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Intégrale impropre

Envoyé par Alyes 
Intégrale impropre
il y a deux mois
Bonjour,
Je suis embêté avec la 2ème intégrale. Elle est impropre en 1; 2 et 3. Converge-t-elle vraiment ?
Merci pour vos réponses.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.


Re: intégrale impropre
il y a deux mois
avatar
ben non
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
D'accord merci pour ta réponse. Il y a donc bien une erreur dans l'énoncé.

Je pensais remplacer la borne 0 par 4 par exemple
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
bonjour

concernant la seconde intégrale il n'y a pas d'erreur d'énoncé, elle est parfaitement convergente

d'une part sur les deux bornes d'intégration 0 et + oo elle converge,

d'autre part au voisinage de x = 1, x =2, x = 3 la discontinuité de la fonction à intégrer

est compensée et digérée dans l'intégration, puisqu'il s'agit de pôles simples

le calcul de l'intégrale en question nécessite une décomposition en fractions élémentaires soit :

$\frac{x}{(x-3)(x-2)(x-1)} = \frac{3/2}{x-3} - \frac{2}{x-2} + \frac{1/2}{x-1}$

et l'intégrale est donc l'expression :

$$[\frac{1}{2}ln\frac{(x-1)(x-3)^3}{(x-2)^4}]$$ à calculer de 0 à + oo soit :

$$\frac{-1}{2}ln\frac{27}{16}$$

cordialement
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
avatar
La deuxième intégrale ne converge pas mais apparemment elle a une valeur principale.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
bonjour, êtes vous certain que la première ne converge pas? on peut calculer la primitive de la fonction et donc la calculer, =+4
cordialement
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
La première se calcule avec IPP
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
avatar
La première peut se calculer facilement si on connait la fonction gamma.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
bonjour, pourquoi utiliser la fonction Gamma, l'IPP parait simple?
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
avatar
rebonjour, la notion de valeur principale correspond au principe suivant.
On remplace le calcul de $\ \displaystyle \int_a^b f(t) \mathrm dt\ $ par $\ \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{c- \epsilon} f(t) \mathrm dt + \int_{c+ \epsilon}^b f(t) \mathrm dt,\ $ si $a < c < b $ et si $f$ présente un pôle en $c$.
Le fait de passer par une limite symétrique permet parfois d'obtenir une limite finie.

A demon wind propelled me east of the sun



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
avatar
Citation
Cadiou
bonjour, pourquoi utiliser la fonction Gamma, l'IPP parait simple ?
\begin{align}
\int_0^\infty (x^2+2)\text{e}^{-x}dx&=\int_0^\infty x^2\text{e}^{-x}dx+2\int_0^\infty \text{e}^{-x}dx\\
&=\Gamma(3)+2\Gamma(1)\\
&=2!+2\times 0!\\
&=\boxed{4}

\end{align} NB. Si $n$ est un entier naturel non nul on a
$\displaystyle \Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}\text{e}^{-x}dx=(n-1)!$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: intégrale impropre
il y a deux mois
avatar
rebonjour, il y a un truc simple avec les fonctions du type: $x \mapsto (ax^2 + bx + c)e^{-x}$; c'est un ensemble fermé pour la dérivation:
$$
\dfrac{d}{dx} \left( (ax^2 + bx + c)e^{-x} \right) \; = \; \left( -ax^2 + (2a - b)x +b-c \right) e^{-x}.

$$ Et déterminer une primitive d'une telle fonction revient à résoudre un système triangulaire très simple. Donc pas de fonction eulérienne ni d'intégration par parties.

A demon wind propelled me east of the sun



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Intégrale impropre
il y a deux mois
Accepter la notion de valeur principale d'une intégrale est utile dans le cadre des Distributions, car la dérivée d'une fonction localement intégrable peut ne pas être localement intégrable, mais cela me semble cher payé dans le cadre du calcul intégral pour lui-même : on perd la formule de Chasles, celle du changement de variables et peut-être même aussi l'IPP. Et pour gagner quoi en compensation ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
P.
Re: Intégrale impropre
il y a deux mois
Alyes doit se mefier de ce que dit jean lismonde, qui ne voit aucun inconvenient a dire que $\int_{-1}^1\frac{dx}{x}$ converge et vaut zero.
Dom
Re: Intégrale impropre
il y a deux mois
C’est souvent comme ça.
Je ne sais pas pourquoi on dit des choses fausses volontairement.
Ou, du moins, très peu conventionnelles sans le déclarer comme tel.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Dom.
Re: Intégrale impropre
il y a deux mois
Et ça fait plus de 15 ans que ça dure !
Re: Intégrale impropre
il y a deux mois
avatar
Il faudrait mettre un bandeau sur ses messages comme pour l'abus d'alcool winking smiley
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