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Convergence d'une intégrale

Envoyé par evariste21 
Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
Bonjour
Comment puis-je étudier la convergence de l'intégrale suivante :
$$\int_{2}^{+\infty}\tan^{-1}\Big(\frac{1-2x}{(x-1)^{2}x^{2}} \Big)dx\quad?

$$ La partie laide est $\tan^{-1}(\cdots)$, car la quantité $\dfrac{1-2x}{(x-1)^{2}x^{2}}$ est pour des fractions partielles $\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$. Je suis sûr que ce n'est pas une bonne idée de calculer d'abord l'intégrale indéfinie, puis la limite.
Merci d'avance.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
P.
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
Pas de probleme pour faire une integration par parties avec $U=\arctan(...), \ V(x)=x.$
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
avatar
Evariste21: je pense que le changement de variable $y=1/x$ serait utile ici car sauf erreur on obtient:

$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\operatorname{arctan}\left( \frac{\left( x-2\right) \, {{x}^{3}}}{{{\left( x-1\right) }^{2}}}\right) }{{{x}^{2}}}dx$

Et l'intégrande peut être prolongée par continuité en $x=0$ (ce qui fait qu'on intègre une fonction continue sur l'intervalle $\left[0;\frac{1}{2}\right]$)

PS:
Le développement en série de l'intégrande est remarquable si je n'ai pas fait d'erreur de calcul. smiling smiley
(Edit: illusion due au fait que je ne suis pas allé assez loin dans le développement en série entière)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
Bonjour

la convergence de l'intégrale sur la borne supérieure ne fait aucun doute
puisqu'un équivalent asymptotique de la fonction à intégrer est $\frac{-2}{x^3}$

un développement asymptotique de $Arctan[\frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x-1)^2}]$
nous permet de trouver seulement une valeur approchée de l'intégrale

Cordialement
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
avatar
JL, très efficace thumbs down

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
avatar
Maintenant, il reste à calculer cette intégrale.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
avatar
FDP pour le calcul : par ipp de P, on tombe sur l'intégrale d'une fraction rationnelle, après il faut avoir du courage

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
Quelqu'un peut-il commencer l'intégration en partie?
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
Citation
FdP
[www.les-mathematiques.net]
Et l'intégrande peut être prolongée par continuité en $x=0$ (ce qui fait qu'on intègre une fonction continue sur l'intervalle $[0;\frac{1}{2}]$)

Pouvez-vous expliquer un peu plus cette extension continue à x = 0, pourquoi est-ce possible ?
Le changement de variable y=1/x conduit à une intégrale plus agréable.
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
avatar
Quelqu'un peut-il commencer l'intégration en partie?

Oui, ce quelqu'un est toi.

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
gebrane,

D'accord, je vais continuer d'essayer.

Merci
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
Voici mon travail sur l'intégration.
$$\int \arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big){d}x.

$$ Soit $u(x):=\arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big)$ et $v(x)=x$. Donc par IPP : $\quad\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x).
$
Depuis que, $$u(x)=\arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big), \quad dv(x)=dx,\\
du(x)=-\frac{\frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}}{\big( \frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1}dx, \quad v(x)=x.

$$ Donc, $$\int \arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big){d}x=\arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big)\cdot x-\int x \cdot\Big[ -\frac{\frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}}{\Big( \frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \Big)^{2}+1}\Big]dx.$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
La dernière intégrale est l'endroit où j'ai des problèmes. Jusqu'à présent, j'ai ceci.
$$
\int x \cdot\Bigg[ -\frac{\frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}}{\big( \frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1}\Bigg]dx
=
\int \bigg[ \frac{2x}{\big[\big(\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1 \big](x-1)^{3}}-\frac{2}{\big[\big(\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1 \big]x^{2}}\bigg]dx.$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
Je ne sais pas comment intégrer cela. L'intégrale peut également être écrite comme suit. $$\frac{6x^{5}-12x^{4}+8x^{3}-2x^{2}}{x^{8}-4x^{7}+6x^{6}-4x^{5}+x^{4}+4x^{2}-4x+1}.

$$ Mais je ne sais pas si cela est utile ici.
PS. C'est tout mon travail avec IPP.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
avatar
Evariste21: Qu'est-ce qui te fait croire que cette intégrale a une valeur intéressante à calculer?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
P.
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
Pas mal. Mais je ferais d'abord le changement de variable $x=\frac{1}{2}(y+1)$ pour avoir des expressions beaucoup plus symetriques, avec $\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x^2}=f(y)=\frac{8y}{(y^2-1)^2}.$ Ton integrale apres integration par parties sera plutot $$\frac{1}{2}\int_3^{\infty}\frac{yf'(y)}{1+f(y)^2}dy.$$ Mais comme $f$ est impaire, alors $f'$ est paire et donc le changement de variable $u=y^2$ s'impose et fait degringoler les degres de l'abominable fraction rationnelle sur laquelle tu atterrissais.
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
@Fin de partie : Je suivais simplement la suggestion de @ P concernant le IPP. J'ai pensé qu'alors je pourrais calculer la limite du résultat.

Quoi qu'il en soit, je suis curieux de savoir comment intégrer cette fonction rationnelle. Existe-t-il un moyen d'attaquer le calcul ou devons-nous faire une approximation numérique?
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
@P: Merci beaucoup, votre suggestion était très claire. Je vais lire votre nouvelle suggestion en détail.
Re: Convergence d'une intégrale
il y a cinq semaines
avatar
Evariste21:

En principe on sait calculer ce type d'intégrales: il faut factoriser* le dénominateur et faire une décomposition en éléments simples. Le problème ici est qu' a priori la factorisation du dénominateur va être épouvantable. Il n'y a pas de factorisation simple (c'est à dire comme un produit de polynômes à coefficients rationnels)

*: en facteurs de degré au plus deux. C'est possible d'après le théorème de D'Alembert Gauss et le fait que les racines complexes sont conjuguées.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Fin de partie.
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