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Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam

Envoyé par gebrane 
Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Bonjour,
Suite à une mise à l'ordre initiée par rakam dans le fil de OS,

je me demande s'il y a vraiment un danger lorsqu'on utilise les notations de Landau d'une manière abusive. De ma part, étant donné deux suites $u$ et $v$, j'ai appris en première année que dans l’écriture abusive $u=o(v)$ l’égalité ne signifie pas une égalité mais une appartenance, donc $u=o(v)$ est une abréviation de $u\in o(v)$ et signifie que $u$ appartient à l'ensemble des suites négligeables devant $v$.
Aussi dans l’écriture abusive $o(u)=o(v)$ l’égalité ne signifie pas une égalité mais une inclusion, donc $o(u)=o(v)$ est une abréviation de $o(u)\subset o(v)$ et signifie que l'ensemble des suites négligeables devant $u$ est inclus dans l'ensemble des suites négligeable devant $v$.
Par exemple si l'on accepte l'abus $o(1/n²)=o(1/n)$ il ne faut croire que cette égalité abusive donne aussi que $o(1/n)=o(1/n²)$

Une critique, un complément, des dangers que je ne vois pas ?

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
C'est un marronnier grinning smiley

Il y a des avantages et des désavantages aux deux notations. Effectivement ce n'est pas une égalité au sens ensembliste du terme. Mais comme toujours en maths, il y a des abus de langage qui sont un mal nécessaire. Oui si on ne sait pas ce qu'on fait ça peut être dangereux, non on ne peut pas se passer de ces abus sinon même un cours de L1 prendrait 4000 pages et un cours de M2 100000.

NB : et sans rien n'y connaître, c'est bien pour ça que je doute qu'un logiciel de vérification formelle puisse être utilisé à grande échelle sans supervision à moyen terme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Chalk.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
J'attends avec impatience une intervention musclé de rakam ou Dom ( Dom a de l'imagination, je ne sais pas ce qu'il va me sortir)

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
C'est pas un marronnier. La notation "=" a un sens très précis et l'utiliser à contresens est simplement stupide. C'est comme si on voulait utiliser la notation additive + pour dénoter une operation non-commutative. Bien sûr on peut le faire mais c'est idiot. Il y a des abus de notation qui ont un sens mais utiliser le "=" pour dénoter l'inclusion ensembliste c'est du masochisme.

On veut exprimer que o(f) est inclus dans o(g) ? Alors oublions le symbole "=" et cherchons autre chose, on pourrait utiliser une notation plus algébrique du type [f] < [g] pour exprimer que toute fonction h qui est o(f) est aussi o(g). Le symbole "<" a le mérite de bien distinguer [f] < [g] de [g] < [f]. Sinon utilisons le symbole de l'inclusion ensembliste. Si on ne veut pas utiliser le crochet, écrivons simplement o(f) < o(g).
Les choix pour eviter toute ambiguïté sont infinis, mais utiliser le "=" pour exprimer une inclusion ensembliste c'est de la torture mentale.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Tu ne connais pas la définition de marronnier visiblement smoking smiley
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Serge, on dirait tu n'as jamais vu un prof qui écrit $O\Big(\dfrac{(\log n)^2}{n}\Big)=o(1)$.

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
@ gebrane : les profs sont libres d'utiliser la notation qui leur convient, moi personellement je trouve qu'utiliser le symbole d'égalité pour dénoter une inclusion ensembliste c'est stupide comme choix.

Si f=o(x2) et g=o(x2) déduit-t-on que f=g ?
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
SERGE_S écrivait:
-------------------------------------------------------
> La notation "=" a un sens très précis [...]

Quel est le sens de la notation = ? winking smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Je n’invente rien !

Tu désires donner un sens à $a=b$ tel que l’on ne puisse pas écrire $b=a$.

Pour ma part, j’ai déjà écrit $f=o(g)$ et ça ne me dérangerait pas que l’on écrive $o(g)=f$.

Je ne sais pas pourquoi, j’adore quand le $=$ est une relation d’équivalence, et en tous les cas une relation symétrique.

(1) La vision ensembliste $f=o(g)$ signifiant $f \in Negligeable(g)$ me convient.
(2) Mais dans ce cas que signifie $o(h)=o(g)$ ?
Est-ce $o(h) \in Negligeable(g)$ ? Ha non, là c’est une inclusion...
Donc le $=$ de la ligne (1) n’est pas le $=$ de la ligne (2).

Je n’invente rien mais cherche de la cohérence.

Bien entendu, le « = » a plusieurs significations mais là on souhaite en proposer une qui n’est pas symétrique.
C’est assez déraisonnable.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
@ Kazeriahm : Dans la théorie des ensembles de ZF deux ensembles sont égaux si et seulement si l'un est inclus dans l'autre et vice-versa. Les o(f) sont des ensembles, dire que o(f) = o(g) <=> o(f) $\subset$ o(g) et o(g) $\subset$ o(f). Pour l'inclusion on a le symbole $\subset$. Alors pourquoi se compliquer la vie ?

Franchement il n'y aurait pas de problème si au lieu de caser les $o(x^n)$ et $O(x^n)$ dans les développements limités on utilisait directement les differents représentants de ces classes.

Exemple :
Si au lieu d'écrire le dl de $\exp(x)$ à l'ordre 2 comme $\exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ on le réécrivait comme $\exp(x) = 1 + x + x^2/2 + x^2 \psi(x)$, où $\psi(x)$ est une fonction qui tend vers 0 pour $x\to0$. C'est la façon la plus directe pour lever toute ambiguïté dans les manipulations algébriques faisant intervenir les $o$ et $O$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
MrJ
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Sauf que lorsque tu calcules des développements limités de composées ou de produits, la notion $o$ est bien pratique.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par MrJ.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Serge,

Je suis d’accord avec ta traduction « double inclusion ».
Le problème est que dans la discussion initiée par gebrane, l’égalité ne signifie pas cette double inclusion.

L’auteur écrit dans le sens « ce qui est à gauche est un ptit $o$ de ce qui est à droite ».
Mais pas nécessairement dans l’autre sens.

Voir la dernière phrase de gebrane dans le premier message :
« Par exemple si l'on accepte l'abus ... ».



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
@ Dom : je sais bien, c'est pourquoi j'ai proposé d'utiliser une notation "algébrique" avec le symbole "<". Le "=" donne trop de confusion, dans l'expression f = o(g) il est utilisé comme symbole d'appartenance ensembliste. Dans l'expression o(f) = o(g) il est utilisé comme inclusion ensembliste. C'est le chaos le plus total.

En fait au lieu d'un abus de notation il y en a deux. Dans la théorie des DL le "=" est utilisé dans tous les sens excepte celui pour lequel il est né. C'est ridicule.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Ok Serge winking smiley
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Je ne sais pas pourquoi Serge veut nous faire revenir aux notations de Hardy. La notation de Hardy << ou $\prec$ fut abandonné au profit des notations de Landau qui sont plus pratiques en écriture. Le but du fil c'est de savoir s'il y a un danger avec ces écritures abusives mais en connaissant bien leurs significations que j'ai précisé. Là, on discute d'autres choses

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Bah non gebrane.
Serge explique que ta façon*** de lire $o(f)=o(g)$ n’est pas « l’officielle ».
Ce n’est pas un abus de mon point de vue mais le plus souvent une erreur de l’auteur qui maîtrise mal ces choses.

Je dis bien le plus souvent...

***
Tu dis « mais en connaissant bien leurs significations que j'ai précisé »
Justement tu précises une signification qui n’est pas la bonne.
J’irais plus loin : cette écriture n’a pas de sens !
La définition qu’on trouve partout est $une fonction = o(une fonction)$ et puis c’est tout !
Le = est quand même pratique car une fois traduit, c’est bien une égalité...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Citation
SERGE_S
Si au lieu d'écrire le dl de $\exp(x)$ à l'ordre 2 comme $\exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ on le réécrivait comme $\exp(x) = 1 + x + x^2/2 + x^2 \psi(x)$, où $\psi$ est une fonction qui tend vers 0 pour $x\to0$...

Mais le but de la première écriture est justement d'éviter de devoir spécifier que $\psi$ est une fonction qui tend vers 0 pour $x\to0$ à chaque fois... c'est ce qui rend le $o$ pratique dans ce cas.


Après moi-même je ne suis pas un grand manipulateur des $o,O$ & Co.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
@ gebrane : Je suis de l'idée qu'un abus de notation pour pratique qu'il soit porte toujours un danger d'ambiguïté qui n'est pas éliminable même si on connait très bien les significations de ces notations abusives.
On peut toujours faire une erreur de calcul (après tout on est pas des machines), les notations abusives ajoutent une source supplémentaire d'erreurs. Quand c'est possible il vaut mieux utiliser des notations qui ne sont pas sources d'ambiguïtés même si un peu plus lourdes à utiliser dans la pratique.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Dom en te lisant, il me semble que tu insinues que l'écriture o (u)=o (v) est une invention de gebrane ! C'est ce que tu penses ? Si tu ne l'as jamais rencontré, je te comprends.

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Si, si, je l’avais déjà vue.
Mais toujours dans un contexte « copie » ou maladresse sur tableau.
Ou comme relevé ici, dans le fil commenté par rakam.

J’avoue ne jamais l’avoir vu utilisée par des « pros ».
Mais ça ne signifie rien, je n’en suis pas un.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
excuse moi Dom mais je rencontre souvent cette notation même Wiki l'adopte dans [en.wikipedia.org] et il est bien dit
Citation

In this use the "=" is a formal symbol that unlike the usual use of "=" is not a symmetric relation. Thus for example nO(1) = O(en) does not imply the false statement O(en) = nO(1)
encore pleins de questions sur ME [math.stackexchange.com]
[math.stackexchange.com]

Peut être le monde des anglo-saxon est plus souple et dans mon cursus, je ne trouvais aucun inconvénient ou critique de la part de mes prof si je dis sin x =x+O(x^3)=x+o(x^2)

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Pour le début de ton message, soyons précis :
Soient $f$, $g$, $h$ des fonctions définies comme il le faut et un élément $a$ dans le domaine de définition, etc.
1) J’attends un cours avec la définition de : $f=o(g)$.
2) J’attends dans le même cours la définition de : $o(h)=o(g)$.
Après on pourra peut-être échanger sur du concret.

Attention :
si dans le « 1) », le $o(g)$ désigne un ensemble, alors on nage en plein délire pour accepter que le « 2) » ne soit pas une égalité d’ensembles.
si dans le « 1) », l’égalité n’est pas définie à l’aide d’un ensemble, alors je veux bien voir ce cours qui définit le « 2) ».

NB : je vais essayer de lire tout le passage avec l’extrait que tu cites pour voir si ça contient les deux définitions que je demande. Je dois combattre mon allergie inavouable et irrationnelle à l’anglais.


Pour la fin de ton message :
C’est plutôt ambigu et on ne sait pas si le correcteur laisse passer cette ligne en pensant exactement à cette discussion ou s’il laisse passer cette ligne en interprétant ce $A=B=C$ comme une flemme d’écrire $A=B ; A=C$ (sans avoir $B=C$).
C’est un argument que je vais garder pour justifier que les égalités enchaînées sont dangereuses, merci !
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Je colle deux clichés de wiki.
Je n’ai certainement pas tout compris mais presque...

Ça parle de différents usages des mêmes notations, non ?
Comment savoir l’usage qu’en fait une personne ?


Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Bonsoir.

Généralement, quand il y a une ambiguïté dans une notation, le contexte est sensé la lever, encore faut-il qu'il soit bien restitué.

On ne sort de l'ambiguïté qu'à son détriment (Galois aurait pu le dire).

À bientôt.

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Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Je ne vois pas le problème, les maths sont bourrées d'abus de notation et de raccourcis d'écriture, sinon ça devient infernal. Quand on écrit : "soit $x$ le nombre réel défini par $x = \pi^2\,\sqrt 2$", le signe = n'est pas symétrique...
GG
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Pourquoi ne pas considérer o(x) (par exemple) comme un terme fonctionnel un peu spécial, à savoir désignant une fonction négligeable devant x, mais non nécessairement la même à chaque occurence ? Il suffit d'indicer mentalement chaque occurence de o par un indice différent.
Par exemple, si l'on est choqué par u = o(f) et v = o(f) implique u+v = o(f), et plus encore par o(f) + o(f) = o(f), il suffit de traduire mentalement par
u = o1(f) et v = o2(f) implique u+v = o3(f), et o1(f) + o2(f) = o3(f) pour résorber le choc en soulagement smiling smiley
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Héhéhé,
Si, si, le = est symétrique dans ce cas.

Soit $x$ le nombre réel tel que $2+3=x$ ne me gêne pas.
Quel est le problème ?

GG,
Le problème n’est pas là.
Le problème est qu’un moment donné dans une rédaction, on tombe sur $o(f)=o(g)$ et la question est de savoir ce que cela veut dire.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Utiliser les notations de Landau comme des ensembles fait disparaître tout intérêt pour ces notations car les développements limités devraient être écrits $f(x)-P(x)\in o(x^n)$ ce qui n'est pas très commode.
Ce "non commode" vaut aussi pour la suggestion précédente.

Une suggestion :
Pourquoi ne pas systématiser l'utilisation de ces notations avec mention OBLIGATOIRE de la base de filtre concernée.
On n'aurait alors plus de "=" (qui incite à la symétrie) mais des "$ \underset{blabla }{\quad=\quad}$" qu'on apprendrait à ne pas considérer comme symétrique.
Avantage supplémentaire : éviter toute ambiguïté du genre $o(x^n)$ où, dans certains contextes, on ne sait plus si on prend les limites pour $n=+\infty$ ou pour $x=0$.
Pour la petite histoire j'ai vu un collègue (bien plus compétent que moi) se faire avoir avec ce piège.

Quant aux $o(f)=o(g)$ je serais d'avis de les bannir, je ne vois vraiment pas l'utilité de ce genre de rédaction.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Même la notation $f=o(g)$ est un abus de langage... et cet abus entraîne à lui seul la non symétrie de l'égalité, ainsi que sa non transitivité.

Comme GG, je vois la notation comme une instanciation d'une variable d'un certain type (informatiquement parlant).
A priori, deux instanciations n'ont aucune raison d'être les mêmes.
En général, les élèves comprennent très bien qu'il faut faire attention.

Effectivement, on peut éviter les problèmes en écrivant différemment, mais cela complique considérablement les écritures, même pour des petites démonstrations (j'ai par exemple en tête la démonstration du calcul de la dérivée d'une composée de fonctions).

Comme dans beaucoup de domaines, la solution ne se trouve pas dans la prohibition mais dans l'éducation.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
bisam,
Je suis assez d’accord.
Cependant $o(g)=f$ a tendance à moins m’effrayer (même si on ne le rencontre pas***...).

Le fil soulève la signification différente de $o(f)=o(g)$.
Un camp dit que c’est une double inclusion d’ensembles et l’autre dit que ça ne signifie qu’une seule inclusion.

Une remarque : je ne suis plus au fait du $\Theta$.
N’est-ce pas une sorte de $O(.)=O(.)$ ? (je vais regarder... mais je laisse la question pour les curieux winking smiley)



***
Quelqu’un a-t-il déjà vu dans une copie ou ailleurs un $o(f)=g$ ?
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Dom, tu insistes beaucoup sur cette bombe qui peut exploser en chaque instant
Citation
Dom ecrivait
Cependant $o(g)=f$ a tendance à moins
m’effrayer

Moi ça m'effraie car ça permet de démontrer que $\lim_{x\to 0}\frac {o(1)}{x^n}=0,\quad \forall n\in \mathbb N$
Puisque $x^{n+1}=o(1)$ ( au voisinage de 0), alors Dom ne se gène pas d'écrire $o(1)= x^{n+1}$ ( tu l'as dit aussi hier), alors $\frac {o(1)}{x^n}=\frac {x^{n+1}}{x^n}=x\to 0$

En plus bisam a rappelé que $f=o(g)$ n'est pas symétrique .

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par gebrane.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Définition (rapide, il manque des choses, je sais) :
soit $f$, soit $g$,
Écrire $f =_{*}o(g)$ signifie il existe $\varepsilon$ qui tend vers $0$ tel que $f=\varepsilon g$.

Remarque : dans ces conditions on a aussi $\varepsilon g=f$.
On convient qu’on peut écrire alors $o(g)=_{*}f$.

Honnêtement, je ne l’ai jamais vu mais ça ne me gênerait pas.
Toi, tu décides de prendre le $=_{*}$ et de l’utiliser dans le $=$ normal.

Le = normal signifie d’ailleurs un «$ \forall x$, $f(x)=\varepsilon (x)g(x)$
C’est encore un autre = mais ça on est d’accord j’imagine.


Question : comment, toi, avec la définition que j’adopte tu passes à « ce que signifie $o(f)=o(g)$ » ?
Je te laisse choisir :
1) tu utilises ma définition, et alors tu réponds à ma question : que signifie $o(f)=o(g)$.
Moi je ne sais pas le faire sauf à écrire quelque chose de peu intéressant.
2) tu utilises une autre définition (avec les ensembles ?) et alors je t’écoute aussi pour savoir comment tu déduis ce qui signifie cette égalité de $o$ qui, pour ma part, est bien une vraie égalité d’ensembles et pas seulement une inclusion.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
D’ailleurs dans ton paragraphe « Dom ne se gêne pas... » tu utilises la transitivité du =.
On ne parle ici que de symétrie.

Une autre remarque :
Que signifie pour toi : $\lim_{x\to 0}\frac {o(1)}{x^n}=0,\quad \forall n\in \mathbb N$ ?
Rien que de voir $\frac {o(1)}{x^n}$, moi je n’y touche pas.
Alors ne me fais pas dire des choses comme ça.

Toi tu sais ce que c’est ça ? $\frac {o(1)}{x^n}$ ?
Je t’écoute.
Tu ne dis toujours pas ton choix de définition.
Ça ne peut pas avancer.

Édit : je veux bien faire amende honorable et dire que le = n’est pas symétrique car on a un seul petit $o$ dans un des membres dans ma définition. Mais je ne sais pas ce que signifie alors un petit $o$ dans chaque membre.
Toi j’attends toujours...



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Dom, j'ai donné ma signification de $o(f)=o(g)$ pour moi c'est une inclusion( même si tu veux f=o(g), est aussi une inclusion $\{f\}\subset\{o(g)\}$
Si tu n'aime pas une inclusion , c'est une lecture de: à gauche à droite,
donc pour démontrer un truc $o(f)=o(g)$, on démontre que pour toute fonction h négligeable devant f alors h est aussi négligeable devant g. Tu persistes à ignorer son existence alors que je t'ai donné un exemple flagrant sur wiki que je mets en image

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.


Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Si tu veux cherchons un consensus, une définition acceptée par tous de $o(f)=o(g)$, c'est un truc qui existe, alors définissons le

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Une inclusion ? Ok !
Alors que signifie $\sin (x) = x+ o(x)$ ?
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Ça signifie $\{\sin (x) -x\}\subset \{ o(x)\}$ c'est à dire que $\sin (x) -x$ est négligeable devant x

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
C’est alors une autre définition qu’il faut que tu donnes.
Tu ne peux pas dire : je définis $f=o(g)$ seulement.
Tu dois aussi dire : je définis $f=u+o(g)$.

Ces deux « = » sont les mêmes pour toi ou pas ?
Le premier est une inclusion, ok.
Mais le second ?

Une remarque sur la photo que tu viens de prendre.
Est-ce un bon exemple ?
Je veux dire, sais-tu démontrer que l’inclusion est stricte ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Soient $L$ une liste de lettres. Soit $\ell$ une lettre (qui peut être $+\infty,-\infty$ ou désigner un nombre réel en pratique, ou plus généralement un élément d'un espace topologique). Soient $V,\xi,\eta$ trois lettres distinctes n'appartenant pas à $L\cup{\ell}$. Soient $F,G$ des expressions désignant des nombres réels et écrites avec des lettres apparaissant toutes dans $L\cup \left \{\xi,\ell \right \}$ et des symboles mathématiques.

L'expression $F \underset{\xi \to \ell}= o(G)$ est l'abréviation bête et méchante de "il existe un voisinage $V$ de $\ell$ et une fonction $\eta$ qui tend vers $0$ en $\ell$ et qui est telle que pour tout $\xi\in V$, $\eta(\xi)G=F$" (à adapter au cas des limites épointées pour ceux qui préfèrent).

Bref ceci est l'exhibition du contenu bas niveau de $F \underset{\xi \to \ell}= o(G)$ qui n'est pas une égalité et si on le dissimule par "pédagogie", on ne fait qu'entretenir des confusions.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Je te laisse méditer sur l'exemple dans l'image
Mais je t'ai indiqué un autre plus simple sur ME $\cal{O}(x^3) = o(x^2)$ et tu vois que le = n'est pas symetrique

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
avatar
Merci Foys, peux-tu aussi donner une définition de
$$o(F) \underset{\xi \to \ell}= o(G)$$

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Foys,

Je suis d’accord avec tout ça. Et notamment l’aspect pédagogique que tu dénonces. Je fais avec.

Mais est-ce que ton texte définit (avec les mêmes notations pour les lettres) : $o(F) \underset{\xi \to \ell}= o(G)$ ou est-ce qu’il faut ajouter du texte ?

Car dans ce cas $o(F)$ ne désigne pas un réel si j’ai bien compris.

gebrane,
Tu abuses en me sortant un exemple de ME.
Au passage as-tu fait exprès d’écrire un grand et un petit $o$ ?
C’est encore autre chose.
L’exemple du fil d’où est parti la polémique est clairement une non maitrise de l’auteur.
Est-ce que tu le reconnais, ça ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Je n'ai jamais vu de $o(F)=o(G)$.
Quel sens ça peut avoir?
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
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regarde mon premier message Foys

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Dans quel contexte a-t-on besoin de vraiment définir $o(f)=o(g)$ ? J'ai l'impression que c'est se prendre la tête pour rien...

EDIT : Foys, tu es au courant que c'est le sujet du fil ? grinning smiley



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Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
@gebrane, à mon avis tu devrais vraiment éviter ces notations inédites.
L'égalité mathématique (peut importe ce que ça veut dire) est symétrique. Dans le langage courant les gens peuvent se laisser aller à abréger "A est un B" (qui est vague!!) par "A=B" mais on est déjà dans l'abus de notation mathématique (*). Les notations de Landau ne s'sutilisent que dans des situations très spécifiques. Personnellement en cas de doute je remplace $f=o(g)$ (resp $f=O(g)$) par $f=eg$ avec $e$ tendant vers $0$ au point considéré (resp. $e$ bornée au voisinage de ce point).

(*) une bonne règle pour l'emploi d'abus de langage et de notations mathématiques devrait être non pas de ne jamais en faire (infaisable en pratique) mais plutôt: commettez tous les abus de notation et de langage que vous voulez à condition qu'ils soient documentés et que le sens exact de la notation ou expression abusive soit facilement et fidèlement reconstituable. Sinon vous allez mettre des mois à retrouver où l'erreur a été commise.



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Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Je découvre maintenant Héhéhé drinking smiley bon je pense déjà que cette innovation notationnelle est mauvaise grinning smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
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Héhé , Voici un contexte, si un de tes étudiants sollicite ton aide pour lui démontrer ceci
$$\cal{O}(n\ln n) = \cal{O}(\ln(n!))$$
, tu vas lui répondre, je ne connais pas cette notation et tu fermes la discussion ?

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
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merci Foys. En conclusion les FR ne connaissent pas cette notation. Point à la ligne.

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
il y a six semaines
Je lui demanderais surtout de clarifier sa question, d'où est-ce que ça vient, et avoir une discussion avec lui sur le sens de cette écriture (que je trouve très mauvaise...).

Mon interprétation de cette question est : "montrer que si $f = O(n \ln n)$, alors $f = O(\ln(n!))$ (au sens de l'inclusion, donc).

Je n'ai jamais vu $o(f)=o(g)$ utilisé dans le sens de l'égalité (ce qui n'aurait pas beaucoup d'intérêt), seulement dans le sens de l'inclusion.



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