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Théorème de Weierstrass

Envoyé par carle1 
Théorème de Weierstrass
il y a quatre mois
Dans l'exercice suivant on donne une preuve probabiliste du théorème de Weierstrass.

Après avoir résolu toutes les autres parties, il ne reste qu'à vérifier 1.

Pourquoi suffit-il de considérer le compact $[0;1]$ ? Quelle relation y a-t-il entre $[0;1]$ et un compact $K$ ? (par exemple si on prend l'ensemble des $\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}$, avec $0,$ il s'agit bien d'un compact)
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.


Re: Theorème de Weierstrass
il y a quatre mois
Hello !
Soit K un compact contenu dans [a,b] et f une fonction continue sur K.
Il me semble que tu peux prolonger f en une fonction continue sur [a,b] en appliquant le théoreme de Tietze mais ça nous amènerait déjà assez loin...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par noobey.
Re: Théorème de Weierstrass
il y a quatre mois
bonjour,

0) Weierstrass $ [0;1]$ implique Weierstrass $ [a;b]$
1) on prolonge $f$ par $0$ sur $\R-K$ qu'on note encore $f$ par abus
2) on considère une approximation de l'unité $(\chi_n)$ (donc ceci suppose qu'on sache construire une fonction positive de classe c infinie à support compact...), puis on considère la suite $f_n:=f*\chi_n$ et on montre
a) qu'elle converge uniformément vers $f$ sur $K$ (découpage de l'intégrale + théorème de Heine + $f$ est bornée (argument de compacité) donc sa prolongée est bornée)
b) $f_n$ (si on veut tous les éléments de la suite, mais ça n'est pas utile : il suffit de le prouver pour un seul indice) est de classe c infinie sur $\R$ à support compact donc en particulier est continue à support dans un segment $ [a;b]$ contenant $K$.
3) on approche uniformément sur $K$, $f$ à epsilon près par un $f_{n0}$
on approche à son tour à epsilon sur $ [a;b]$, $f_{n0}$ par un polynôme en utilisant Weierstrass $ [a;b]$
4) on termine


C'est compliqué et long mais ça reste plus simple que de montrer le théorème de Tietze.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par side.
Re: Théorème de Weierstrass
il y a quatre mois
Les exercices où il y a une étoile sont supposés être plus difficiles, peut-être il y a une approche plus facile.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
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