Géodésiques sur cylindre
Bonjour
Si on considère le cylindre de rayon 1, on veut savoir si la section plane par le plan z=x paramétrée en longueur d'arc est une géodésique ou non.
Je n'arrive déjà pas à trouver une paramétrisation par longueur d'arc de la section plane ...
Il faudrait ensuite que je montre que l'accélération est normale au plan tangent du cylindre, mais sans paramétrisation je ne peux pas ...
Merci d'avance.
Si on considère le cylindre de rayon 1, on veut savoir si la section plane par le plan z=x paramétrée en longueur d'arc est une géodésique ou non.
Je n'arrive déjà pas à trouver une paramétrisation par longueur d'arc de la section plane ...
Il faudrait ensuite que je montre que l'accélération est normale au plan tangent du cylindre, mais sans paramétrisation je ne peux pas ...
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Réponses
Le cylindre, tu peux le découper suivant une génératrice et l'aplatir sur un plan, en conservant la métrique. La section plane que tu considères va-t-elle donner un segment de droite une fois aplatie ?
si on déroule le cylindre, comme la section plane est un cercle, oui ça ferait une droite...
Et es-tu sûr que cette section plane est un cercle ?
Non effectivement c’est une sorte d’ovale ...
Mais du coup pour mon problème de géodésique qu’est-0ce que cela signifie ?
Pour en revenir au problème des géodésiques sur le cylindre, les seules sections planes du cylindre qui sont des géodésiques sont par des plans orthogonaux à l'axe du cylindre.
Si tu traces trace un grand trait droit sur une feuille de papier que tu enroules autour de ton saucisson à l'ail, quelle courbe de l'espace obtiens-tu ?
Non plus sérieusement, je ne saurais comment expliquer ce phénomène :-( La géométrie dans l’espace est ma bête noire ...
Il n’y a pas un moyen d’arriver au résultat par des calculs, en calculant par exemple le produit vectoriel d’une certaine courbe avec un vecteur normal ?
Je sais que les géodésiques du cylindre sont de la forme (rcos t, rsin t, à+bt), c’est pour cela que j’aimerais faire des calculs avec la section plane mais je ne vois pas comment ...
Est-ce que ce plan osculateur est perpendiculaire au cylindre en tout point ?
mais n'y a-t-il pas un moyen de le prouver par le calcul ?
La considération du plan osculateur fournit une preuve complète.
S'il te faut un calcul pour ton confort psychologique, tu peux partir de la paramétrisation $(\cos(t),\sin(t),\cos(t))$, calculer la composante normale de l'accélération et voir si elle est orthogonale au plan tangent.
Bon après-midi
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/737828-geodesiques-dun-cylindre-and-dun-helicoide.html