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Série entière dérivée

Envoyé par mini_calli 
Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
Bonjour
À propos de la sériée dérivée, j'ai du mal avec la preuve du rayon de convergence d'une série entière dérivée.
La preuve nous dit que puisque
$$
\limsup (n+1)^{1 \over n} = 1.

$$ Alors
$$
\limsup a_{n+1} (n+1)^{1 \over n} = \limsup a_{n+1}.

$$ Mais il manque un argument ! Par exemple si $a_{n} = (-1)^{n}$ et $b_{n} = (-1)^{n+1}$ alors $a_{n} b_{n} = -1$ bien que le produit des limites supérieures soient $1$.
Il pourrait se passer la même chose ici, cette preuve ne me convainc pas.

Deuxièmement j'aimerais montrer qu'une série entière est holomorphe sur l'intérieur de son disque de convergence.
Pour cela je vais utiliser un théorème de différentiation terme à terme, les applications
$$
z \rightarrow a_{n}z^{n}

$$ sont $C^{1}(D)$ car holomorphe dont la différentielle en $z$ est $a_{n} n z^{n-1}$ (c'est plus pratique de ne pas écrire la jacobienne dans $\mathbb{R}^{2}$. Montrons que la série des dérivées convergence uniformément localement. Soit $K$ un compact de $D$. Disons que $D$ est de rayon $R$ alors il existe un disque $D'$ dans $D$ de rayon $r<R$ tel que $K \subseteq D'$. Et soit $z \in K$. On a
$$
|a_{n} n z^{n-1}| \le n |a_{n}| r^{n-1}.


$$ Et comme la série entière dérivée converge pour $|z| < R$ et qu'elle converge absolument à l'intérieur du disque de convergence. Au final on a bien une convergence uniforme locale.

Dernière chose à vérifier la série entière $f$ converge simplement sur $D$ au moins en un point. Conclusion $f$ est bien $C^{1}(D)$ et
$$
D_{z} f = \sum_{n \ge 0} D_{z} a_{n} z^{n}.

$$ Dernier argument, vous me direz s'il emporte votre adhésion, moi oui ça va sans être trop sûr, c'est :
euh une série de matrices de la forme
$$
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
$$ reste de cette forme.

Preuve. On fait rentrer la série dans la matrice drinking smiley eye rolling smiley grinning smiley


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
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Concernant ta première question : Oui en effet, il faudrait utiliser le fait plus fort que : $\lim (1+n)^{\frac{1}{n}} = 1$ ( et pas seulement $\limsup$ )
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
Oui je vois comme $a_{n}$ converge alors les valeurs d'adhérence de $a_{n}b_{n}$ sont la limite $a$ de $a_{n}$ fois les valeurs d'adhérence de $b_{n}$. Ainsi la plus grande valeur d'adhérence de $a_{n} b_{n}$ si $a>0$ est $a$ fois la limite sup de $b_{n}$.


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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par mini_calli.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
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Autre question j'aimerais montrer que bijectif holomorphe implique biholomorphe. Mais j'ai un problème si la dérivée de $f$ s'annule.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
ev
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
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Bonjour calli

Pour commencer, peux-tu me donner un exemple de fonction holomorphe injective dont la dérivée s'annule.

amicalement,

e.v.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
Bonjour,

pour 1) nul besoin de passer par des règles de Cauchy ou de je ne sais qui. Reprenez votre argument du 2) et n'oubliez pas la réciproque.

pour 2) : c'est n'importe quoi
ce qu'il faut montrer c'est que $(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)$...avec tout le blablabla quantifié, tend vers un complexe (ça répond strictement à la question) qui est donné par la série des dérivées en $z_0$. Ensuite, il me semble que vous mélangez les théorèmes : pour remonter de la convergence uniforme de la série des dérivées à la convergence uniforme de la série moyennant de bonnes hypothèses, c'est un théorème d'analyse réelle dont la preuve utilise un théorème d'intégration sur un segment...
De toute façon, même si cet argument fumeux était vrai, vous ne démontrez rien en rapport à la question posée.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
Bonjour side, je ne comprend pas. Pour vous le 2) c'est la preuve du fait qu'une série entière est holomorphe à l'intérieur de son disque de convergence ? Si c'est ça, je vois pas le problème avec ma méthode bien que vous en proposez une autre.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
ev : Hum. Si elle est injective alors sa dérivée ne s'annule pas. Euh. Je ne vois pas pourquoi.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
Soit $f$ une fonction holomorphe non nulle au voisinage de $0$, telle que $f(0)=0$ (sans perdre de généralité) et telle que $f'(0)=0$. Soit $n \geq 2$ le plus petit entier tel que $f^{(n)}(0) \neq 0$. Alors $f(z) = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n + R(z)$ avec $R(z) = o(z^n)$ quand $n \to 0$. Il n'y a plus qu'à appliquer judicieusement le théorème de Rouché pour obtenir que $f(z_0)$ admet $n$ antécédents par $f$ quand $|z_0|$ est suffisamment petit.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
Ah d'accord je ne connais pas le théorème de Rouché.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
Autre question sur les intégrales curviligne.
Si jamais je souhaite calculer
$$
\int_{\gamma } f(z)dz

$$ le long d'une courbe j'ai la formule
$$
\int_{\gamma } f(z)dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) |\gamma'(t)| .

$$ Le module dans la formule m'embête par exemple avec le module on arrive pas à montrer la formule de la moyenne
$$
\int_{B(a,r)} f(z) = {1 \over 2\pi } \int_{0}^{2\pi} f(a+r \exp(i\theta)) d\theta.

$$ Mais si on enlève le module c'est bon.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
Hello !

En fait sauf erreur il y a 2 types d'intégrales curvilignes :


L'intégrale curviligne classique en analyse complexe
$\int_{\Gamma} f(z)dz = \int_{[a,b]} f(\gamma(t)) \gamma'(t)dt$ qui est la limite de sommes de type $\sum_k f(\gamma(x_k))(x_{k+1} - x_k)$ (ici dans le pas, la norme et la direction de $x_{k+1} - x_k$ nous importe)

L'intégrale curviligne par rapport à l'abscisse curviligne
$\int_{\Gamma} f(z)ds = \int_{[a,b]} f(\gamma(t)) ||\gamma'(t)||dt $ limite de $\sum_k f(\gamma(x_k))||x_{k+1} - x_k||$
Ici dans le pas uniquement la norme nous intéresse

Il me semble que cette dernière est surtout utilisée pour les champs réels et moins pour les fonctions holomorphes

Je peux me tromper.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
Trop bizarre qu'elle ait le même nom ! Mais d'accord drinking smiley


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
Bonjour
Je me pose une autre question sur les fonctions holomorphe sur un ouvert $\Omega$ connexe. Si $f$ n'est pas constante alors $f$ n'admet pas de maximum locale. Cela implique-t-il que
$$
f \le \sup_{\partial \Omega} |f| ,

$$ en acceptant $+\infty$ mais je ne crois pas. Une telle fonction pourrait ne même pas être définie ! Typiquement, $\exp({1 \over z })$ sur le disque unité ouvert. En $0$ la limite du module dépend de la direction, c'est $1$ à la vertical et $+ \infty$ à l'horizontal. Donc ce n'est pas bon.


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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
Ton inégalité est effectivement une conséquence du principe du maximum (en mettant un module autour de $f$ à gauche bien sûr).

Je ne comprends pas ton interrogation concernant $z \mapsto e^{1/z}$, ta fonction n'est pas holomorphe sur le disque unité ! Si tu parles du disque unité épointé (privé de $0$) alors il n'y a aucun problème, on te parle d'une borne supérieure, pas d'une limite, et cette borne supérieure est infinie comme tu l'as remarqué.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
En fait mon exemple montre qu'on ne peut pas supprimer l'hypothèse bornée en prenant mon exemple sur $C-{0}$ et qu'on ne peut pas non plus supprimer l'hypothèse continue jusqu'au bord du domaine en prenant mon exemple sur $D \cap (C-{0})$ qui reste connexe.


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Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
Depuis quand y a-t-il une hypothèse de bornitude dans le principe du maximum ?
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
avatar
Le domaine est bornée pour moi.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
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D'ailleurs mon exemple le montre bien sur $\mathbb{C}^{\times}$.


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Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
Ben non, où est le problème dans ton exemple ?
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
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Ah oui c'est vrai. C'est l'infini. Peut être que l'hypothèse de bornitude sur le domaine est là pour que le sup existe.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Série entière dérivée
il y a trois mois
Mais le sup existe toujours, c'est juste qu'il peut être infini.
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