Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
232 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$

Envoyé par Code_Name 
Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Bonjour, je ne comprends pas les étapes pour le calcul de l'intégrale $\int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}{2}}\;dt$.

Mon corrigé semble proposer deux voies, mais je ne comprends aucune des deux.
1:$$\int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}{2}}\;dt=\sqrt{\int_\mathbb R e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\;dx\,dy}=\sqrt {2\pi\int_0^\infty e^{-\frac{r^2}{2}}\;r\,dr}=\sqrt {2\pi\int_0^\infty e^{-s}\;ds}=\sqrt {2\pi}.

$$ 2:$$\int_\mathbb R e^{-t^2\alpha}dt=\int_\mathbb R e^{-\frac{(t+\sqrt{2\alpha})^2}{2}}\frac{d\sqrt{2\alpha}t}{\sqrt{2\alpha}}=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.

$$ Pour la 1: Je ne comprends pas la 1ère et la 2ème égalité.
Pour la 2: Je ne suis pas habitué avec cette notation, quel est le changement de variables effectué ici ?
Merci pour votre aide.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Bonjour,

pour le 1), pour tout $a \geq 0$, $a = \sqrt{a \times a}$ : une fois écrit avec $x$ comme variable muette et l'autre avec $y$ et une intégrale double. Puis changement en coordonnées polaires.
pour le 2), le changement de variable est, pour $\alpha >0$, $t \leadsto t \sqrt{2 \alpha}$. Puis utilisation du résultat 1). Typo dans l'argument de l'exponentielle.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Salut,
Pour la 1 : Pour le membre de droite de la première égalité, il faut intégrer sur $\R^2$ et pas sur $\R$.
On la prouve en remarquant que $e^{-\frac{x^2+y^2}2}=e^{-\frac{x^2}2}e^{-\frac{y^2}2}$ et en utilisant le théorème de Fubini-Tonelli par exemple.
Pour la deuxième égalité, il faut passer en coordonnées polaires.
Pour la 2 : En écrivant $\dfrac{(t+\sqrt{2\alpha})^2}2=\left(\dfrac{t+\sqrt{2\alpha}}{\sqrt{2\alpha}}\right)^2\alpha$, tu devrais sûrement trouver comment faire ! winking smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Merci à tous les deux, en effet une petite typo pour la 2) que je vois grâce à vous smiling smiley
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Rebonsoir,
Il y a un autre calcul que je ne comprends pas, celui de $\int_\mathbb R t^2e^{-t^2\alpha}dt$.

En effet, si j'applique la même méthode que pour le 1: Je me trouve avec $\int_\mathbb R t^2e^{-t^2\alpha}dt=\sqrt{2\pi \int_0^\infty r^3e^{-r^2\alpha}dr}$ ce qui ne fait rien avancer, et si j'essaye par parties il y un problème au niveau des bornes infinies à cause du terme $t^2$.

Mon corrigé écrit la chose suivante (je crois qu'il fait appel au point 2) ).
$$\int_\mathbb R t^2e^{-t^2\alpha}dt=-\frac{\partial }{\partial \alpha}\int_\mathbb R e^{-t^2\alpha}=-\frac{\partial }{\partial \alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^3}}$$que je ne comprends pas non plus...

Edit: Corrigé une petite typo.

Edit 2: Vu que ce fil reprend, je corrige juste une erreur lorsque j'ai recopié l'intégrale $\int_\mathbb R t^2e^{-t^2\alpha}dt$.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Code_Name.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
Ton égalité est archi-fausse, ça montre que tu n'as pas compris la première méthode de ton premier message.

Pour cette dernière intégrale, il s'agit de remarquer, comme le fait ton corrigé, que l'intégrande est obtenue (à une constante multiplicative près) en dérivant $t \mapsto e^{-t^2 \alpha}$ une fois par rapport à $\alpha$. On est donc dans une situation où l'on veut appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Ah oui c'est ultra faux je suis très désolé, je suis bien fatigué d'ailleurs je vais revoir demain.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Moi j'aurais plutôt rédigé ainsi l'égalité du début :
$$\begin{align*}
\int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}{2}}\;dt&=\sqrt{\iint_{\mathbb R^2} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\;dx\,dy}=\sqrt{\iint_{[0,2 \pi] \times [0,+ \infty[} e^{-\frac{r^2}{2}}\;r\,d \theta dr} \\
&=\sqrt {\int_0^{2\pi } d \theta \int_0^{+\infty} e^{-\frac{r^2}{2}}\;r\, dr}=\sqrt {2\pi\int_0^{+\infty} e^{-s}\;ds}=\sqrt {2\pi}.
\end{align*}
$$ Si l'intégrale est double, autant que ça se voie.
Bonne nuit.
Fr. Ch.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Pour $\displaystyle \int_\mathbb R e^{-\alpha t^2}dt$, je présume que $\alpha $ est une constante réelle strictement positive. Pourquoi aller chercher midi à quatorze heures, alors qu'un changement de variable linéaire donne de tête le résultat ?
Et pour $\displaystyle \int_\mathbb R t^2 e^{-\alpha t^2}dt$, une simple intégration par parties suffit.
Le passage en polaires a été utile pour calculer l'intégrale de Gauss initiale $\displaystyle \int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}2}dt$. C'est d'ailleurs ainsi que l'illustre Gauss a procédé. Il y a d'autres manières de calculer cette intégrale, heureusement car les coordonnées polaires et les intégrales doubles ont disparu des programmes de toutes les classes préparatoires.
Mais une fois que cette intégrale a été calculée, il est inutile de recourir à nouveau à ce procédé pour obtenir toutes les $\displaystyle I_n=\int_\mathbb R t^{2n} e^{-\alpha t^2}dt$, $n \in \mathbb N$, $\alpha \in \mathbb R_+^*$, une suite d'intégrations par parties suffisent.
Bonne nuit.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Chaurien.
Dom
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
Il faut faire attention « au » théorème pour le passage en polaire.
Il ne s’agit pas d’une bijection à cause du $0$.
On s’en sort car la fonction est bornée en $(0;0)$ (car continue par exemple) en excluant un cercle de centre $O$ de rayon $\epsilon$.

Je parle d’un théorème qui fait intervenir le déterminent du jacobien et qui nécessite un $\mathcal C^1$-difféomorphisme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
Plus simple : l'intégrale sur $\R^2$ est égale à l'intégrale sur l'ouvert $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, sur lequel on peut faire le changement de variable.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
@Dom, Math Coss: c'est pire que ça, en fait il faut enlever une demi-droite sinon on perd l'injectivité.

Pour ma part, ça fait pas mal d'années que je milite pour l'utilisation de la formule d'inégration des fonctions radiales.

Voir par exemple le chapitre sur l'intégration de notre livre, chapitre téléchargeable ici:
[www.iecl.univ-lorraine.fr]

En version agrég interne, c'est possible sans intégrale de Lebesgue (voir pièce jointe).
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - radial-interne.pdf (32.5 KB)
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
Pour le calcul de intégrale de Gauss y a le problème du sujet de bac C Liban 1978
Intégrale de Gauss bac C 1978 Liban

Solution ici

Solution plus détaillé ici



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par etanche.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Voir aussi:

[kconrad.math.uconn.edu]

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Merci à tous j'ai compris smiling smiley
Dom
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
aléa :
Si on ne retire que $0$, on a bien une bijection (pour ne pas parler de la régularité), non ?
(-1;0) devient (1,$\pi$) par exemple.
Je parle de $\R \times \R $ privé de (0;0) et $\R_+^* \times [0;2\pi[$.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Le théorème usuellement enseigné travaille avec des ouverts.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Bravo à Fin de partie d'avoir trouvé cet article de Keith Conrad qui rassemble de nombreuses démonstrations du calcul de l'intégrale de Gauss, et merci de nous en faire profiter. Il est toujours précieux de connaître les diverses démonstrations des résultats cruciaux, ne serait-ce que pour voir si l'on peut les mettre à la disposition des étudiants de tel ou tel niveau, mais pas seulement.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Chaurien:
Ma preuve préférée est la preuve numérotée 2 que je trouve assez naturelle somme toute.
Même si ce n'est pas celle qui a les honneurs dans la plupart des cours d'analyse élémentaire.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
J'intercale un « dont acte » pour ce message et la réponse d'aléa.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Qui a le premier calculé cette intégrale $ \displaystyle \int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}{2}}\;dt $?
Je trouve dans mes lectures que ce serait Laplace ou Poisson. Mais il m'est arrivé de consulter les œuvres de Gauss et je crois me souvenir d'être tombé par hasard sur un calcul de cette intégrale au moyen du passage en polaires dont nous avons parlé, mais sans trop de justifications. Je n'en ai pas conservé la référence exacte.
De nos jours, on peut consulter les 12 volumes des œuvres de Gauss sans sortir de chez soi, et j'ai fait hier une recherche dedans, fort malaisée, mais je n'ai pas retrouvé ce texte. Qu'en pensez-vous ?
Bon après-midi.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
Bonjour,

Une 12 ème preuve : la formule des compléments d'Euler donne la valeur de $\Gamma(1/2)$ et on termine comme dans la preuve 6 en reliant $\Gamma(1/2)$ à l'intégrale de la gaussienne.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
@FdP
Quelle est la démonstration qui te semble la plus présente dans les cours d'analyse élémentaire ?
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
Chaurien:
Tu ne devines pas? D'ailleurs, je pense que ce n'est pas un hasard, dans le pdf que j'ai mis en lien son auteur l'a mise en item numéro 1. (calcul de $I^2$ par changement de variable en coordonnées polaires)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
@FdP
Je ne m'étais jamais posé la question de la démonstration la plus présente dans les cours d'analyse élémentaire, en fait ça dépend à quel public est destiné le cours .en question, à quelle époque, avec quel programme d’enseignement.
Dans les classes prépas d'aujourd'hui, la méthode par passage en polaires est interdite, car les coordonnées polaires sont hors-programme, de même que les intégrales doubles. Et même à l’époque où les taupins étaient autorisés à connaître ces belles choses, les intégrales doubles généralisées, sur un domaine non borné, n'étaient pas au programme non plus. Et il y a aussi à regretter le manque de rigueur sur le changement de variable, souligné à juste titre par aléa.
On pouvait s'en sortir en calculant $\int_0^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt $ au moyen d'une intégrale sur un carré encadré entre deux quarts de disques.
---------------------------------------------------------------------------
$\bullet $ Pour tout réel $x$, soit : $F(x)=\int_{0}^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$.

$\bullet $ Pour tout réel $R>0$, soit la plaque carrée : $C(R)=\{(x,y)\in \mathbb R^2/0\leq x\leq R,0\leq y\leq R\}=[0,R] \times [0,R]$,
et soit le quart de disque : $Q(R)=\{(x,y) \in \mathbb R^2/x\geq 0,y\geq 0,x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\} $ (faire un dessin).
Soit $I(R)=\int \int_{C(R)}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}dxdy$ et $J(R)=\int
\int_{Q(R)}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}dxdy$.
$\bullet $ On a : $I(R)=\int_{0}^{R}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx\int_{0}^{R}e^{-%
\frac{y^{2}}{2}}dy=F(R)^{2}$.
$\bullet $ La description polaire du quart de disque $Q(R)$ est : $Q^{*}(R)=\{(\theta ,\rho ) \in \mathbb R^2/0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2},0\leq \rho \leq
R\}$, ce qui implique :
$J(R)=\int \int_{Q^{\ast }(R)}e^{-\frac{\rho ^{2}}{2}}\rho d\theta d\rho
=\int_{0}^{\pi /2}d\theta \int_{0}^{R}e^{-\frac{\rho ^{2}}{2}}\rho d\rho =%
\frac{\pi }{2}(1-e^{-\frac{R^{2}}{2}})$.
$\bullet $ On a : $Q(R)\subset C(R)\subset Q(R\sqrt{2})$ (faire un dessin), d'où : $J(R)\leq I(R)\leq J(R\sqrt{2})$, soit : $\frac{\pi }{2}(1-e^{-\frac{R^{2}}{2}%
})\leq F(R)^{2}\leq \frac{\pi }{2}(1-e^{-R^{2}})$, et :
$\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-e^{-\frac{R^{2}}{2}}}\leq F(R)\leq \sqrt{\frac{%
\pi }{2}}\sqrt{1-e^{-R^{2}}}$.
$\bullet $ En conclusion : $\int_{0}^{+\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=%
\underset{R\rightarrow +\infty }{\lim }F(R)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$.

Bonne après-midi.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
C'était dans le sujet d'analyse de l'agreg interne 1995.

Cordialement.
Re: Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
il y a trois mois
avatar
E. Ramis, Exercices d'Analyse, Masson et Cie, 1968, p. 359.
J. Bass, Cours de mathématiques, Tome I, Masson et Cie, 1968, p. 627.
Nihil novi sub sole
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 213, Messages: 1 506 672, Utilisateurs: 27 657.
Notre dernier utilisateur inscrit Algomius.


Ce forum
Discussions: 33 661, Messages: 315 808.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page