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Géodésiques sur cylindre

Envoyé par fifi21 
Géodésiques sur cylindre
il y a six semaines
Bonjour
Si on considère le cylindre de rayon 1, on veut savoir si la section plane par le plan z=x paramétrée en longueur d'arc est une géodésique ou non.
Je n'arrive déjà pas à trouver une paramétrisation par longueur d'arc de la section plane ...
Il faudrait ensuite que je montre que l'accélération est normale au plan tangent du cylindre, mais sans paramétrisation je ne peux pas ...
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: géodésiques sur cylindre
il y a six semaines
« Le » cylindre de rayon $1$ ?
Re: géodésiques sur cylindre
il y a six semaines
un cylindre d'équation $x^2+y^2=1$ ...
Re: géodésiques sur cylindre
il y a six semaines
Bonjour,

Le cylindre, tu peux le découper suivant une génératrice et l'aplatir sur un plan, en conservant la métrique. La section plane que tu considères va-t-elle donner un segment de droite une fois aplatie ?
Re: géodésiques sur cylindre
il y a six semaines
bonjour,
si on déroule le cylindre, comme la section plane est un cercle, oui ça ferait une droite...
Re: géodésiques sur cylindre
il y a six semaines
Le plan qui coupe ton cylindre n'est pas orthogonal à l'axe. Tu es vraiment sûr que quand tu déroules, la section plane va donner un segment de droite ?
Et es-tu sûr que cette section plane est un cercle ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Re: géodésiques sur cylindre
il y a six semaines
J’aurais dit que c’était un cercle oui, j’ai vraiment du mal avec la visualisation dans l’espace :/
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a six semaines
Quand tu coupe un saucisson à l'ail en biais, le bord de la tranche est un cercle ??


Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
Bon exemple smiling smiley
Non effectivement c’est une sorte d’ovale ...
Mais du coup pour mon problème de géodésique qu’est-0ce que cela signifie ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
avatar
il est un peu tôt pour le saucisson
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
Il n'y a pas d'heure pour les braves.

Pour en revenir au problème des géodésiques sur le cylindre, les seules sections planes du cylindre qui sont des géodésiques sont par des plans orthogonaux à l'axe du cylindre.

Si tu traces trace un grand trait droit sur une feuille de papier que tu enroules autour de ton saucisson à l'ail, quelle courbe de l'espace obtiens-tu ?
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
J'ai enroulé une feuille de papier autour de mon saucisson à l'ail, j'ai coupé le saucisson enveloppé en biais, j'ai déroulé le papier autour d'un des morceaux et voila ce que j'ai obtenu. Tu peux l'expliquer ?


Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
Question subsidiaire : quel est le diamètre du saucisson de GaBuZoMeu ?
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
Je peux l’expliquer par le fait qu’une tranche a été mangée smiling smiley.
Non plus sérieusement, je ne saurais comment expliquer ce phénomène sad smiley La géométrie dans l’espace est ma bête noire ...
Il n’y a pas un moyen d’arriver au résultat par des calculs, en calculant par exemple le produit vectoriel d’une certaine courbe avec un vecteur normal ?
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
Fais l'expérience pour de vrai ! Tu disposes bien d'une feuille de papier et d'une paire de ciseaux, non ?
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
avatar
Hum, couper un cylindre par un plan est vieux non pas comme Hérode mais plutôt comme Apollonius de Perge (260 av JC- 190 av JC).

A demon wind propelled me east of the sun



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gilles benson.
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
avatar
Et sinon, et sauf erreur de calcul, l'équation de l'intersection du plan et du cylindre dans un repère orthonor... relatif au plan peut être $ \frac{1}{2}X^2 + Y^2 = 1$

A demon wind propelled me east of the sun
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
Oui j’ai fait sur une feuille, je trouve évidement la courbe donnée précédemment, mais je ne vois pas mieux quoi en conclure pour les géodésiques.
Je sais que les géodésiques du cylindre sont de la forme (rcos t, rsin t, à+bt), c’est pour cela que j’aimerais faire des calculs avec la section plane mais je ne vois pas comment ...
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
Le plan osculateur d'une section plane n'est pas difficile à trouver. Si ?
Est-ce que ce plan osculateur est perpendiculaire au cylindre en tout point ?
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
il ne l'est que si z=0 non?
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
Et donc ?
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
donc on n'a une géodésique que si z=0 ?
mais n'y a-t-il pas un moyen de le prouver par le calcul ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
Ça n'a pas de sens d'écrire "on n'a une géodésique que si z=0". Une section plane n'est pas une géodésique (sauf si le plan est orthogonal ou parallèle à l'axe), point barre.
La considération du plan osculateur fournit une preuve complète.
S'il te faut un calcul pour ton confort psychologique, tu peux partir de la paramétrisation $(\cos(t),\sin(t),\cos(t))$, calculer la composante normale de l'accélération et voir si elle est orthogonale au plan tangent.
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
D'accord je vois, merci beaucoup pour votre aide !
Bon après-midi
Re: Géodésiques sur cylindre
il y a cinq semaines
avatar
fifi tu peux voir dans ce fil si ça peut aider les représentations paramétriques des géodésiques du cylindre de révolution
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