Application du TAF
Bonjour,
J'ai $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur le segment $[0,1]$. J'essaie de comprendre pourquoi d'après le TAF on a :
$ \underset{x \in [0,t]}{\sup} \lvert f(x) \rvert \leq \lvert f(0) \rvert + t \underset{x \in [0,t]}{\sup} \lvert f'(x) \rvert$ ?
C'est dans une correction d'exercice et j'ai du mal à comprendre à quelle fonction on applique le Théorème des Accroissements Finis ?
J'ai $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur le segment $[0,1]$. J'essaie de comprendre pourquoi d'après le TAF on a :
$ \underset{x \in [0,t]}{\sup} \lvert f(x) \rvert \leq \lvert f(0) \rvert + t \underset{x \in [0,t]}{\sup} \lvert f'(x) \rvert$ ?
C'est dans une correction d'exercice et j'ai du mal à comprendre à quelle fonction on applique le Théorème des Accroissements Finis ?
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Réponses
$F(b)-F(a) \le (b-a)\sup\{f(x):x \in [a,b]\}$
sauf si la question est de démontrer l’inégalité des accroissements finis
L'inégalité est évidente pour $t=0$.
Si $t$ se trouve dans $\left]0,1\right]$, alors pour tout $x$ dans $]0,t]$, il existe d'après le TAF un $c_x$ dans $]0,x[$, donc dans $[0,t]$, tel que $f(x)=f(0)+xf'(c_x)$.
Pour $x=0$, l'égalité est vérifiée quel que soit le nombre $c_x$ dans $[0,t]$.
Ainsi, pour tout $x$ dans $[0,t]$, on a : \[\left|f(x)\right|\leqslant\left|f(0)\right|+x\left|f'(c_x)\right|\leqslant\left|f(0)\right|+t\sup_{x\in[0,t]}\left|f'(x)\right|\]
Donc : \[\sup_{x\in[0,t]}\left|f(x)\right|\leqslant\left|f(0)\right|+t\sup_{x\in[0,t]}\left|f'(x)\right|\]