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Fourier

Envoyé par christophe c 
Fourier
il y a trois mois
Pardon du dérangement, je sais que quand je pose une question comme ça on peut avoir peur que je m'en désintéresse ensuite (par manque de capacité), du coup, je la formule la plus sobrement possible.

Est-ce qu'en gros, on peut dire que la tranformée de Fourier de $f$ c'est son image en "changeant de base" le Hilbert, ie : $e,u$ étant les bases, pour tout $f:$

1/ On a une base $e_1,e_2,\ldots$ hilbertienne et on y écrit $f = \sum_i a_ie_i$.

2/ La transformée de Fourier de $f$ étant alors $\sum_i a_iu_i$.

Merci d'avance.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Fourier
il y a trois mois
avatar
Bonjour,
La transformée de Fourier est un isomorphisme bicontinu, donc oui elle envoie toute base hilbertienne sur une autre base hilbertienne.
Re: Fourier
il y a trois mois
Bonjour
Avec la transformée de Fourier $L^2$ et ce $L^2$ est l'espace de Hilbert complexe des fonctions définies sur $\R$... Blablabla à valeurs complexes.

On a même mieux elle est est diagonalisable (au sens hilbertien) dans une base orthonormée hilibertienne et son spectre est 1,-1,i,-i. C'est à dire qu'il existe, avec les mêmes notations, une base orthonormée hilbertienne $(e_i)$ avec des $u_i$ égaux à une des valeurs propres ci-dessus près aux $e_i$.

Voir les fonctions d'Hermite pour le choix des $(e_i)$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Fourier
il y a trois mois
Grand merci à vous 2

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fourier
il y a trois mois
avatar
Calli écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Si je ne m'abuse, l'argument donné est insuffisant : certes, la famille résultante sera libre et "génératrice" (au sens topologique usuel : l'espace engendré est dense). Mais on a quand même besoin d'avoir les termes orthogonaux, et normés !
On peut en fait montrer que si $T : H \rightarrow H'$ et si $(e_n)$ est une base hilbertienne de $H$, alors $(Te_n)$ est une base hilbertienne de $H'$ si et seulement si $T$ est une isométrie.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Fourier
il y a trois mois
avatar
Ouais, j'aurais dû dire "isométrie" au lieu de "isomorphisme bicontinu". Mais la transformation de Fourier est bien une isométrie (en choisissant la définition de Fourier qui convient parmi toutes celles possibles).
Re: Fourier
il y a trois mois
Merci pour vos posts, ça m'aide à progresser dans ce domaine.

J'imagine que les vecteurs propres dont side parle sont de la forme $x\mapsto \exp(nix)$?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Fourier
il y a trois mois
Ah bin non, pardon, il avait répondu en fait (fonctions d'Hermite). Je google.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fourier
il y a trois mois
Voici un argument "contre" le point de vue selon lequel la transformée de Fourier est un "changement de base". Je préfère le point de vue selon lequel "la transformée de Fourier est une dualité".

Soit $G$ un groupe topologique muni d'une mesure $\mu$ non nulle invariante par translations. On note $\hat{G}$ l'ensemble des morphismes continus de $G$ dans $U$ ($U$ désigne le groupe topologique des complexes de module $1$). C'est un groupe abélien, et on le munit de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts, ce qui en fait un groupe topologique. On suppose que $\hat{G}$ est muni d'une mesure $\nu$ non nulle invariante par translations.

Soit l'application partiellement définie $\mathcal{F} : L^2(G,\mu) \rightarrow L^2(\hat{G},\nu)$ qui à $f$ associe $\chi \mapsto \int_G f(g)\overline{\chi(g)}d\nu(g)$. On l'appelle "transformée de Fourier sur $G$".

Il me semble que quand $G$ est localement compact et abélien, c'est une isométrie linéaire entre espaces de Hilbert (enfin, la formule ci-dessus se prolonge à une isométrie blabla) et que ça s'appelle le théorème de Plancherel.

Et, toujours si $G$ est localement compact et abélien, $\hat{\hat{G}}$ s'identifie naturellement à $G$ via l'application préférée de Christophe : $x\mapsto (\chi \mapsto \chi(x))$ et que ça s'appelle la dualité de Pontriaguine.

Si $G$ est compact et abélien, il n'y a qu'un seul choix possible de $\mu$ (à une constante multiplicative près) et les éléments de $\hat{G}$ sont des éléments de $L^2(G,\mu)$ et forment une base hilbertienne de $L^2(G,\mu)$. De plus, $\hat{G}$ est discret et le seul choix possible de $\nu$ est (un multiple de) la mesure de comptage.
Exemple : si $G = U$, alors $\mu$ est la mesure de Lebesgue sur le cercle, $\hat{G} = \{x \mapsto x^n \ \vert \ n \in \mathbb{Z}\} = \{t \mapsto e^{i2\pi nt} \ \vert \ n \in \mathbb{Z}\}$ (suivant qu'on préfère définir les fonctions sur $U$ "en fonction du complexe de module $1$ ou de son argument"). On identifie donc $\hat{G}$ à $\mathbb{Z}$, et $\nu$ est forcément un multiple de la mesure de comptage, et $\mathcal{F}$ est donc l'application qui à une fonction associe la suite de ses coefficients de Fourier.

Si $G$ est abélien mais pas compact mais juste localement compact, il risque d'y avoir des problèmes (parce que $\mu$ n'est plus une mesure finie) mais ça se résout.
Exemple : si $G = \mathbb{R}$, alors $\mu$ est forcément un multiple de la mesure de Lebesgue. On a que $\hat{G} = \{t \mapsto e^{i2\pi \xi t} \ \vert \ \xi \in \mathbb{R}\}$ qu'on identifie à $\mathbb{R}$. Dans ce cas-là, $\mathcal{F}$ associe à toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs complexes sa vraie de vraie transformée de Fourier.

Si $G$ est $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, il est isomorphe à $\hat{G}$ (mais pas canoniquement) et $\mathcal{F}$, dans ce cas-ci, s'appelle la "transformée de Fourier discrète".
Re: Fourier
il y a trois mois
Merci, tu réponds par avance à un fil que je n'ai pas à ouvrir du coup. Mais tes maths de haute voltige, je ne sais pas trop les prouver.

Si je comprends bien, tu dis que "prétendre que Fourier va de $E$ dans $E$, c'est être aussi malotru que prétendre que telle fonction célèbre va "canoniquement" de $E$ dans son dual $E^*$, autrement dit, comme prétendre qu'on sait déduire $nonP$ de $P$.

Ca s'entend parfaitement.

Je te file un cadre plus simple pour moi, qui est $\R[X] / (X^2)$ que je note $\R[e]$, avec $e^2=0$

Dans cet anneau,

la dérivée $D$ est $f\mapsto (x\mapsto f(x+e)-f(x))$

la transformation $P$ est $f\mapsto (x\mapsto (xf(x)))$

$(D\circ P)(f) (x) = x (Df(x)) = (x+e)f(x+e) - xf(x) = x(f(x+e)-f(x)) + e(f(x+e)) $

$P\circ D(f)(x) = x(f(x+e)-f(x))$

On a donc $(DP-PD)(f) = ef(x+e)$ et si on s'est restreint aux $f$ telles que $\forall x : ef(x+e) = ef(x)$, on aura:

$$DP-PD = e.id$$

Peut-être peux-tu construire un argument sur ce modèle très simple? (Parce que les 1001 précautions à prendre sur les mesurabilités et les $C^{Biduel}$ trucs, etc, c'est pénible et gêne la lecture)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fourier
il y a trois mois
J'ai pas compris ce que tu veux pour $\mathbb{R}[X]/(X^2)$. Pour le fait d'être malotru, ben...
1) Si on avait décidé de prendre pour $G$ autre chose que $\mathbb{R}$, alors $G$ ne serait pas du tout, en général, isomorphe à $\hat{G}$ (qui s'appelle le "dual" de $G$, j'avais oublié de le dire).
2) Parmi tous les $G$ abéliens localement compacts, $\mathbb{R}$ est particulier, car il est isomorphe à son dual, et en plus, l'isomorphisme est plutôt gentil : c'est $\xi \in \mathbb{R} \mapsto (x \mapsto e^{i2\pi \xi t})$.

Bref, d'après 1), c'est très malotru, mais d'après 2), c'est pardonnable.
Re: Fourier
il y a trois mois
Parfait, j'ai tout relu de ton post et esquivé les précautions de rigueur qui m'avaient noyé dans un premier temps et j'ai tout compris. Je trouve ça dingue de chez dingue que la "finitiude partielle" qui émerge de la compacité soit restituée de manière franche par la nature sous la forme "j'ai deviné que le groupe est compact en rendant son dual discret"

Je serai preneur de preuve de ça.

Sinon, en ce qui concerne $\R[X]/(X^2)$ je te l'ai proposé parce qu'il contient une phrase égale à sa négation (l'idéal engendré par $X$) et donc "offre" peut-être une Fourierisation algébrique qui aurait une utilité pédagogique??

Etrange que $\R$ fournisse la même "magie" (un truc "égal" in some sense à sa négation), ce qui te fait écrire le mot "pardonnable"... J'aimerais aussi creuser pour trouver quelle logique extraire de cet iceberg dont je ne vois que la pointe. (A quoique un produit scalaire est d'office la baguette magique, mince, il n'y a rien derrière si ça se trouve, vu qu'il envoie DEJA $E$ sur $E^*$: on le suppose et on le retrouve, rien de magique)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fourier
il y a trois mois
Ah, mais en quelque sorte les produits scolaires quand ils sont usuels sont magiques car "canoniques", donc je retire mon pessimisme précédent.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fourier
il y a trois mois
Les éléments de $\hat{G}$ s'appellent des "caractères" de $G$.

Pour démontrer que le dual d'un groupe compact $G$ est discret, il suffit de démontrer que le caractère trivial (celui qui envoie tout le monde sur $1$ est isolé.

Pour cela, soit $\chi$ un caractère tel que pour tout $g \in G$, $\vert \chi(g) - 1\vert \leq 1$ (c'est un voisinage pour la topologie, car $G$ est un voisinage compact de $e$ dans $G$ !). Soit $g \in G$. Notons $z := \chi(g)$. D'après l'hypothèse, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $z^n$ est à distance au plus $1$ de $1$. On voit sur un dessin que $z$ est forcément égal à $1$. Donc $\chi$ est le caractère trivial.

Par contre, pour ton histoire de $\mathbb{R}[X]/(X^2)$, j'ai du mal à comprendre ce que tu écris. Un élément de cet anneau n'est pas une fonction définie sur $\mathbb{R}$...
Re: Fourier
il y a trois mois
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G.A. Ok la transformation de Fourier est une dualité, mais puisqu'on peut utiliser l'algèbre linéaire dans le cas de $\R$ ce serait bête de s'en priver tongue sticking out smiley

Je poursuis un peu le message de side sur le choix des vecteurs propres de la transformée de Fourier $F$. On sait que $F^4-1=0$ et qu'elle est linéaire donc ses valeurs propres sont (contenues dans l'ensemble) $\{\pm 1,\pm i \}$. Étant donné une fonction $f \in L^2$ non nulle on peut décomposer $f = f_1 + f_i +f_{-1}+ f_{-i}$ où
\[
f_1 = \frac{1}{4}(f + F(f) + F^2(f) + F^3(f)), \quad f_i = \frac{1}{4} (f -iF(f) -F^2(f) +iF^3(f) ) \quad \text{etc.}
\]
Les fonctions $f_a$ sont des vecteurs propres de $F$ associés à la valeur propre $a$. Ensuite comme on sait que $F$ est une isométrie on en déduit immédiatement que $f_a$ et $f_b$ sont orthogonaux si $a\neq b$. Pour construire une base hilbertienne de vecteurs propres de $F$ il suffit donc de prendre ta base préférée de $L^2(\R)$, de décomposer chaque élément $f$ de ta base en $f_{\pm 1}$ et $f_{\pm i}$ pour obtenir des familles génératrices des quatre espaces propres de $F$. On obtient alors des bases de ces espaces propres en appliquant Gram-Schmidt séparément pour chaque espace propre et voilà.

Au passage $x \mapsto e^{inx}$ ne peut pas être un vecteur propre puisque pas dans $L^2$. Si tu étends un peu plus l'espace (en passant aux distributions tempérées) ce n'est toujours pas un vecteur propre puisque sa transformée de Fourier sera une masse de Dirac.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Corto.
Re: Fourier
il y a trois mois
@Corto : Je voulais dire que si on souhaite fermer les yeux, réfléchir profondément à la nature de l'univers, de pourquoi les choses marchent comme ça, etc. ça peut être bien de voir que $\mathbb{R}$ est un peu magique, quand on le regarde dans un certain cadre. Mais ça doit être une déformation professionnelle : je n'ai jamais utilisé la transformée de Fourier comme "outil de calcul" pour résoudre des EDP ou des machins comme ça, par incompétence et phobie.
Re: Fourier
il y a trois mois
avatar
Citation
GA
Je voulais dire que si on souhaite fermer les yeux, réfléchir profondément à la nature de l'univers, de pourquoi les choses marchent comme ça, etc. ça peut être bien de voir que $\R$ est un peu magique, quand on le regarde dans un certain cadre.
Ah mais je suis d'accord avec ce que tu dis hein ! Je connais le point de vue de la transformation de Fourier sur un groupe mais je ne l'ai jamais utilisé ou étudié en détail. Ça doit être ma déformation professionnelle personnelle winking smiley
Re: Fourier
il y a trois mois
Bonjour,

Il y a un intérêt aux fonctions de Hermite elles utilisent à fond les propriétés magiques de la TF en particulier la transformation de la multiplication par t dans l'espace des temps en dérivation dans l'espace des fréquences.
Couple au fait que la TF d'une gaussienne dont la variance $\sigma$, qui est homogène en t, est une gaussienne dont la variance $\sigma'$, qui est homogène à une fréquence, on a donc $\sigma \sigma'$ est sans unité et miracle on vérifie que ce nombre sans unité ne dépend pas de $\sigma$. Si on prend le $\sigma$ tel que la gaussienne et sa TF ont même variance on a donc une égalité $\sigma^2=cte$ ce qui donne une unique valeur de $\sigma$ possible.
On n'est donc pas surpris grâce à la propriété rappelée d'échange de multiplication et dérivation de s'intéresser à l'espace $F=vect(Pe^{-x^2/2\sigma_{0}^{2}}, P\in \C[t] )$ (je ne me souviens plus de la valeur de $\sigma_0$ ça doit être 1 mais je n'en suis pas sûr) qui est donc stable par TF. Les fonctions d'Hermite sont de la forme $ P_ne^{-x^2/2\sigma_{0}^{2}}$ où les $(P_n)$ sont les polynômes d'Hermite à un coefficient près, je ne me souviens pas des détails surtout que chaque auteur a sa définition ce qui ne facilite pas les explications... Bref ça doit se trouver sur le net.

Ceci n'explique pas la construction d'Hermite et bien sûr ça ne démontre rien.
Mais ça explique pourquoi on ne doit pas être surpris...enfin je pense.

Il y a d'autres propriétés magiques de la construction d'Hermite mais sans rapport avec le fil donc je ne m'étale pas.

A parte en lien avec un autre fil
La relation $\sigma \sigma'=cte$ est une autre lecture du principe d'incertitude de Heisenberg : si un signal est localisé en temps, sa transformée est étalée en fréquence et réciproquement... La variance mesure l'étalement d'une gaussienne. Voir les cours de proba pour la signification.


Correction
La variance est $\sigma^2$, $\sigma$ est l'écart type (quand on écrit la gaussienne sous une forme normalisée $g(x)=Ce^{\frac{-(x-m)^2}{2\sigma^2}}$).
Je ne corrige pas dans le texte.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Fourier
il y a trois mois
Un grand merci à vous trois.

Ca alimente mes réflexions bien que je ne maitrise pas tout. Mais ça va j'arrive à esquiver ce qui me dérange.

@GA : pour $\R[X] / X^2$, disons que tu peux prendre le dual du dual de l'espace des fonctions $f$ telles que $\forall x: ef(x+e)=ef(x)$ (par exemple), morale de l'histoire tu fais comme tu veux en fait, c'était juste pour voir si tu avais une transposition "plus algébrique" de ces magies.

Merci pour la preuve de la discrétion!! Ainsi la compacité envoyée sur de la discrétion, ça fait plaisir à voir. Connais-tu des exemples où on aurait la même chose, mais en se passant de la structure de groupe?

Je me demande si l'alternative de .... ( angry smiley j'ai oublié le nom) dans les Hilbert ne joue pas un peu un rôle similaire (Freedholm peut-être ??) , à savoir que quand un truc est compact + comme ci-comme ça, il est "fini".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fourier
il y a trois mois
HORS SUJET
si on s'intéresse aux groupes, on peut lire la transformation de Fourier via un transport isométrique vers un espace de Hilbert de fonctions analytiques dont j'ai oublié le nom (ça ressemble à la transformée de Borel qu'on applique à la suite $l^2$ des coefficients de $f$ dans la base hilbertienne des fonctions d'Hermite), comme une action d'une rotation d'angle dans le plan complexe $\pi/2$ sur l'argument de la fonction analytique :

le diagramme est un "carré" commutatif, et $A$ est une isométrie entre espaces de Hilbert

Je parcours le diagramme dans un sens...mais à la fin il faut constater l'image par $A$ de $f$ et $TF(f)$. J'imagine que ce n'est pas très clair...
$f\in L^2 --> g(z):=A(f)(z) \in Espace de fonctions analytiques --> h(z):=g(iz)--> A^{-1}(h(z))=TF(f)$
Et une fois qu'on constate ça on construit par interpolation de nouvelles "transformées de Fourier" dans $L^2$ (abus de langage) avec n'importe quelle rotation de $SO(2)$.

On retrouve évidemment $(TF)^4=Id$ rappelé par Corto (on tourne 4 fois d'un angle $\pi/2$, on retombe sur ses pattes...).


Ajout et correctif : [perso.eleves.ens-rennes.fr]

La diagonalisation de $TF$ est explicitée.
La transformation que j'ai appelée A est explicitée.
Le diagramme qui clarifie ce que j'ai tenté d'expliquer est à l'avant dernière page.
Par ailleurs, la rotation est de $-\pi/2$ et non $\pi/2$.


Ajout 2 : comme je l'indiquais dans un autre message chacun à sa façon de définir les polynômes de Hermite. Mais j'oubliais le plus important, chacun a sa façon de définir la transformée de Fourier...Mon message précédent était écrit avec une TF sans $2\pi$ dans l'argument de l'exponentielle...



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Fourier
il y a trois mois
avatar
Side : Le nom que tu cherches est l'espace de Bargmann, c'est par exemple traité dans le livre de B. Candelpergher Calcul intégral.
Re: Fourier
il y a trois mois
merci Corto
En cherchant, j'ai trouvé un lien que je rajoute à mon message.
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