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Décroissance d’un produit...

Envoyé par Acide2021 
Décroissance d’un produit...
le mois dernier
Bonjour.

Quelqu’un peut-il m’aider à prouver que la suite (Un) définie par

Un=(1+1/n^2)(1+2/n^2)....(1+n/n^2)

est décroissante?

Grand merci d’avance!



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Acide2021.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
Bonjour,

Chaque facteur est croissant.
Le produit de deux facteurs croissants est-il croissant ?
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
Chaque facteur est DÉCROISSANT, mais le nombre de facteurs n’est pas constant. Il tend vers l’infini...
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
Bonjour,

Calcule le rapport $\displaystyle {u_{n+1}\over u_n}$ et utilisé majoration et minoration. Ça devrait marcher.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
$$\forall n\in\N^\star, \qquad u_n=\prod\limits_{k=1}^n\big(1+\tfrac{k}{n^2}\big).

$$ C'est ça ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
J’ai essayé Un+1/Un ...
Ça ne marche pas ...
Dans le produit de Un il y a n termes
Dans celui de Un+1 il y a n+1 termes...



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
@marsup. Oui
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
En fait, en passant au log, et en utilisant une double inégalité bien connue sur ln, j’ai réussi à démontrer par le théorème des Gendarmes que la suite Un converge vers exp(1/2).

Mais c’est quand j’ai voulu démontrer que la suite est décroissante, que tout coince!
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
Les $n$ premiers facteurs de $U_{n+1}$ sont plus petits que les $n$ facteurs de $U_n$ mais le facteur restant de $U_{n+1}$ est plus grand que $1$.

Un petit coup de logarithme peut-être?

PS:
J'imagine qu'il faut seulement savoir minorer et majorer $\ln(1+u)$ pour $0<u<1$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
@fin de Partie: Exactement! J’ai tout essayé!!!
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
Acide2021:

Quand on passe au logarithme l'expression $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ on se retrouve avec une somme de termes de la forme $\pm\ln(1+u)$ avec $0<u<1$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
@Fin de partie:
J’ai utilisé la double inégalité:
x-(1/2)x^2 <= ln(1+x) <= x
pour tout x positif.
Ce qui m’a permis d’encadrer ln(Un+1)-ln(Un).
Mais je tombe sur un minorant négatif et un majorant positif...
Donc ça ne me donne pas le signe...
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
On peut comparer pour $n\ge 2$: $\left( 1+\dfrac{n}{(n+1)^2}\right) \left( 1+\dfrac{n+1}{(n+1)^2}\right)$ et $1+\dfrac{n}{n^2}$.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
@nahar.
Le terme produit de gauche est plus grand que celui de droite.
Donc cela ne me donne pas Un+1/Un <1



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Acide2021.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
Sauf erreur la différence (premier moins second terme) entre ces deux termes vaut: $\displaystyle \frac{3 {{n}^{3}}+7 {{n}^{2}}+4 n+1}{n\, {{\left( n+1\right) }^{3}}}$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
bonjour

tu prends le logarithme népérien de $u_n$ (qui est toujours positif)
et tu opères un développement asymptotique limité à 3 termes

$ln(u_n) = \Sigma_1^nln(1+\frac{k}{n^2}) = \Sigma_1^n\frac{k}{n^2} - (1/2)\Sigma_1^n\frac{k^2}{n^4} + (1/3)\Sigma_1^n\frac{k^3}{n^6} + .......$

soit encore :

$ln(u_n) = \frac{n+1}{n} - (1/2)\frac{(n+1)(2n+1)}{n^3} + (1/3)\frac{(n+1)^2}{n^4} +....$

tu obtiens :

$ln(u_n) = 1 - \frac{7}{6n^2} + \frac{1}{6n^3} +......$ qui est croissante avec n

ta suite de terme général $u_n$ est croissante et converge vers le nombre e

on pouvait voir la convergence de la suite $u_n$ en majorant le produit des n facteurs
par n fois le terme le plus grand soit le dernier (1 + n/n²)

$u_n < (1+1/n)^n$ qui est croissant et convergent vers le nombre e

cordialement
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
@Jean lismonde.
1) ma suite est décroissante
2) elle converge vers exp(1/2)


En fait tu utilises un équivalent (qui est faux) de la suite pour déduire sa monotonie. Tu n’as pas le droit!
Deux suites équivalentes ne varient pas forcément dans le même sens!

Cordialement!



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Acide2021.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
Bonjour,
Si on trouve des nombres $a_{n,1},\dots,a_{n,n}$ tels que $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{n,k}=1$ et $\forall k\in[\![1,n]\!],$ $$\Big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \Big) \Big(1+\frac1{n+1} \Big)^{a_{n,k}} \leqslant \Big(1+\frac{k}{n^2} \Big)$$ alors on a montré que $u_{n+1}\leqslant u_n$. Or, pour que la première inégalité soit vraie, il faut que $$a_{n,k} \leqslant \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} .$$ Ainsi, on peut trouver ces nombres $a_{n,k}$ à condition que $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1.$$ C'est ce qu'il faut vérifier en utilisant les majoration et minoration de $\ln$ que tu as déjà évoquées.
Ça n'est pas très subtile comme méthode, mais ça fonctionne (édit).



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Calli.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
C'est plus simple avec $x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x)\le x,\qquad0\le x \le1,$

Édit je me suis trompé sur la question.

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par gebrane.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
@Calli

Ta dernière égalité semble vraie pour tout n, mais je n’arrive pas à la démontrer avec les inégalités sur le log que j’ai utilisées plus haut...
Aurais-tu un procédé pour prouver cette égalité?

En tout cas, je te remercie pour ton aide...
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
En refaisant mes calculs, on dirait que je m'étais trompé et que mon truc ne marche pas. angry smiley $$\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} &\geqslant& \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4} -\frac{k}{(n+1)^2}}{\frac1{n+1}} \\
&=& (n+1) \sum_{k=1}^n \left( \frac{(2n+1)k}{n^2(n+1)^2} - \frac{k^2}{2n^4} \right)\\
&=& n \frac{2n}{n^4} \frac{n^2}2 (1+o(1)) - n \frac{1}{2n^4} \frac{n^3}3 (1+o(1) ) \\
&\to& 1-\frac16 <1
\end{eqnarray*} $$



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Calli.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
En vérifiant avec un ordinateur, j'ai bien vu que c'est la minoration $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4} -\frac{k}{(n+1)^2}}{\frac1{n+1}} $$ qui est trop mauvaise. Il faut trouver autre chose. Mais $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1$$ a bien l'air d'être vraie.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
Bon, en fait, je me rends compte que $\quad\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1\quad$ est totalement équivalent à $\ln(u_n)\geqslant \ln(u_{n+1})$. Mon raisonnement n'était qu'un détour inutile. sad smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
@Calli

Effectivement, j’ai testé ton inégalité sur Python. Elle semble vraie pour tout n.
Malheureusement, je n’ai pas encore pu la démonter avec les inégalités classiques sur ln(1+x).
Il faudrait utiliser autre chose pour démontrer que ma suite Un est décroissante...
Ah la la...ça fait 4 jours que je bûche dessus!
Encore merci à toi!



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Acide2021.
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
Bonjour,

Une idée :
On montre par calcul direct que $\displaystyle u_n=\prod_{k=1}^n (1+k/n^2)={1\over n^{2n}} {\Gamma(n^2+n+1)\over \Gamma(n^2+1)}$, puis on calcule $\displaystyle {u_{n+1}\over u_n}$ pour montrer, par récurrence, que c’est $\leq 1$ (qui est une inégalité fine assez pénible à démontrer).
Re: Limite d’un produit
le mois dernier
avatar
Acide, veux-tu changer le titre de ta question en décroissance d'un produit pour ne pas induire tes nouveaux lecteurs en erreur

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
avatar
En utilisant l'inégalité plus précise $\forall x\in{]0,1[},\, x-\frac{x^2}2 \leqslant \ln(1+x) \leqslant x-\frac{x^2}2 +\frac{x^3}3$, on y arrive ! smiling bouncing smiley On trouve que $\ln(u_n)-\ln(u_{n+1}) \geqslant \frac{1+o(1)}{4n^2}$, donc $(u_n)$ est strictement décroissante à partir d'un certain rang (et Python confirme cet équivalent). En travaillant plus à partir de l'avant-avant-dernière ligne de la photo, on peut expliciter ce "à partir d'un certain rang". Ça s'annonce pénible, mais c'est théoriquement faisable (mais ce sera sans moi ! tongue sticking out smiley). D'après Python, l'expression de l'avant-avant-dernière ligne est positive à partir de $n=3$, donc il reste juste à vérifier la décroissante sur les quelques premiers termes de la suite.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Calli.


Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
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une réponse dans le fil de l’intégrale de mi-mars

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
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Sur les conseils de Gebrane on a cette référence:
[math.stackexchange.com]

PS:
Gebrane: te rends tu compte qu'avec ce moteur de recherche on contribue au <<crash>> des mathématiques? Plus besoin de faire des calculs, quelqu'un a déjà donné une solution sur MathExchange, il suffit de la localiser et c'est fini. hot smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
avatar
Il y a aussi cette référence.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
avatar
Pareil, j'ai fait un DL et je n'ai obtenu que la décroissance APCR. spinning smiley sticking its tongue out
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
avatar
FDP tu as grandement participé à ce crash en dévoilant le moteur de recherche magique grinning smiley
De ma part, pas de soucis, je réfléchis à la question meme si je fais des erreurs en proposant mes réponses, c'est comme ça que je progresse .

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
avatar
Gebrane: chut, pas si fort, on va nous entendre et je vais avoir tout le lobby du déclinisme sur le dos. hot smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
avatar
FDP, C'est encore plus grave, les mathématiques et le phénomène de sous-traitance

J'avais cru avant que faire une thèse était si difficile car ça demande de l'originalité , mais autour de moi ,
j'ai constaté à la moindre difficulté, un bon nombre demandent aux autres de les résoudre pour eux ou bien de poser un lemme sensé être résolu par le thésard dans un forum ( surtout avec les forums dédiés par exemple ici, MSE, MO et d'autres )

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
@Calli.
Joli travail!
Franchement, je te remercie pour ton apport!
Là tu as réussi à montrer que ma suite est décroissante à partir d’un certain rang.
Je vais essayer de travailler sur l’avant-avant dernière expression pour voir à partir de quel rang elle est positive.
Encore merci!
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
@Fin de Partie
@Gebrane

Merci pour le lien!
Effectivement, j’y ai vu la solution de mon problème( sans utilisation de DL)...pas mal...
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
gebrane écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------
Salut Gebrane.
Tu as raison. Mon titre est inapproprié.
J’ai essayé de changer le titre de ma discussion, mais apparemment on ne peut pas le faire...
Je n’ai vu l’option nulle part...
Saurais-tu comment on fait ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
avatar
Tu peux le changer en revenant à ton premier message

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d’un produit
il y a sept semaines
gebrane. Merci !!!



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
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