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Une intégrale effrayante

Envoyé par gebrane 
Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Bonjour,

Elle ne se trouve dans aucune table, même les tables sacrées d' Etanche, aucun forum n'en parle, aucun moteur de recherche ne retourne une réponse. C'est une intégrale effrayante : on se perd vite dans les calculs
$$
\int_0^1 \frac {\ln(x^3+1)}{x^3+1} dx.

$$ Comme d'habitude avec ce genre d'intégrale j'ai essayé de différencier $$\int _0^1\frac{\ln \left(ax^3+1\right)}{x^3+1}\:dx$$ qui donne $$\int _0^1\frac{x^3}{\left(x^3+1\right)\left(ax^3+1\right)}\:dx$$ après je me perds dans les calculs.

Une voie prometteuse de Chaurien $\frac{\ln (x^{3}+1)}{x^{3}+1}=\frac{1}{3}(\frac{1}{x+1}+\frac{-x+2}{x^{2}-x+1})(\ln (x+1)+\ln (x^{2}-x+1))$. La première des 4 étant facile, je vous fait cadeau de la deuxième $\int _0^1\frac{\ln \left(1-x+x^2\right)}{1+x}\:dx=-\frac{\text{Li}_2\left(-3\right)}{2}-\frac{\pi ^2}{9}$

Ajout La troisième ressemble à cella [artofproblemsolving.com]

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
Maple répond quelque chose, mais même "simplifié", ce n'est pas très beau :


Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Bonjour,

On ne fera pas mieux. On peut facilement trouver une série mais une expression explicite comme plus haut est préférable.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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On a:

\begin{align} \int_0^1 \frac{\ln(1+x^3)}{1+x^3}dx&=\ln 2\int_0^1 \frac{1}{1+x^3}dx+\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{\ln(1-x+x^2)}{x(1-x^3)}dx+\int_0^1 \frac{\big(x\ln 2-\ln(1+x)\big)}{x(1-x^3)}dx+\\&\int_0^1 \frac{\frac{2\pi x}{\sqrt{3}}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{1-2x}{\sqrt{3}}\right)}{2x(1-x^3)}dx\end{align}


La dernière intégrale risque d'être coton à calculer. grinning smiley


PS:
Si vous avez des doutes sur cette égalité, voici sa "vérification" numérique avec PARI GP:
? A1=intnum(x=0,1,log(2)/(1+x^3));
A2=intnum(x=0,1,log(1-x+x^2)/(x*(1-x^3)*2));
A3=intnum(x=0,1,(x*log(2)-log(1+x))/(x*(1-x^3)));
A4=intnum(x=0,1,(2*Pi*x/sqrt(3)-Pi/sqrt(3)+2*sqrt(3)*atan((1-2*x)/sqrt(3)))/(2*x*(1-x^3)));
print("A1+A2+A3+A4=",A1+A2+A3+A4);intnum(x=0,1,log(1+x^3)/(1+x^3))

A1+A2+A3+A4=0.1339739227498131000256196556
%1 = 0.1339739227498131000256196569

PS2:
Une probable intégration par parties devrait améliorer le cas de la dernière intégrale.
(Je n'ai pas fait les calculs)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions $\mathrm{Li}, \mathrm{Si} $ qui seraient, soi-disant, utiles pour expliciter les intégrales.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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On n'est pas obligé de les expliciter mais on aime bien pouvoir exprimer une intégrale à l'aide de valeurs prises par des fonctions qui appartiennent à une liste convenue.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Guego est ce que ça donne aussi une horreur pour $$\int _0^1\frac{\ln \left(x^3+1\right)}{x+1}\:dx$$

FDP je commence à douter qu'on puisse trouver une expression simplifiée

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
C'est mieux :


Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Aha! moi je trouve mieux sauf erreur
$\int _0^1\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{1+x}\:dx=-\frac{\text{Li}_2\left(-3\right)}{2}-\frac{\pi ^2}{9}+\frac{1}{2}\ln ^2\left(2\right)$
Ca colle numériquement? si oui, il y a un espoir pour simplifier l’intégrale effrayante

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Je ne crois pas qu'il y ait d'identité qui permette de simplifier des expression comme $\displaystyle \text{Li_}2(a)+\text{Li_}2(\overline{a})$
Mais néanmoins, on a $\displaystyle \text{Li}_2(z)+\text{Li}_2(-z)=\dfrac{1}{2}\text{Li}_2(z^2)$

Il faudra sûrement faire intervenir des valeurs de la fonction digamma (ou de ses dérivées) si on veut une expression plus "sexy". Tout du moins, c'est l'impression que j'ai.

PS:
On peut donc obtenir, si je vois bien, moins de termes dans l'expression donnée par Guego.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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La dernière formule donnée par Guego, si je ne commets pas d'erreur de lecture et de copie, ne me semble pas correcte:

[www.wolframalpha.com]

[www.wolframalpha.com]

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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FDP en tout cas ca colle bien avec la formule sexy [www.wolframalpha.com]

je vais ouvrir un nouveau fil pour cette intégrale

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Cette formule est compacte mais c'est plus joli des dilogarithmes avec des arguments compris entre -1 et 1 (pour ces valeurs la définition sous forme de série s'applique). smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Un petit coup de lindep et avec un peu de baraka, on peut conjecturer que:

$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+x^3)}{1+x}dx=\frac{2}{3}\text{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\text{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{2}\ln^2 2+\dfrac{1}{6}\ln^2 3$

PS:
On peut simplifier cette expression. Lindep indique que tous les nombres (qui ne sont pas des rationnels a priori) dans le second membre ne sont pas rationnellement indépendants.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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On peut conjecturer que:

$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+x^3)}{1+x}dx=\text{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{2}\ln^2 2+\dfrac{1}{2}\ln^2 3-\frac{1}{9}\pi^2$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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FDP J'ai essayé à l'instant ton moteur de recherche magique (c’était plus fort que moi ) et ça donne des liens

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Il y a aussi une jolie formule pour $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+x^3)}{1+x^2}dx$ [math.stackexchange.com]

La question

Qui sera le premier pour donner une jolie formule pour notre intégrale effrayante

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Il y a une relation étroite entre $\displaystyle A=\int_0^1 \dfrac{\ln(1+x^3)}{1+x}dx$ et $\displaystyle B=\int_0^1 \dfrac{\ln(1-x+x^2)}{1+x}dx$

En effet,

\begin{align}A&\overset{y=\frac{1-x}{1+x}}=\int_0^1 \frac{\ln\left(\frac{2(1+3y^2)}{(1+y)^3}\right)}{1+y}dy\\
&=\ln^2 2-\frac{3}{2}\ln^2 2+\int_0^1 \frac{\ln(1+3y^2)}{1+y}dy\\
&\overset{x=\frac{1-y}{1+y}}=-\frac{1}{2}\ln^2 2+\int_0^1 \frac{\ln\left(\frac{4(1-x+x^2)}{(1+x)^2}\right)}{1+x}dx\\
&=-\frac{1}{2}\ln^2 2+2\ln^2 2-\ln^2 2+\int_0^1 \frac{\ln\left(1-x+x^2\right)}{1+x}dx\\
&=\frac{1}{2}\ln^2 2+B
\end{align}

C'est trop compliqué on peut faire nettement plus simple grinning smiley

$(1-x+x^2)(1+x)=1+x^3$ grinning smiley

Edit: corrigé. Merci Calli.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 3 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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très marrant grinning smiley

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Bonjour,
FDP je crois que t'as écrit à plusieurs endroits 1-x²+x² au lieu de 1-x+x².
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Ouais, mais je pense que ce changement de variable pourrait être intéressant pour notre affaire en cours.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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On peut aussi jouer au jeu des devinettes.

Qu'est-ce qu'il faut ajouter à notre "base" pour qu'on arrive à trouver une combinaison linéaire rationnelle qui s'annule. smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Je vois ce que tu veux dire par ton avant message $\int_0^1 \frac{\ln(1+3y^2)}{1+y}dy $
se calcule par dérivation de $I\left(a\right)=\int _0^1\frac{\ln \left(ax^2+1\right)}{x+1}\:dx$

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Quand on fait le changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ dans l'intégrale du début on obtient:

$\displaystyle \int_0^1 \frac{\left( y+1\right) \log{\left( \frac{2 \left( 3 {{y}^{2}}+1\right) }{{{\left( y+1\right) }^{3}}}\right) }}{3 {{y}^{2}}+1}dy$



PS: la formule est fausse il faut que je la corrige. grinning smiley

Edit: corrigé.

PS2: En décomposant en six intégrales, il y en a trois si je vois bien qu'on peut calculer facilement.
Après, il se peut qu'en réitérant le changement de variable déjà utilisé on parvienne à calculer une ou plusieurs des intégrales restantes.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
L’intégrale que gebrane a posé est vraiment compliqué.
Du coup je me demande si on peut calculer $$\int_{0}^{1} \frac{ \ln(1+x^{n}) }{1+x^{n}} dx $$ avec n entier naturel non nul.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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On entend plus parler de YvesM: effrayé aussi ? Pourtant on a de jolies formules pour n=1 et 2
FDP peux-tu poser cette intégrale (n=3) sur MSE pour voir . Si je pose la question, le fil sera sûrement fermé . Tu as l' avantage d'etre médaillé en or.
Dommage! Calli n'est pas passionné (en temps libres) par les sudoku à base d'intégrales

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par gebrane.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
Citation

La dernière formule donnée par Guego, si je ne commets pas d'erreur de lecture et de copie, ne me semble pas correcte

J'ai trouvé le problème : ce que maple appelle dilog n'est pas $Li_2$ ! On a $dilog_{maple}(x) = Li_2(1-x)$. Maple utilise la définition alternative qu'on trouve ici : [en.wikipedia.org] ("Alternatively, the dilogarithm function is sometimes defined as ...")
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
Bonjour
je signale un développement rationnel de signe alterné pour l'intégrale proposée par etanche :
$$
\int_0^1\frac{\ln(1+x^n)}{1+ x^n} = \frac{H_1}{n+1} - \frac{H_2}{2n+1} + \frac{H_3}{3n+1} - \frac{H_4}{4n+1} +\ldots ,

$$ avec $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +\cdots+ \frac{1}{n},$ nombre harmonique ou somme harmonique.

Pour $n = 3$ on retombe sur l'intégrale initiale.
Notre ami gebrane est peut-être moins effrayé désormais ...
Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
Citation
FdP
On peut conjecturer que :
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+x^3)}{1+x}dx=\text{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{2}\ln^2 2+\dfrac{1}{2}\ln^2 3-\frac{1}{9}\pi^2$

Oui, ça colle sur au moins 100 décimales.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
@jean lismonde c’est joli le résultat que tu as trouvé
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
J'ai pris mon courage à deux mains et j'ai repris l'expression que renvoyait maple (cf [www.les-mathematiques.net] ) et j'ai essayé de simplifier au maximum. J'arrive finalement à :
\[ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+x^3)}{1+x^3}dx = \dfrac{\pi^2}{18} + \dfrac{\ln^2(2)}{6} + \dfrac{\ln^2(3)}{4} + \dfrac{1}{2}Li_2\left(\dfrac{1}{3}\right) + \sqrt{3}\left(\dfrac{-\pi\ln(2)}{5} + \dfrac{4\pi \ln(3)}{15} - \dfrac{3S}{5}\right) \]
où $S =\Im\left( Li_2\left(\dfrac{3}{4} + i\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\right) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \sin\left(n\frac{\pi}{6}\right)$.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Bravo Guego.

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Merci Guego.

On peut obtenir une expression un peu plus simple:

$\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+x^3)}{1+x^3}dx=\frac{1}{6}\ln^2 2+\frac{1}{4}\ln^2 3-\frac{1}{18}\pi^2+\frac{1}{2}\text{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{6}\pi\sqrt{3}\ln 3-\frac{1}{2}\sqrt{3}\Im \left(\text{Li}_2\left(\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\right)\right)$

PS:
Vous vous demandez peut-être comment je suis parvenu à cette relation?
Je n'ai fait aucun calcul. J'ai repris les éléments de la "base" suggérée par Guego et j'ai essayé de voir si tous ces nombres étaient bien indépendants rationnellement (c'est-à-dire qu'aucun ne peut s'exprimer comme une combinaison linéaire à coefficients rationnels des autres).
De plus, quand figure dans la "base" une expression comme $\displaystyle\Im\left(\text{Li}_2(a)\right)$, avec $a$ un nombre complexe non réel, on peut essayer de la remplacer par $\displaystyle\Im\left(\text{Li}_2\left(\frac{a}{\left|a\right|}\right)\right)$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
le mois dernier
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Bonjour,

Je suis admiratif.

Ces logiciels sont impressionnants. Bravo à ceux qui les programment et ceux qui savent s’en servir.

thumbs down
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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Dans le calcul de $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+x^3)}{1+x^3}dx$ on se retrouve très certainement à devoir évaluer l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+3x^2)}{1+3x^2}dx$ c'est elle, je pense, qui donne le "méchant" terme avec la partie imaginaire dans l'expression trouvée par Guego.
Cette intégrale se ramène au calcul de $L=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \ln(\cos x)dx$.
Et on peut conjecturer que: $\displaystyle L=\frac{1}{2}\Im \left(\text{Li}_2\left(\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\right)\right)-\frac{1}{3}\pi\ln 2$

PS:
Apparemment, si on n'aime pas les parties imaginaires de dilogarithmes de nombres complexes on peut les remplacer par une combinaison linéaire à coefficients rationnels de valeurs réelles de la dérivée de la fonction digamma.

PS2:
Pour calculer $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+3x^2)}{1+3x^2}dx$ on commence par faire le changement de variable $y=\sqrt{3}x$ puis le changement de variable $y=\tan z$. La fonction $x\rightarrow \ln(\cos x)$ admet un développement en série.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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FDP, justement je cherchais une fonction f qui fait apparaître ce terme méchant pour proposer cette question dans ME sous la forme d'un calcul de $\displaystyle \int_0^1 (\dfrac{\ln(1+x^3)}{1+x^3}-f(x))dx$

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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Gebrane:
Bonne idée.
il faudrait lui trouver un habillage plus "sexy" à ton intégrale. smoking smiley

PS:
Attention cependant, $\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{3} \ln(\cos(x))dx$ doit être précédée d'un coefficient $\sqrt{3}$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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Mais attends je pense que tu fais fausse route, l’intégrale susmentionnée n'est pas le méchant ni la brute dans cette affaire puisque
$\displaystyle \int_0^1\frac{\ln(1+a^2x)}{1+a^2x^2}dx=\frac1{2a}\arctan a\ln(1+a^2).$

Édit ah non je n'ai pas vu le carré.

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Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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FDP aide moi pour que ça devient sexy

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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Quand on relit ce fil, le boulot a déjà été fait en partie par Bibi:

$\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+x^3)}{1+x^3}dx= \int_0^1 \frac{\left( y+1\right) \log{\left( \frac{2 \left( 3 {{y}^{2}}+1\right) }{{{\left( y+1\right) }^{3}}}\right) }}{3 {{y}^{2}}+1}dy$

Il n'y a plus qu'à soustraire la "méchante" intégrale:

et on va obtenir:

$\displaystyle \int_0^1 \frac{(1+x)\ln\left(\frac{2}{(1+x)^2}\right)+x\ln(1+3x^2)}{1+3x^2}$

Ce n'est pas encore ça. On pourrait virer le $2$, dans le calcul cela donne une intégrale simple à calculer.

PS:

Mieux on peut virer le $x\ln(1+3x^2)$ celui-ci donne une intégrale facile à calculer.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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Donc on obtient:

$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{(1+x)\ln(1+x)}{1+3x^2}dx$

PS:
Je vais vérifier qu'elle s'exprime toujours sur la "base" donnée par Guego.

PS2:
Je n'arrive plus à l'exprimer dans cette "base". Il y a eu une simplification de trop.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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Elle est belle et moins effrayante

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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Mais je ne sais plus lui donner une forme close, j'ai été trop vite et il y a une simplification de trop.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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alors SOS Guego.

PS
Guego intervient peu au forum mais ces contributions sont de qualité et très attendues. Par contre
gebrane intervient beaucoup mais plus que la moitié de ces interventions sont vides grinning smiley

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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J'y réfléchirai demain à tête reposée.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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bonne nuit, je m'alite aussi

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
J'ai fait comme FdP. J'ai cherché l'intégrale comme combinaison linéaire d'éléments de notre "base". Je trouve (enfin, quand je dis "je", c'est maple drinking smiley ) :
\[ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{(1+x)\ln(1+x)}{1+3x^2}dx = \dfrac{\pi^2}{54} + \dfrac{\ln^2(2)}{6} - \dfrac{\ln^2(3)}{12} - \dfrac{1}{6} Li_2\left(\dfrac{1}{3}\right) + \dfrac{2\sqrt{3}\ln(2)\pi}{15} - \dfrac{\sqrt{3}\ln(3)\pi}{15} + \dfrac{\sqrt{3}S}{15} \]
Toujours avec $S = \Im\bigg( Li_2\Big(\dfrac{3}{4} + i\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Big)\bigg) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)^n \sin\Big(n\frac{\pi}{6}\Big)$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
Et tant qu'à faire :
\[ \int_0^1 \dfrac{\ln(1+3x^2)}{1+3x^2}dx = \sqrt{3}\left(\dfrac{4\ln(2)\pi}{45} + \dfrac{\ln(3)\pi}{15} - \dfrac{2S}{5}\right) \]
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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Merci Guego, donc c'est raté car on voulait éliminer le terme méchant $\quad S = \Im\bigg( Li_2\Big(\dfrac{3}{4} + i\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Big)\bigg)$

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale effrayante
il y a sept semaines
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\begin{align}\int_0^1 \frac{\ln(1+3x^2)}{1+3x^2}dx\ &\overset{y=\sqrt{3}x}=\frac{\sqrt{3}}{3}\int_0^{\sqrt{3}} \frac{\ln(1+y^2)}{1+y^2}dy\\
&\overset{y=\tan t}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\ln\left(\cos x\right)dx\\

\end{align} Et si on pense que la valeur que j'ai donnée plus haut est correcte alors on a :
$
\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+3x^2)}{1+3x^2}dx=\frac{2}{9}\pi\sqrt{3}\ln 2-\frac{1}{3}\sqrt{3}\Im \left(\text{Li}_2\big(\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\big)\right)$

PS. Valeur numérique :
[www.wolframalpha.com]
[www.wolframalpha.com]

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



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