Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
178 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Justification convergence

Envoyé par Gilles 
Justification convergence
il y a quatre mois
Bonjour
Je suis en train de travailler sur le triple produit de Jacobi et m'intéresse aux questions de convergence qui sont souvent totalement négligées dans la littérature.
J'utilise ce document : [cpb-us-w2.wpmucdn.com]

Soit $q$ et $x$ deux complexes avec $|q|<1$. On définit $(q)_0=1$ et $\displaystyle{(q)_n =\prod_{j=1}^n \left(1-q^j\right)}$. On a alors l'identité (en haut de la page 109 du doc) :
$$
(1+x)(1+xq) \dots (1+xq^{n-1}) = \sum_{k=0}^n \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} q^{k(k-1)/2} x^k.

$$ Jusque là, pas de souci. Ensuite l'auteur passe à la limite quand $n \rightarrow + \infty$ et en déduit
$$
\prod_{k=1}^{+\infty} \left( 1+xq^{k-1}\right) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{q^{k(k-1)/2}}{(q)_k} x^k,

$$ et c'est là que les ennuis commencent pour moi.

Le produit est convergent puisque $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty} xq^{k-1}}$ est absolument convergente. Dans le but d'appliquer ce que le papier appelle "théorème de Tannery", j'ai écrit
$$
\sum_{k=0}^n \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} q^{k(k-1)/2} x^k = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k(n),

$$ avec $\displaystyle{u_k(n) = \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} q^{k(k-1)/2} x^k}$ si $n\geq k$ et $u_k(n) =0$ si $0 \leq n < k$. Pour tout $k\in \N$, on a
$$
\lim_{n \rightarrow+\infty} u_k(n)= \frac{q^{k(k-1)/2}}{(q)_k} x^k.

$$ Ce qui me manque pour conclure c'est l'hypothèse de domination : $\left|u_k(n) \right| \leq M_k$ avec $\sum {M_k}$ qui converge.

J'avais pensé partir de
$$
(1+|x|)(1+|xq|) \dots (1+|xq^{n-1}|) = \sum_{k=0}^n \frac{(|q|)_n}{(|q|)_k (|q|)_{n-k}} |q|^{k(k-1)/2} |x|^k,

$$ et le produit étant convergent, la série aussi. Si j'arrivais à prouver
$$
\left| \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} \right| \leq \frac{(|q|)_n}{(|q|)_k (|q|)_{n-k}},

$$ j'aurais gagné. J'ai fait quelques essais numériques et n'ai pas trouvé de contre exemples à cette inégalité, néanmoins je ne parviens à voir pourquoi elle serait vraie, et aurait même tendance à penser qu'elle est fausse.
Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
avatar
Bonsoir,$\newcommand\Binom[2]{\displaystyle\genfrac{[}{]}{0pt}{}{#1}{#2}}$
J'ai l'impression qu'on peut montrer $\left|\Binom{n}{k}_q \right|\leqslant \Binom{n}{k}_{|q|}$ par récurrence sur $n$ en utilisant la relation $\displaystyle \Binom{n+1}{k+1}_q = \Binom{n}{k}_q + \Binom{n}{k+1}_q q^{k+1}$.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Calli.
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
Bonsoir,

à vérifier, je n'ai rien écrit sur feuille, mais a priori il n'y a rien à montrer (si le produit en x est bien analytique et limite uniforme des produits partiels...ce que je n'ai pas vérifié).

A $q$ fixé, votre produit infini $\prod (1+xq^{k-1})$ est analytique en $x$ et est limite uniforme sur tout compact blabla...des produits partiels, alors vous avez automatiquement les coefficients du DSE qui sont limites des coefficients des DSE des produits partiels.

En effet, si $(f_n:=\sum a_{k,n}z^k) CU f=\sum a_k z^k$ sur tout compact d'un disque $D_R$, alors $2i\pi a_{k,n}=\int_{\gamma_r} \frac{f_n}{z^{k+1}}dz$ ($r=R/2$ par ex.) converge vers $\int_{\gamma_r} \frac{f}{z^{k+1}}dz=2i\pi a_k$...etc

...ce qui signifie qu'après le calcul (avec vos notations si j'ai bien suivi) de la limite simple $u_k (+ \infty) $ vous avez fini.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par side.
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
On a $(|q|)_{\infty} \leq |(q)_n| \leq \prod_{i=1}^{+\infty} (1+|q|^i)$ pour tout $n$, ce qui permet de majorer $u_k(n)$ par quelque chose d'indépendant de $n$ dont la série va converger grâce aux puissances de $q$.
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
Merci Calli, c'est exactement ce que je cherchais, quelle jolie propriété !!

Bien vu Poirot, je ne pensais pas qu'on pourrait encadrer $|(q)_n|$ par quelque chose d'indépendant de $n$, ce qui me faisait douter de la véracité de "ma" propriété. Et c'est plus simple que la proposition de Calli, mais moins joli à mon goût grinning smiley

side, l'analyse complexe et l'intégration étant un peu loin je n'ai pas creusé ta piste, merci quand même.
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
Poirot, je suis en train de regarder de plus près ta proposition, et je ne vois pas comment les quelques puissances de $q$ dans la somme vont compenser toutes celles de $x$ ($x$ est quelconque, pas de module inférieur à 1).
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
avatar
$\newcommand\Binom[2]{\displaystyle\genfrac{[}{]}{0pt}{}{#1}{#2}}$"La proposition de Calli" était juste de répondre à ton souhait d'avoir $\left|\Binom{n}{k}_q \right|\leqslant \Binom{n}{k}_{|q|}$. grinning smiley

PS : Je rappelle que $\Binom{n}k_q= \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} $.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Calli.
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
Eh oui, je ne pensais que ça fonctionnerait, et je n'aurais sûrement pas pensé à utiliser la relation de récurrence (que j'avais pourtant en mémoire car donnée dans le polycopié sur lequel je travaille).
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
Quel que soit le module de $x$, le $q^{k(k-1)}{2}$ va fortement l'emporter sur $x^k$.
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
En effet ! Comment rédigerais-tu cela ? Pour ma part j'écris
$$
k^2 |q|^{k(k-1)/2} |x|^k = \exp\left( k \left[ 2 \frac{\ln k}{k} + \frac{k-1}{2} \ln |q| + \ln |x| \right] \right)
$$
tend vers 0 quand $k$ tend vers $+\infty$, donc $\displaystyle{ |q|^{k(k-1)/2} |x|^k} = o\left( \frac{1}{k^2} \right)$ en $+\infty$, d'où la convergence de la série $\displaystyle{ \sum_{ k = 0}^{+\infty} |q|^{k(k-1)/2} |x|^k}$.
Il y a sans doute plus rapide ?
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
C'est l'idée. Il s'agit de remarquer qu'en forme exponentielle on a quelque chose de l'ordre de $k^2 \log q + k \log x$ qui va tendre très vite vers $-\infty$ puisque $\log q < 0$. Ensuite tu compares ça à ce que tu veux, $k^{-2}$ fonctionne très bien, tu aurais même pu prendre $e^{-\alpha k}$ pour n'importe quel $\alpha > 0$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Poirot.
Re: Justification convergence
il y a quatre mois
Je te remercie pour ta réponse précise.

Bonne soirée.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 388, Messages: 1 509 582, Utilisateurs: 27 709.
Notre dernier utilisateur inscrit Niklaus.


Ce forum
Discussions: 33 692, Messages: 316 028.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page