Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
173 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Homéomorphisme du segment unité

Envoyé par superpower 
Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
Bonjour
Je voudrais savoir si le segment $[0,1]$ avec la mesure de Lebesgue est homéomorphe à $[0,1]\times [0,1]$ avec la mesure de Lebesgue aussi
Merci d’avance
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
C'est quoi ta définition d'homéomorphe ? Parce que celle que je connais ne dépend d'aucune mesure.

Donner la topologie (si ce n'est pas celle usuelle) serait plus utile.
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
Avec la topologie usuelle

C’est avec cette topologie qu’on obtient la mesure de Lebesgue il me semble.

Il est possible de retomber sur la même mesure par une autre topologie?
MrJ
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
Que se passe-t-il topologiquement si tu retires un point dans $[0, 1]$? Un point dans $[0,1]^2$?
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
avatar
Un classique, Le disque unité est homéomorphe au carré $[0,1]\times [0,1]$
Le disque unité est homomorphe au segment $[0,1] $ , donc

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
@gebrane : le disque unité n'est pas homéomorphe à $[0, 1]$, comme le montre l'argument donné par MrJ.
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
avatar
Merci Poirot, je n'ai pas vu le message de MRJ, je vieillis ( ma mémoire) en étant jeune comme a dit gerard

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
MrJ
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
Par contre, aussi surprenant que cela puisse paraître, il existe une application continue surjective de $[0,1]$ dans $[0,1]^2$.

J’ai oublié le nom de la construction (Serpent de ... je crois voir le post suivant), mais je pense qu’un autre intervenant devrait s’en souvenir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par MrJ.
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
courbe de Peano pour moi. Ca a peut être d'autres noms
MrJ
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
@Namiswan : Merci! C’est bien ça!
Dom
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
De mémoire on effectue un croisement des décimales des nombres...

Ici on en parle : [www.les-mathematiques.net]
MrJ
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
@Dom : je ne suis pas sûr que l’application décrite dans le lien soit continue (mais c’est peut-être le cas, je n’ai pas étudié de près).
Dom
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
Pardon, en effet j’ai posté trop vite.
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
Et savez vous si $L^2([0,1])$ est isomorphe à $L^2([0,1])^2$ ?
Merci d’avance
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
Pardon c’est trivial
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
Par rapport à ce que dit Dom:

si on se restreint au Cantor triadique $K=\{\sum_k a_k/3^k\mid a_k\in \{0,2\}\}$, la technique du croisement des décimales donne bien un homéomorphisme $K\rightarrow K\times K$. Il y a de plus une surjection continue naturelle $K\rightarrow [0,1]$, à savoir $ \sum_k a_k/3^k\mapsto \sum_k a_k/2^k$. En combinant on peut donc construire une surjection continue $f: K\rightarrow [0,1]^2$, et on peut prolonger ensuite $f$ en une surjection continue $[0,1]\rightarrow [0,1]^2$ en faisant des raccords affines.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Homéomorphisme du segment unité
il y a sept semaines
Est cela même topologie Namiswan?
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 388, Messages: 1 509 582, Utilisateurs: 27 709.
Notre dernier utilisateur inscrit Niklaus.


Ce forum
Discussions: 33 692, Messages: 316 028.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page