Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
222 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Erreur de calculatrice

Envoyé par Eligh 
Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
Bonjour.
Je préparais un exercice pour mes terminales et j'ai remarqué quelque chose que j'aimerais soumettre à votre sagacité.

Il s'agit d'étudier la suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 t^n e^{-t}dt$.

Je demande entre autre : décroissante, minorée, convergente, encadrement et limite (elle tend vers 0). Par ailleurs, je voulais demander relation de récurrence ($I_{n+1}=(n+1)I_n-\frac{1}{e}$ selon moi) et recherche de seuil à la calculatrice.
Mais la calculette trouve que $I_n$ tend vers $+\infty$ ! Selon moi la casio "se trompe lourdement" à partir de $I_{14}$ et la TI à partir de $I_{12}$.

Je pense expliquer ça aux élèves par des erreurs d'arrondis qui se multiplient ; c'est plutôt intéressant en fait. Mais je voulais confirmation avant (est-ce que j'ai fait une erreur, y a-t-il une autre explication...)
Si quelqu'un de courageux se sent d'y jeter un œil, merci par avance.

Et bien sûr : trolls s'abstenir (leur présence sur ce site est tellement pénible).



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
avatar
J'ai testé avec Python et effectivement j'ai le même problème à partir de la 18ème itération. Mais comme toi je pense que c'est des erreurs d'arrondis qui se multiplient.

Si le calcul de $I_n$ est entaché d'une erreur $\delta$ alors la valeur suivante sera égale à $(n+1)(I_n+\delta)-e^{-1}=I_{n+1}+\delta * (n+1)$. Et la suivante sera égale à $I_{n+2}+\delta * (n+1)(n+2)$ etc.
ev
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
avatar
Bonsoir.

Tu peux résoudre l'équation sans second membre : $I_{n+1}=(n+1)I_n$ et tu auras l'explication.

Certaines calculatrices/ordinateurs peuvent trouver $-\infty$ comme limite.

e.v.

Un peintre abstrait marche dans les rues de Moscou. Il est suivi par deux figuratifs en civil (Blague soviétique)
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
avatar
D'ailleurs pour confirmer j'ai fait un print des rapports $I_{n+1}/I_n$ et ça donne ça :

20.877656344538593
20.089936164938827
21.0044766774867
22.000213129684468
23.000009687619077
24.000000421200657
25.00000001755003
26.000000000702002
27.000000000026997
28.000000000000995
29.000000000000036
30.0
31.0
32.0
33.0
34.0
35.0
36.0
37.0
38.0
39.00000000000001
40.0

c'est presque parfait...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par raoul.S.
Dom
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
Comment avoir un développement asymptomatique asymptotique de $I_n$ ?
Je suis totalement incapable ce soir...

Édit : merci Jean.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
avatar
Dom pas grave, tu nous le fais demain

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
Pour faire un calcul précis avec une calculatrice ou bien calculer un développement asymptotique on peut inverser la récurrence.

$I_n=\dfrac1{n+1}(e^{-1}+I_{n+1})$ donne $I_n=e^{-1}\left(\dfrac1{n+1}+\dfrac1{(n+1)(n+2)}+\dfrac1{(n+1)(n+2)(n+3)}+\dots\right)$.
Dom
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
Haha.
J’ai juste : $I_{n}=\frac{1}{(n+1)e}+ o\Big(\frac{1}{n} \Big)$

Édit : erreur de signe

Merci jandri winking smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Dom.
Dom
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
En fait ça me rappelle un exercice assez bien fichu du bouquin d’analyse utilisé par le CNED pour la préparation du CAPES.
On expliquait pourquoi les calculatrices se trompaient d’une manière assez simple et « explicite ».
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
J'ai testé avec libre office calc.
La valeur numérique calculée avec la relation de récurrence tend vers $-\infty$ et elle déraille à partir de la dix-septième itération.

On peut écrire $I_n=a_n-b_n\mathbf{e}^{-1}$ avec $a_n=n!$, $b_n=nb_{n-1}+1$ et $b_0=1$.

On voit que ces nombres croissent très vite et dépasse rapidement la précision permise par le calcul de $\mathbf{e}^{-1}$
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
My two cents. La fonction « .n(p) » donne l'approximation numérique à $2^{-p}$ près (environ). Le calcul symbolique explique un peu ce qui se passe : $I_n$ est une combinaison entière de $1$ et $\mathrm{e}^{-1}$ dont les coefficients sont gigantesques.
sage: def I(n,p=30):
....:     if n==0:
....:         return 1-1/e.n(p)
....:     return n*I(n-1,p)-1/e.n(p)
....: 
sage: I(29)
-3.1457069e21
sage: I(29,100)
-12.561361594330718762220495272
sage: I(29,1000)
0.0126709648043100409516288055849745273883832181615927882693594413442278320922345306471584655276341092783754891047090520087286888490038706237255806964275691415932191427925263725030242944544311169414768752121975424251162147939676439925674438505120389119731014719167192960065757612609604041648176014920871
sage: def Ij(n):
....:     if n==0:
....:         return 1-1/e
....:     return n*Ij(n-1)-1/e
....: 
sage: [Ij(k) for k in range(30)]
[-e^(-1) + 1,
 -2*e^(-1) + 1,
 -5*e^(-1) + 2,
 -16*e^(-1) + 6,
 -65*e^(-1) + 24,
 -326*e^(-1) + 120,
 -1957*e^(-1) + 720,
 -13700*e^(-1) + 5040,
 -109601*e^(-1) + 40320,
 -986410*e^(-1) + 362880,
 -9864101*e^(-1) + 3628800,
 -108505112*e^(-1) + 39916800,
 -1302061345*e^(-1) + 479001600,
 -16926797486*e^(-1) + 6227020800,
 -236975164805*e^(-1) + 87178291200,
 -3554627472076*e^(-1) + 1307674368000,
 -56874039553217*e^(-1) + 20922789888000,
 -966858672404690*e^(-1) + 355687428096000,
 -17403456103284421*e^(-1) + 6402373705728000,
 -330665665962404000*e^(-1) + 121645100408832000,
 -6613313319248080001*e^(-1) + 2432902008176640000,
 -138879579704209680022*e^(-1) + 51090942171709440000,
 -3055350753492612960485*e^(-1) + 1124000727777607680000,
 -70273067330330098091156*e^(-1) + 25852016738884976640000,
 -1686553615927922354187745*e^(-1) + 620448401733239439360000,
 -42163840398198058854693626*e^(-1) + 15511210043330985984000000,
 -1096259850353149530222034277*e^(-1) + 403291461126605635584000000,
 -29599015959535037315994925480*e^(-1) + 10888869450418352160768000000,
 -828772446866981044847857913441*e^(-1) + 304888344611713860501504000000,
 -24034400959142450300587879489790*e^(-1) + 8841761993739701954543616000000]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Math Coss.
Dom
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
Génial !
Math Coss et verdurin enrichissent l’exercice proposé par Eligh smiling smiley avec ces suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

$(a_n)=(n!)$ et pour $(b_n)$ c’est ici : [oeis.org]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ de verdurin donnent, si on exprime $b_n$ avec une somme, $I_n=e^{-1}n!\left(e-\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}\right)$.

C'est la même chose que la formule que j'ai donnée.
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
Bonjour,
Un exercice très proche, donnant pour les mêmes raisons de gros problèmes de calcul, a été proposé il y a bien longtemps dans un numéro spécial de La Recherche (1995 de mémoire) consacré aux nombres.
La suite qui apparaît est convergente vers 0 pour une seule valeur initiale $e-1$... irrationnelle bien sûr. Selon que $e-1$ est approchée par excès ou par défaut dans la calculatrice utilisée, la suite diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$.
Avec un de mes collègues et amis, nous avions écrit un petit article à cette époque sur cet exercice, petit article qui a sans doute inspiré un sujet de bac posé au Liban en 2005.
Voici l'énoncé tel qu'il figurait dans la Recherche
"Pour preuve, l'histoire édifiante d'Alfred Logarithme qui, en bon père de famille, désire faire un placement à très long terme pour assurer l'avenir de sa descendance. Il se renseigne donc auprès du directeur de la Société Chaotique de Banque (SCB) qui lui propose son nouveau plan d'épargne en ces termes :
« Votre apport initial est de e – 1 francs. La première année, vous êtes perdant,on multiplie votre capital par 1, et l'on y prélève 1 franc pour frais de gestion. La deuxième année, c'est beaucoup mieux, on multiplie votre capital par 2 et l'on
prélève toujours 1 franc pour frais de gestion. La troisième année, on multiplie votre capital par 3 et l'on prélève 1 franc, et ainsi de suite : la n-ième année, on multiplie votre capital par n et l'on prélève 1 franc. Au bout de 25 ans, vous pouvez retirer votre argent. Intéressant, n'est-ce pas ? »
Prudent Monsieur Logarithme décide de réserver sa réponse. Pouvons-nous l'aider à prendre sa décision ?"
Bonne soirée,
Christian



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Christian Vassard.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - alfred.pdf (250.1 KB)
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
avatar
Bonjour, désolé d'arriver après la bataille mais c'est un cas bien connu dans lequel la relation de récurrence n'est pas stable numériquement: tu multiplies l'erreur précédente par n à chaque étape...

A demon wind propelled me east of the sun
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
avatar
La calculatrice fait ce qu'elle peut; de même, la série harmonique est convergente du point de vue de la calculatrice...

A demon wind propelled me east of the sun
Dom
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
L’exercice dont je parlais.

Analyse, Ariel Dufetel, Vuibert.
CAPES Externe, Agrégation Interne.

La calculatrice propose une convergence vers un nombre alors que mathématiquement la suite converge vers un autre nombre.


Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
Les machines déterministes ont du mal à faire des calculs d'itérations chaotiques, c'est une raison pour laquelle l'existence de la matière noire (prouvée par un calcul) ne sera validée qu'après sa prédiction par une observation avec des instruments analogiques embarqués sur un satellite artificiel ou sur Terre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Erreur de calculatrice
il y a cinq semaines
Merci beaucoup pour vos réponses très instructives. J'essaierai d'en faire matière à réflexion pour mes élèves (même si nous sommes "à distance" en ce moment).
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 244, Messages: 1 507 378, Utilisateurs: 27 667.
Notre dernier utilisateur inscrit Setif.


Ce forum
Discussions: 33 667, Messages: 315 859.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page