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Domaine de définition intégrale

Envoyé par cagou05 
Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Bonjour,
je voudrais déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ suivante définie par une intégrale :
$$
g : x \longmapsto \int_{1}^{x} \frac{1}{1+\ln(t)} ~\textrm{d}t .

$$ Je pense que c'est $ \big] \frac{1}{e}; + \infty\big[$, mais je n'en suis pas sûr.
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
avatar
Oui.

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Pourquoi ne serait-ce pas $\big]0; \frac{1}{e} \big[ \cup \big] \frac{1}{e}; + \infty\big[ $ ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
avatar
Totem si tu prends un x entre 0 et 1/e et si tu vas de 1 vers ce x, j'ai bien peur que tu dois saluer le 1/e en cour de route

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Bonjour

On peut dire que le champ de définition de ta fonction est ]0 ; + oo[

ta fonction intégrande $\frac{1}{1+lnt}$ admet une discontinuité pour x = 1/e, valeur comprise entre 0 et 1

mais cette discontinuité entraîne une double divergence compensée dans l'intégration
un peu comme pour la fonction logarithme intégral

en effet $\int_0^x\frac{1}{lnt}dt$ est bien déterminée sur R+ privé de 1
(la double divergence est compensée autour du pôle t = 1)

et on sait que l'intégrale numérique (avec $\gamma$ constante d'Euler)

$$\int_0^e\frac{1}{lnt}dt = \gamma - \frac{1}{1.1!} + \frac{1}{2.2!} - \frac{1}{3.3!} +....... = - 0,2193839.....$$

Cordialement
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
@ cagou05 : la première chose à faire c'est déterminer le domaine de définition de la fonction intégrande. Ensuite la primitive de cette fonction integrande est définie sur un intervalle [1, x] ou [x,1] suivant que x soit plus grand ou plus petit de 1. Cet intervalle doit être inclus dans le domaine de définition de la fonction intégrande.
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
jean lismonde, non l'intégrale est divergente et même si on parle de valeur principale autour de 1, cette valeur vaut

$li(e) = \gamma + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{kk!}\sim 1.895$
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Message du service public : jean lismonde utilise une notion de convergence qui lui est propre, et n'est pas partagée par la communauté mathématique, son message est donc à prendre au second degré...
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Convergence explosive!!!!

"C'est en forgeant que l'on devient forgeron"
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Est-il nécessaire que l'intervalle [1;x] ou [x;1] soit inclus dans le domaine de définition de la fonction intégrande ? En effet il suffit que la fonction intégrande soit continue par morceaux, et pourrait ne pas être définie en un réel a mais avoir une limite finie à gauche et à droite de a.
Et donc si dans mon cas elle l'était (ce qui ne l'est pas car la limite en 1/e est infinie) alors g serait définie sur R+*.
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
avatar
Bonsoir, est ce que un admin peut faire le nettoyage dans ce fil pour l'intérêt de cagou.
Cagou puis-je savoir ton niveau?

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Tout dépend de la notion d'intégrale que tu utilises, Cagou05 ... Pour une intégrale de Riemann, il faut que la fonction soit définie partout sur l'intervalle (y compris ses bornes). Si la fonction n'est pas définie en un point intérieur à l'intervalle, on lui donne une valeur (on prolonge), et la fonction est définie partout. Reste à voir si l'intégrale a un sens. Dans ton cas, c'est non. Mais même quand ça marche, on a déjà changé de fonction, ou, ce qui revient au même, changé de notion d'intégrale (intégrale de Riemann généralisée).

Cordialement



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par gerard0.
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Alors à la base j'ai un niveau DEUG A (1985),puis ingénieur en microélectronique, mais pas vraiment de maths en plus.
Après avoir travaillé dans le privé entré dans l'enseignement en 1995.
Bossé seul sur les bouquins pour le capes interne et l'agrégation interne obtenu en 2012.
Donc eu le temps de perdre plein de notions.

Il s'agit de l'intégrale de Riemann généralisée et non de Lebesgue.

Dans le Jean-Marie Monier Analyse MP 5ème édition, p 136,
il est écrit que si $f$ est continue par morceaux sur $I$, alors $F$ est continue sur $I$ (avec les notations classiques utilisées dans l'énoncé de mon pb).
Cordialement.

[Henri Lebesgue (1875-1941) mérite le respect de son patronyme. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
avatar
Ok et merci, donc c'est au sens des intégrales généralisées. Ce que tu as écrit à ton premier message est juste. Maintenant, il te reste à le justifier.

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Merci .
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
L'intégrande est-il intégrable en $1/e^+ $ ?
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Est-ce que $u \mapsto \frac{1}{1+u}$ est intégrable en $-1^+$ ?
Re: Domaine de définition intégrale
il y a six semaines
Ben non grinning smiley
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