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Relèvement d'une application continue

Envoyé par mini_calli 
Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Bonjour à tous,
J'aimerais vous partager un exercice sur lequel j'ai planché.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.


Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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La question 4) a) m'a bloqué. Je n'ai compris comment une telle assertion pouvait être vrai.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
D'après le Théorème d'AlainLyon : poser la feuille bien à plat devant l'objectif c'est mieux pour obtenir une réponse de myope comme une taupe!

Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AlainLyon.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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La fonction $(s,t)\mapsto \mathfrak{Re}(u(s)/u(t))$ est continue (pourquoi ?). Que vaut-elle sur la diagonale $\Delta = \{(s,t) : s=t\}$ ? Que peut-on en déduire pour les couples $(s,t)$ proches de la diagonale ?
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Bonjour Coro merci pour cette réponse utile !

1) La fonction $(s,t) \mapsto {u(s) \over u(t)}$ est continue car $u$ ne s'annule pas. La partie réelle d'une fonction continue est continue.

2) Elle vaut $1$ sur la diagonale $\Delta$.

3) Si $(s,t)$ sont proche de la diagonale alors $ (s,t)\mapsto \mathfrak{Re}(u(s)/u(t)) >0$

Maintenant pour essayer de répondre à la 4). Soit un boule centré en $(1,1)$ pour la norme $1$ c'est à dire
$$
|(a,b)|_{1} = |a| + |b|.

$$ Il existe un $n$ un entier non nul tel que si $(x,y) \in B((1,1),{1 \over n})$ alors $\mathfrak{Re}(u(x)/u(y)) >0$
D'où
$$
|s-t| \le |s-1| + |t-1| \le {1 \over {n} } \Rightarrow \mathfrak{Re}(u(s)/u(t)) >0 .


$$ Ce qui me gênait c'est qu'on remarque que $n$ ne dépend pas de $t$ ainsi je ne peux pas utiliser simplement la continuité en $t$ de la [fonction]
$$
s \longmapsto \mathfrak{Re}(u(s)/u(t)) .
$$


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Ah malheureusement il y a un truc qui ne va pas dans ma preuve.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Je n'ai pas prouvé pour exactement tous les $(s,t)$ qui vérifie $|s-t| \le {1 \over n}$


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Bon donc en chaque point $x$ de la diagonale tu trouves une boule ouverte $B(x,\varepsilon_x )$ telle que blablabla. Tu voudrais montrer qu'on peut choisir un $\varepsilon$ indépendant de $x$, ça ne te rappelle rien comme genre de situation ?
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Continuité uniforme.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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En effet ! $|s-t| \le \frac 1 n$ n'implique pas du tout $|s-1| + |t-1| \le \frac 1 n$...
Pourquoi avoir choisi seulement la boule centrée en $(1,1)$ ? La continuité de ta fonction à deux variables est vraie sur tout le carré $[0,1]^2$, donc elle est vraie sur toute la diagonale $\Delta$...
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Attention je n'ai pas fait cette erreur ! Je n'ai pas supposé que $|s-t| \le \frac 1 n$ j'ai simplement utilisé l'inégalité triangulaire ce que j'ai écrit est vrai juste ça ne répond pas à la question.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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nimajned comment concluez vous alors ?


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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De quel livre est extrait cet exercice ? merci.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Si les couples te mettent mal à l'aise, peut-être qu'écrire u = x + iy et exprimer la partie réelle de ton rapport te ramènera à des arguments plus simples. Bon, tu n'as pas l'air d'être dans une première année normale après.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Tu as une application continue qui vaut $1$ sur $\Delta$, donc elle est strictement positive au voisinage de chaque point de $\Delta$.
Le problème, c'est que ce voisinage (son diamètre) dépend du point de $\Delta$ choisi... Comment uniformiser tout cela ??
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Comme j'ai déjà dit je pense que c'est la continuité uniforme.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Normalement il suffit de formuler correctement la continuité uniforme pour terminer l'exercice.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Oui c'est la continuité uniforme de l'application $g(t):=\frac {u(t)}{|u(t)|}$ sur $[0,1]$, il existe $n$ tel que pour tout $s,t$, avec $|t-s|<1/n$, on ait $$|g(t)-g(s)|< \text{par exemple }\sqrt 2

$$ donc ...

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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nimajneb pouvez vous le faire alors s'il vous plait que je vois.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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On peut aussi utiliser la continuité uniforme de $\varphi : x=(s,t) \longmapsto \mathcal R\left (\frac{u(s)}{u(t)}\right)$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par nimajneb.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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On écrit la continuité uniforme : il existe $n >0$ tel que, si $x$ et $y$ sont deux points du carré $[0,1]^2$ tels que $|x-y|_1 \le \frac 1 n$, alors $|\varphi(x)-\varphi(y)| < 1$. En prenant $x=(s,s)$, on trouve en particulier, en prenant $y=(s,t)$ : $$|s-t| \le \frac 1 n \implies \varphi((s,t)) > 0 $$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par nimajneb.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Oui voilà moi ce qui me bloque c'est
$$
|(s,s) - (x,y)|_{1} = |x-s|+|y-s|
$$


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par mini_calli.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Ah mais vous avez pris $s$ dans $(s,t)$ le même que $s$ dans $(s,s)$ vous êtes un petit malin !!! Du coup je n'ai rien dit.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Ca m'arrange bien en effet.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Oui, et ici $x$ et $y$ sont des points de $\mathbf R^2$ !
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Moi c'est des points de $\mathbb{R}$ mais on s'est compris je crois.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Chaurien : Le livre c'est Analyse agrégation interne de Skandalis.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par mini_calli.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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Merci.
Re: Relèvement d'une application continue.
il y a trois mois
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mini calli je ne sais pas si tu as compris l'idée de démonstration que je t'ai proposée.
Ajout: je ne vois pas comment faire pour la question 4.b

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par gebrane.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Bonsoir Gebrane, j'ai pris en photo la solution aujourd'hui à la BU je vais la poster.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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J'avoue ne pas l'avoir comprise drinking smiley.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Voilà


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.


Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Autre question pour la 2) c) quelqu'un connaît-il un raisonnement direct ? Je veux dire une construction. Si ce n'est pas clair laissez-moi vous montrer sur le 2) b) ce que j'entends par construction. Dans le plan complexe on cherche à calculer l'argument, bon ben une possibilité est d'écrire
$$
z = r\big(\cos(\theta) + \sin(\theta)\big)

$$ lorsque $z$ n'est pas un imaginaire pur, c'est-à-dire $\cos(\theta)$ non nul, alors on peut diviser $\quad
{y \over x } = \tan(\theta) .
$
D'où la formule pour $\theta$ choisi entre $]-\pi/2 ; \pi/2[$
$$
\theta = \text{arctan}\left({ y \over x} \right)

$$ Je me rends compte que pour avoir un $\theta$ bien choisi se restreindre encore un peu plus disons, $\quad
\mathfrak{Re}(z) > 0
$
C'est d'ailleurs ce que demande la question 2) b) après un rapide coup d’œil.

C'est une petite question bonus, franchement je pense que le plus important pour moi c'est le 5) b) parce que je n'ai aucune sombre idée de ce qu'il me cuisine mais je mange quand même !drinking smiley


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Je réponds à ce message [www.les-mathematiques.net] . L'idée que j'ai eu est la meme que dans la solution de ton livre
L'idée m'est venu grâce à un exercice L1
Citation
exercice
si $z_1$ et $z_2$ sont deux nombres complexes avec $||z_1||=||z_2||=1$ alors on a l’équivalence $$||z_1-z_2||< \sqrt 2 \iff Re(\frac {z_1}{z_2})>0$$

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Bizarre, la question a. "donnait" la fonction affine pourtant. Repose-toi encore gebrane, reprends du poil de la bête !
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
Bonsoir,
il faut connaître ses formules trigo et passer par l'angle moitié ce qui permet de repérer (si on préfère on peut parler de difféomorphisme $(x,y)\mapsto(r,\theta)$ ... à condition de retirer une demi-droite) dans le plan complet (à une demi-droite près) au lieu du demi-plan droit...
NB : la formule des physiciens $\theta=\arctan y/x$ est une fois sur deux fausse si on ne rajoute pas dans quel demi-plan on se trouve...

$y/(x+r)=\sin \theta /(1+\cos \theta)=\tan \theta/2$,
puis $\theta/2=\phantom{2}\arctan (y/(x+r)) \mod \pi$,
puis $\phantom{/2}\theta=2 \arctan (y/(x+r)) \mod {2\pi}$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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En réponse de ce message de RLC [www.les-mathematiques.net]
pourquoi tu as attendu jusqu’à ce que la réponse soit affichée ?grinning smiley

J'avoue, j'ai réfléchi à la question que quelques minutes

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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J'ai vu la question le lendemain et j'ai commencé à rédiger avant d'annuler pensant que tout le monde avait oublié le topic.

Je dis juste ça parce que tu m'as déjà lancé une pique par le passé, c'est ma petite revanche !
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Ah! Je ne me rappelle plus et je m'excuse si j’étais méchant par le passé

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Je l'ai pas mal pris ne t'en fais pas, on est assez grands pour se taper sur les doigts de temps en temps.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Pour l'exercice de gebrane. Si $\mathfrak{Re} \left( { z_{1} \over z_{2}} \right) > 0$ en utilisant le fait que $\bar{z_{2}} = {1 \over z_{2}}$ alors
$$
| z_{1} - z_{2} |^{2} = |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} - 2 \mathfrak{Re}\left( z_{1} \bar{z_{2}} \right) \le 2
$$
Et réciproquement si $| z_{1} - z_{2} | \le \sqrt{2}$ on utilise la même formule et on a l'équivalence en fait.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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J'ai compris la 5.b grâce a la remarque épicée de Riemann_lapins_cretins. grinning smiley


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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@side : J'ai bien précisé la moitié de plan sur laquelle je me place dans mon post et pour l'explication vous avez la flemme d'en dire plus ? Je ne peux que comprendre drinking smiley.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Ta réciproque mérite d'être rédigée je crois.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
Bonjour,


s'il y a une question, je ne l'ai pas comprise...
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Bonjour side, j'espère que vous allez bien. Non ça va ne vous inquiétez pas.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Riemann_lapins_cretins : c'est pas obvious ?


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Sinon je cherche le bon argument pour prouver la continuité de
$$
|f(x)|^{z} f(x) \over |f(x)|
$$
si $f(x)\ne 0$ et $0$ sinon. Avec $ z\in \mathbb{C}$ et $f$ à valeur réelle, C infini à support compact. (La continuité en $x \in \mathbb{R}^{n}$)

Si vous avez une idée.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Non désolé, je croyais que tu avais écrit une inégalité au lieu d'une égalité au début
Re: Relèvement d'une application continue
il y a trois mois
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Une idée $$\Big| {f(x) \over |f(x)|} \Big| =1.$$

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
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