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
On cherche une solution plus conforme au programme CPGE pour celui-ci : [share.miple.co]

une proposition ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par oty20.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
@oty merci pour le site share.miple.co , c’est très intéressant. smiling smiley
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a quatre mois
88

$R=+\infty$.
Avec la relation récurrence on a $(1+\ell x)f(x)=f(\ell x)$.
On a $-\ell ^{k}$ avec $k\in N$ sont des zéros de $f$.
En travaillant avec $-x/\ell ^{k}$ où $k\in N$ on obtenir une contradiction avec $f(0)=1$.
Les zéros de $f$ sont uniquement $-\ell ^{k}$ avec $k \in N$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
Je reviens au 245, pour lequel je propose la solution ci-jointe, en espérant que quelqu'un ait le courage de la lire et, (rêvons), la valide.

Cordialement, j__j

Nota bene : si c'est cela, la méthode la plus courte et qu'un candidat l'ait trouvée en moins d'une heure alors, comme l'escripvit Rabelais, je me encline parfondément devant luy.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Exercice_rms_245.pdf (142.5 KB)
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
bonjour,

245

Si la suite $a$ s'annule, le résultat est trivial. Dans la suite on considère le cas $a>0$.
On note $S$ la suite des sommes partielles, et on note $U$ la suite à étudier de sorte que $\forall n, U_n=a_n \sum_{k=0}^n \frac {S_k-S_{k-1}}{a_k}$ où on a posé $S_{-1}=0$

On a $|U_n|=a_n |\sum_{k=0}^{n-1} S_k(\frac {1}{a_k}-\frac {1}{a_{k+1}})+S_n/a_n| \le a_n \sum_{k=0}^{n-1} ||S||_{\infty}(-\frac {1}{a_k}+\frac {1}{a_{k+1}})+||S||_{\infty}\le 2||S||_{\infty}$

Ainsi la suite $U$ est bornée par $2||S||_{\infty}$

Si $a,\epsilon$ vérifient les hypothèses, alors en démarrant à l'indice $N$ où $N$ est fixé, la série converge toujours, donc le résultat précédent implique que $\forall n> N, |a_n| \sum_{k=N}^n \epsilon_k| \le 2 sup_{p\ge N} |\sum_{k=N}^p a_k\epsilon_k|$

Avec le critère de Cauchy qu'on applique à la série $\sum a_k\epsilon_k$ de sorte qu'on puisse fixer $N$ pour contrôler à $\epsilon$ près la majoration précédente, puis en constatant dans un second temps, qu'avec ce $N$ fixé $|a_n| \sum_{k=0}^{N-1} \epsilon_k|$ tend vers 0, on peut terminer. Comme le critère de Cauchy n'est pas au programme je ne rédige pas ces détails. On doit pouvoir faire autrement.


ajout : pour éviter le recours au critère de Cauchy, on peut écrire $U_n$ en utilisant la suite $R$ des restes partiels de la série au lieu de la suite $S$, puis on reprend la 1ère inégalité et a) on exploite la majoration obtenue comme ci-dessus en tronquant, ou b) on raffine la 1ère inégalité en faisant un découpage de la sommation avec l'introduction d'un paramètre $N$.



ajout 2 : la preuve ci-dessus n'utilise nulle part que la suite $\epsilon$ est à valeurs dans $\{-1;1\}$ ce qui suggère l'existence d'une preuve plus élémentaire.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
Le 33 suggère sauf bêtise d'utiliser le petit théorème de Fermat.... Je commencerais pour ma part à considérer le cas où À et B commutent.... Dans le cas général, raisonner sur p=2,puis generaliser

"C'est en forgeant que l'on devient forgeron"
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
Et au passage, demonstration du petit théorème of course

"C'est en forgeant que l'on devient forgeron"
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
135

on note $gauche(x):=\int_{0}^{x} f'^2$ et $droite(x):=f(x+f(x))-f(x)$ de sorte que l'inégalité vérifiée par $f$ s'écrit $\forall x\ge 0, gauche(x)\ge droite(x)$ (1)

$f'$ croît, est continue, s'annule en $0$ de sorte que $\forall x>0, gauche(x) \le f'(x) \int_{0}^{x} f'=f'(x)(f(x)-f(0))=f(x)f'(x)$ (2)

Le théorème des accroissement finis assure que $\forall x>0, \exists \theta_x \in ]0;1[$ tel que $f(x+f(x))-f(x)=f(x)f'(x+\theta_x f(x))$ et par croissance de $f'$, et positivité de $f$, on a $droite(x) \ge f(x)f'(x)$

(1), (2), (3) donnent alors $\forall x>0, gauche(x)= droite(x)=f(x)f'x)$ (4)

$f'(0)>0$ et $f'$ croissante assurent que $f$ est strictement croissante, puis $\forall x>0, f(x)>0$ et comme $f$ est $C^1$, $1/f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ puis on a $\forall x>0, f'(x)=1/f(x) \int_{0}^{x} f'^2$ ce qui assure que $f'$ est dérivable sur $]0;+\infty[$, puis en dérivant l'égalité (4) ie $\forall x>0, \int_{0}^{x} f'^2 =f(x)f'(x)$, on obtient $\forall x>0, 0=f(x)f^{''}(x)$ soit $\forall x>0, f^{''}(x)=0$ puis $f$ est affine sur $]0;\infty[$ et par continuité $f$ est affine sur $[0;\infty[$. Donc $f$ est du type $\forall x\in [0;\infty[, f(x) =ax, a>0$.

On vérifie la réciproque.


ajout : on peut s'épargner la difficile épreuve finale. En effet, l'égalité $ff'=gauche$ s'écrit aussi $\forall x>0, \int_{0}^{x} f'(t)(f'(x)-f'(t))dt=0$ et l'intégrande est positive, d'où assez facilement $\forall t\in ]0; x], f'(t)=f'(x)$ puis conclusion facile.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
Le 103.
Pièces jointes:
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Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
avatar
J'ai une autre démonstration pour le 135.

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R^+$ telle que $f(0)=0$, $f'(0)>0$, $f'$ est croissante et \[\forall x\in\R^+,\int_0^x f'(t)^2dt\geq f(x+f(x))-f(x)\]
Posons $\alpha=f'(0)$.
On commence par étudier les variations de $h:x\mapsto \int_0^x f'(t)^2dt-f(x+f(x))+f(x)$. $h$ est dérivable sur $\R^+$ et \[\forall x\in\R^+,h'(x)=f'(x)^2-(1+f'(x))f'(x+f(x))+f'(x)=(1+f'(x))(f'(x+f(x))-f'(x))\]
Or $f'$ est croissante et $f'(0)>0$ donc $f'$ est strictement positive sur $\R^+$ donc $f$ est strictement croissante sur $\R^+$. Comme $f(0)=0$, on en déduit que $f$ est positive sur $\R^+$ et même strictement positive sur $\R_+^*$.
Par conséquent, $\forall x\in\R^+,h'(x)\leq 0$ donc $h$ décroit et elle est positive par hypothèse et vaut $0$ en $0$, donc $h$ est constamment nulle et sa dérivée également.
Ainsi $\forall x\in\R^+,(1+f'(x))(f'(x+f(x))-f'(x))=0$ et comme $1+f'(x)>0$, on en déduit que $f'(x+f(x))=f'(x)$.

Par croissance de $f'$, on en déduit que $\forall x\in\R^+,\forall t\in [x,x+f(x)], f'(t)=f'(x)$ (relation notée $(\star)$).

Mais, toujours par croissance de $f'$, $\forall x\in\R^+, f(x)=f(0)+\int_0^xf'(t)dt\geq f'(0)x$ donc, avec le résultat $(\star)$ précédent, on en déduit en particulier que $\forall x\in\R^+, f'(x)=f'(x+f'(0)x)=f'((1+\alpha)x)$.

Comme $\alpha>0$, pour tout couple $(a,b)$ de réels strictement positifs tels que $a<b$, il existe un entier $n$ tel que $(1+\alpha)^na>b$ et par $(\star)$ on en déduit que $f'(a)=f'((1+\alpha)^na)=f'(b)$.
Par continuité de $f'$ en $0$, on en déduit finalement que $f'$ est constante égale à $\alpha=f'(0)$ et par conséquent que $f$ est la fonction $x\mapsto \alpha x$.

La réciproque est alors évidente.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
Exercice 238. Bon ; dans l'Ancien monde, on était plus expéditif : on prenait $\vartheta$ comme paramètre, ou l'on utilisait les formules de Binet. Certes, c'était un raisonnement à la physicienne, mais cela vaut mieux que pas de raisonnement du toutwinking smiley.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Exercice_238.pdf (92.3 KB)
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
avatar
Joli évitement des formules de Binet au c). Il faut quand même avoir déjà bataillé ferme avec ces formules pour avoir la présence d'esprit de faire ces calculs le jour de l'oral !
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
bonjour, Bisam,

mais les élèves les connaissent et utilisent peut-être en Physique et/ou S2I. Comme nous il y a cinquante ans, on n'y hésite pas à prendre d'office $\vartheta$ comme paramètre ou à écrire que $xy'-x'y=0$ implique $x'/x=y'/y$... Cela revient au même et fait gagner du temps.

Ajout : d'ailleurs, lorsque $C=0$, on peut s'épargner le recours à une EDO : en dérivant, on montre que $x/r$ et $y/r$ sont des constantes --- en outre, ces constantes ne peuvent être toutes les deux nulles.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par john_john.
Re: Oraux concours RMS 2020 X, ENS
il y a trois mois
On peut opter pour une approche plus fonctionnelle pour la $103.$
Par l'inégalité de Jensen et comme toutes les Va $Y_{i}$ ont même loi, à savoir suivent $\mathcal{B}(n,\frac{1}{n})$, on a pour $\lambda>0 $ :
\begin{align*}
e^{\lambda\mathbb{E}[Z]} & \leq \mathbb{E}[e^{\lambda Z}]\\
& =\mathbb{E}\left[ e^{\lambda Z}\mathrm{1}_{ \cup_{i=1}^{n}[Z=Y_{i}] } \right]\\
& \leq \sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}\left[ e^{\lambda Z}\mathrm{1}_{[Z=Y_{i}]} \right]\\
& = \sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}\left[ e^{\lambda Y_{i}}\mathrm{1}_{[Z=Y_{i}]} \right]\\
& \leq \sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}\left[ e^{\lambda Y_{i}}\right]\\
& =n\mathbb{E}[e^{\lambda Y_{1}}]\\
& =n\left(\frac{e^{\lambda}-1}{n}+1\right)^{n}.
\end{align*}

On obtient alors en passant au logarithme puis en utilisant l'inégalité de convexité : $\forall x\geq 0, \ln(1+x)\leq x$ : $$\mathbb{E}[Z]\leq \frac{\ln(n)+n\ln(\frac{e^{\lambda}-1}{n}+1)}{\lambda}\leq \frac{\ln(n)+e^{\lambda}-1}{\lambda}.$$
Le choix $\lambda=\ln(\ln(n)+1)$ donne effectivement : $$\mathbb{E}[Z]\leq \frac{2\ln(n)}{\ln(\ln(n)+1)}.$$



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