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Courte preuve du calcul d'une intégrale ?

Envoyé par P. 
P.
Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
Il s'agit de $$\int_0^{\infty}\left(\frac{1-e^{-x}}{x}\right)^2dx=\log 4.$$ Les livres le disent, mais pourquoi ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: courte preuve d'integrale?
il y a sept semaines
Hello !

Après cdv : $u = e^{-x}$ et IPP cela revient à calculer
$$2 \int_0^1 \frac{1-u}{\ln(u)}du.


$$ Ensuite si je pose $\quad\displaystyle f(p) = \int_0^1 \frac{1 - u^p}{\ln(u)}dy,\qquad
f'(p) = -\frac{1}{p+1}.$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: courte preuve d'integrale?
il y a sept semaines
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Bonsoir
$\displaystyle
\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1-e^{-x}}{x}\right)^2\,dx =\int_{0}^{+\infty}\frac{1-2e^{-x}+e^{-2x}}{x^2}\,dx \stackrel{\text{IPP}}{=}2\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\,dx \stackrel{\text{Intégrale de Frullani}}{=} \ln(4).
$
Plus courte que ça, je ne sais pas.
edit2 un 2 perdu dans edit 1

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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bonsoir, il y a une erreur de signe dans l'expression de ilortLEG; en fait: $I =2 \int_0^1 \frac{u-1}{\ln u} du$ dans la mesure où le logarithme est négatif entre 0 et 1.Sinon, la méthode de dérivation sous le signe somme est intéressante; je connaissais la valeur de cette dernière intégrale mais je ne me souviens absolument plus de la méthode qui conduisait au résultat.

A demon wind propelled me east of the sun



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gilles benson.
Re: courte preuve d'integrale?
il y a sept semaines
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gebrane: effectivement il y a de l'intégrale de Frullani dans ce truc mais tu as perdu le coefficient 2 en précisant tes transformations...

A demon wind propelled me east of the sun
Re: courte preuve d'integrale?
il y a sept semaines
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Et finalement, on prouve de manière générale que $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} \mathrm dx = \ln \left( \frac{b}{a}\right) $ si $a$ et $b$ sont strictement positifs; et de même:

$ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-u}{\ln u} \mathrm du = \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-x} - e^{-2x}}{x} \mathrm dx = \ln 2$ en effectuant le changement de variable $u = e^{-x}$.

A demon wind propelled me east of the sun
Re: courte preuve d'integrale?
il y a sept semaines
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Sauf erreur
$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1-e^{-x}}{x}\right)^n\,dx= \int_{[0,1]^n}\frac{1}{x_1+\cdots+x_n}dx_1\cdots dx_n$
Et sûrement, il y a une raison probabiliste de l'origine de la question de P.

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
P.
Re: courte preuve d'integrale?
il y a sept semaines
Chers amis je m'appretais a effacer furtivement ma naive question apres avoir trouve la meme solution que gebrane (IPP+Frullani) en me brossant les dents. Oui bien sur les motivations sont probabilistes mais elles ne tiendraient pas dans la marge. Quant au calcul du cas $n$ il faudra y reflechir. Pour ceux que cela intrigue, la jolie interpretation de gebrane par l'esperance de l'inverse de la somme $S_n$ de $n$ va uniformes et independantes sur $ [0,1] $ est basee sur
$$\frac{1}{S_n}=\int_0^{\infty}e^{-xS_n}dx.$$
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
bonjour

pour répondre à la question initiale celle de P.

une conséquence de la relation intégrale de Frullani est cette identité avec a > 0 et b > 0 :

$\int_0^{+oo}[\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}]^2dx=2b.ln\frac{2b}{a+b} +2a.ln\frac{2a}{a+b}$

en admettant la limite nulle bien connue de a.lna lorsque a tend vers 0+

il vient pour b = 1 et a tendant vers 0 : $\int_0^{+oo}[\frac{1-e^{-x}}{x}]^2dx = 2ln2$

cordialement
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Pour le cas n, Il me semble pouvoir faire comme ça , on a $\frac{1-e^{-t}}{t} = \int_0^1 e^{-tx}dx$
donc $\int_0^{\infty} (\frac{1-e^{-t}}{t})^n dt=\int_0^{\infty}( \int_0^1 e^{-tx}dx)^ndt \\=
\int_0^{\infty}( \int_{[0,1]^n} e^{-tx_1}.....e^{-tx_n}dx_1...dx_n)dt\\
=\int_{[0,1]^n} (\int_0^\infty e^{-(x_1+...+x_n)t}dt) dx_1... dx_n\\
= \int_{[0,1]^n}\frac{1}{x_1+...+x_n}dx_1... dx_n$

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P.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
Merci jean lismonde. Bien agreable d'avoir des formules explicites. Elles permettent deja de repondre a la derniere question de gebrane pour $n=3.$ Elles permettent de calculer tout de suite $\mathbb{E}(\frac{1}{U+V})$ si $U$ et $V$ sont independantes et uniformes sur $[a,b].$
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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J’espère que FDP n'est pas loin pour donner une forme close le cas n

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Gebrane:

Je n'ai pas fait de calculs mais peut-être que la méthode de calcul de LlorteLEG peut être adaptée au cas $n$ quelconque mais il faudra dériver plusieurs fois l'intégrale à paramètre $\displaystyle \int_0^1 \frac{(1-x^s)^n}{\ln^n x}dx$

PS:
Numériquement, en fonction de $n$, on aurait la formule $\displaystyle \sum_{k=2}^n \alpha_k \ln k$ avec $\alpha_k$ un rationnel.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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FDP on aura plutot $\displaystyle \sum_{k=2}^n \alpha_{k,n} \ln k$. Il semble que c'est simple avec la formule de Binôme
$(1-e^{-x})^n= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k e^{-kx}$, on trouve bien les $\alpha_{k,n}$

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
P.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
$$I_3(a,b)=\int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\right)^3dx\


=\frac{3}{2}\left((2a+b)^2\log (2a+b)-(a+2b)^2\log (a+2b)+3b^2\log (3b)-3a^2\log (3a)\right).$$
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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P pourquoi traiter le cas n=3 puisque on sait faire le cas n en toute généralité , on trouve une somme de la forme $\displaystyle \sum_{k=2}^n \alpha_{k,n} \ln k$

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
P.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
Oui, mais le cas $(a,b)\neq (0,1)$ est interessant.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Gebrane:

Les intégrales $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\text{e}^{-kx}}{x^n}dx$ divergent (problème de convergence pour la borne $0$).

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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J'ai déjà écrit je ne sais combien de fois sur ce forum que les intégrales $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{f(ax) - f(bx)}{x} \mathrm dx $ sont les intégrales de Cauchy-Frullani.
Je renvoie à nouveau à un article d'Ostrowski qui l'atteste sans aucune ambiguïté (voir la note 1 de cet article).
[www.ncbi.nlm.nih.gov]
Je me demande à quoi est due l'omission systématique de Cauchy dans le nom de ces intégrales. C'est probablement le plus grand mathématicien français du XIXème siècle, sans parler de ses autres qualités.
Bonne journée.
Fr. Ch.


Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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FDP remarque que $\int_{0}^{+\infty}\frac{1-2e^{-x}+e^{-2x}}{x^2}\,dx $ est belle et bien convergente malgré que les intégrales
$\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx $ , $\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-x}}{x^2}\,dx $, $\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-2x}}{x^2}\,dx $ sont divergentes

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Gebrane:

Oui, sans aucun doute. Mais je ne vois toujours pas comment tu utilisesà quoi sert-il d'utiliser la formule du binôme ici.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Citation
FDP ecrivait
Mais je ne vois toujours pas à quoi sert-il d'utiliser la formule du binôme ici.
c'est pour utiliser des ipp successives après grinning smiley. Pour comprendre regardons le cas n=2 et posons la question pourquoi on a
$$
\int_{0}^{+\infty}\frac{1-2e^{-x}+e^{-2x}}{x^2}\,dx \stackrel{\text{IPP}}{=}2\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\,dx,

$$ c'est parce que $$\int_{0}^{+\infty}\frac{1-2e^{-x}+e^{-2x}}{x^2}\,dx=\big[\frac{1-2e^{-x}+e^{-2x}}{-x} \big]_0^{\infty}+2\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\,dx
$$ et surtout c'est parce que $$\lim_{x\to 0} \frac{1-2e^{-x}+e^{-2x}}{x}=0
$$ et surtout surtout parce que $1-2+1=0$ grinning smiley (pour le voir un DL en 0 des expo)

Maintenant (on fixe n>1), tu vois bien pour la première ipp, si on a $ \sum_{k=0}^{n}a_k =0$, alors $$\int_{0}^{+\infty}\frac{ \sum_{k=0}^{n}a_k e^{-kx} }{x^n}\,dx=-\frac 1{n-1}\int_{0}^{+\infty}\frac{ \sum_{k=0}^{n}ka_k e^{-kx} }{x^{n-1}}\,dx.

$$ Pour faire une 2ème ipp, on a besoin de $ \sum_{k=0}^{n}ka_k=0$.
Dans notre cas, pour n fixé, on a $\quad a_k= \binom{n}{k}(-1)^k \ $
ces ipp successives sont justifiées grâce à $$\sum_{k=1}^{n}a_k k^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k k^{n-1}=0$$ (une preuve de cette identité ici )

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
Avec la méthode proposée par Gebrane (IPP successives et formule du binôme) j'ai trouvé pour $n\geq p\geq2$ :
$$I(n,p)=\int_0^{\infty}\frac{(1-e^{-x})^n}{x^p}dx=\dfrac1{(p-1)!}\sum_{k=2}^n(-1)^{p+k}{n\choose k}k^{p-1}\ln k$$
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Bonsoir FDP. Ton silence dit que tu n'es pas d'accord grinning smiley

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Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Jandri je viens de voir ton message

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Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Il y a des nombres de Stirling dans ce truc.

A demon wind propelled me east of the sun
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Bonsoir Gilles benson. Puisque tu es auteur de livres, comment tu vas proposer comme exercice sur cette question (les questions intermediaires) et surtout sur ces nombres de Stirling ( je ne vois pas ce que tu vois exactement)

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Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Je ne trouve pas le courage pour voir si l'on peut calculer $$I_n(a,b)=\int_0^{\infty}\Big(\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\Big)^ndx.\
$$ Peut-être notre ami J-L

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Gebrane:
Je suis occupé avec un autre calcul d'intégrale. J'y ai passé déjà plusieurs heures (plus de 10 heures) et je suis en train de finir mais cela prend du temps de taper en $\LaTeX$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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FDP, La quelle, je me sens seul ce soir

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Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
Ce n'est pas plus difficile avec la généralisation de Gebrane. Pour $a>0$, $b>0$ et $n\geq p\geq2$ :
$$I_{n,p}(a,b)=\int_0^{+\infty}\frac{(e^{-ax}-e^{-bx})^n}{x^p}dx=\dfrac1{(p-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^{p+k}{n\choose k}(a(n-k)+bk)^{p-1}\ln (a(n-k)+bk)$$
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Jandri, le courage m'a manqué.

J’espère que ça aidera P dans sa quête; ça me donne une occupation ce soir pour vérifier ta formule. Merci Jandri

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Gebrane: Celle-ci:

$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2\ln(1 - x^4)}{1 + x^3}dx$

Quelqu'un a déjà donné une solution mais je n'aime pas cette solution (trop compliquée à mon goût)
Le "voyage" valait le coup.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
P.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
jandri: fascinant. Seul les $(-1)^{p-1}$ empechent de prolonger a $p$ reel.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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FDP ta solution est très belle, je viens de la voir ce matin

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Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Pour les $p$ réels, commençons par le commencement et voir ce que donne par exemple
$$\int_0^{+\infty}\frac{(e^{-ax}-e^{-bx})^n}{\sqrt x}dx,
$$ avec $n=1,\ n=2,\ n$ quelconque.

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Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
JLT
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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En développant je trouve
$$\sqrt{\pi}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\dfrac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{ka+(n-k)b}}.$$
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Waw très belle formule,
JLT bonjour, ton idée s'appuie aussi sur des ipp ?

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JLT
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Non pas d'IPP. En développant on obtient des termes du type $\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{e^{-\lambda x}}{\sqrt{x}}\,dx$ que l'on calcule avec le changement de variables $\lambda x=y^2$.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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merci. Vraiment encore une fois c'est beau

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P.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
Merci à Chaurien pour l'article d'Ostrowski. Cauchy publie en 1825 un parfait résultat, Frullani le publie en 1827 avec une démonstration délirante et dit qu'il a expliqué son résultat dans une lettre à Plana en 1821. Et Cauchy a tellement d'objets mathématiques qui portent son nom que la postérité en prête un à ce pauvre Frullani : théorème d'Arnold.* On trouve même parfois en français ou en anglais le verbe frullaniser. Bon, je mettrai Cauchy-Frullani dans le futur, en faisant observer que personne ne me comprendra si je ne mets pas Frullani dans le bateau.

* "Aucune attribution ne va a son auteur véritable".



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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@ P.
On peut tout de même, à mon avis, conserver l'appellation « intégrale de Cauchy-Frullani » pour distinguer cette notion des nombreuses autres auxquelles on a légitimement atttaché le nom du génial Cauchy, et pour donner quand même une visibilité à Giuliano Frullani (1795-1834).
La plaisanterie que tu désignes sous le nom de « Théorème d'Arnold » est connue aussi comme « Loi de Stigler », « loi » qui s'applique à elle-même.
[fr.wikipedia.org]
Bonne journée.
Fr. Ch.


P.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
JLT, ca marche avec $0\leq p<1$ mais il faut des IPP apres (le cas plus difficile des $p$ entiers est traite par jandri).
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
Pour $p<1$ (réel) et $n\in\N^*$, pas besoin d'IPP, la formule du binôme suffit :
$$\int_0^{+\infty}\frac{(e^{-ax}-e^{-bx})^n}{x^p}dx=\Gamma(1-p)\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^{n-k}(ka+(n-k)b)^{p-1}$$.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Le cas p>1, à craindre? (Je n' ai pas regardé).

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
C'est pour $p>1$ non entier et $n>p-1$ ($n$ entier) qu'on a besoin d'une IPP pour obtenir cette jolie formule (avec la formule des compléments) :
$$\int_0^{+\infty}\frac{(e^{-ax}-e^{-bx})^n}{x^p}dx=\dfrac{\pi}{\Gamma(p)\sin(\pi p)}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^{n-k}(ka+(n-k)b)^{p-1}$$
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Waw Jandri, je suis émerveillé

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Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
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Peut-on espérer dans ce forum une généralisation de l'intégrale de C.F sous forme $\quad\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{ \big(f (ax)-f (bx)\big)^n}{x^p} dx .$
Que faut-il sur $f$ ?

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
P.
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
jandri, j'ai un peu de mal avec la compatibilite des deux formules $p$ entier ou pas, car la fonction est continue en $p.$
Re: Courte preuve du calcul d'une intégrale ?
il y a sept semaines
Oui, la fonction est bien continue en $p_0$ entier et on obtient la formule pour $p_0$ en faisant tendre $p$ vers $p_0$ dans la formule pour $p$ non entier.
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