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Application du TAF

Envoyé par LewisK 
Application du TAF
il y a deux mois
Bonjour,

J'ai $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur le segment $[0,1]$. J'essaie de comprendre pourquoi d'après le TAF on a :

$ \underset{x \in [0,t]}{\sup} \lvert f(x) \rvert \leq \lvert f(0) \rvert + t \underset{x \in [0,t]}{\sup} \lvert f'(x) \rvert$ ?

C'est dans une correction d'exercice et j'ai du mal à comprendre à quelle fonction on applique le Théorème des Accroissements Finis ?
Re: Application du TAF
il y a deux mois
Disons, $f$ sur $[0,t]$ ? Le passage difficile est sans doute entre $f'(c_x)=\frac{f(x)-f(0)}{x}$ et $f(x)=f(0)+xf'(c_x)$.
Re: Application du TAF
il y a deux mois
Merci pour ta réponse, j'apprécie ton ironie. J'avais bien pensé à l'appliquer à ce segment. J'ai simplement du mal à passer au $\sup$ ! Suffit-il d'appliquer $\sup \lvert . \rvert$ à l'égalité et d'utiliser l'inégalité triangulaire ?



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par LewisK.
Re: Application du TAF
il y a deux mois
avatar
C'est tout simplement l’inégalité des accroissements finis
$F(b)-F(a) \le (b-a)\sup\{f(x):x \in [a,b]\}$
sauf si la question est de démontrer l’inégalité des accroissements finis

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Application du TAF
il y a deux mois
avatar
Bonsoir,
L'inégalité est évidente pour $t=0$.
Si $t$ se trouve dans $\left]0,1\right]$, alors pour tout $x$ dans $]0,t]$, il existe d'après le TAF un $c_x$ dans $]0,x[$, donc dans $[0,t]$, tel que $f(x)=f(0)+xf'(c_x)$.
Pour $x=0$, l'égalité est vérifiée quel que soit le nombre $c_x$ dans $[0,t]$.
Ainsi, pour tout $x$ dans $[0,t]$, on a : \[\left|f(x)\right|\leqslant\left|f(0)\right|+x\left|f'(c_x)\right|\leqslant\left|f(0)\right|+t\sup_{x\in[0,t]}\left|f'(x)\right|\]
Donc : \[\sup_{x\in[0,t]}\left|f(x)\right|\leqslant\left|f(0)\right|+t\sup_{x\in[0,t]}\left|f'(x)\right|\]
Re: Application du TAF
il y a deux mois
Merci à tous pour vos réponses, c'est beaucoup plus clair !
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