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Une intégrale

Envoyé par Chelito 
Une intégrale
il y a quatre semaines
Bonjour
J’ai bloqué dans le calcul de $$ \int_0^\infty \frac {\arctan(t^2) }{ t^2} dt.
$$ Par une ipp, on trouve un lien avec $ \quad\displaystyle \int_0^\infty \frac {1 }{1+ t^4} dt$.
Mais après je reste bloqué.

Quelqu’un aurait-il la gentillesse de m’aider un peu ? Svp...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
MrJ
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
Il y a une méthode générale pour calculer ta seconde intégrale : décomposer en éléments simples.

Dans ce cas très précis, on peut aussi s'en sortir avec une astuce : Voir exercice 43.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par MrJ.
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
Bonjour
la seconde intégrale est un cas particulier de l'intégrale paramétrée (pour $n = 4$)
$$
\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^n} = \frac{\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}.

$$ Quant à la première intégrale par une intégration par parties en posant $u = \arctan(t^2)$ tu obtiens 2 fois la seconde intégrale.
cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
avatar
Pour la deuxième intégrale:

\begin{align}J&=\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^4}dx\\
&\overset{y=\tfrac{1}{x}}=\int_0^{\infty}\frac{y^2}{1+y^4}dy\\
2J&=\int_0^{\infty} \frac{1+y^2}{1+y^4}dy\\
&=\int_0^{\infty} \frac{1+\frac{1}{y^2}}{2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2}dy\\
&\overset{u=y-\tfrac{1}{y}}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2+u^2}du\\
&=\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)\right]_{-\infty}^{\infty}\\
&=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\\
J&=\boxed{\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}}
\end{align}

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
avatar
FDP c'est beau, je n'ai jamais rencontré cette méthode

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
avatar
Gebrane: assez souvent utilisée ici pourtant. Dès que je vois un terme en $x^4$ au dénominateur et que celui-ci est un polynôme je regarde si cette méthode est utilisable.
On a aussi le changement de variable $y=x+\dfrac{1}{x}$ qui peut fonctionner et plus généralement $\displaystyle y=x^k+\frac{1}{x^k}$ ou $\displaystyle y=x^k-\frac{1}{x^k}$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
Merci à vous deux.

Oui l’IPP vient vite.

Mais je bloque ensuite.

MrJ: pour la décomposition, après de longs calculs j’ai abandonné la décomposition , peut-être par lâcheté, devant le système que je devais résoudre.
Quant à ton lien, c’est exactement le type d’astuce que j’espérais. Pourtant, je ne vois même pas comment calculer la première intégrale avec un t au numérateur.

Jean Lismonde: je vais réessayer de démonter cette jolie formule. En fait la technique classique ipp pour faire apparaître une relation de récurrence me paraît inopérante. Je dois m’y pencher avec plus d’entrain.

Merci encore. J’ai quand même l’impression que j’ai plutôt intérêt à éviter de prendre un sujet sur les intégrales à l’oral de l’interne dans 15 jours... et c’est un peu grâce à vous.
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
Merci.

Dire que j’y ai passé au moins trois heures...

Merci à tous.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
avatar
La décomposition est celle-ci: $x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale.
il y a quatre semaines
avatar
Bonjour,

Ramanujan’s master theorem.
P.
Re: Une intégrale
il y a quatre semaines
Et pourquoi ne pas memoriser une bonne fois pour toutes
\begin{eqnarray*}\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}&=&\int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{(1+x)^{a+b}}dx=\int_0^{1}y^{a-1}(1-y)^{b-1}dy \\
\Gamma(p)\Gamma(1-p)&=& \frac{\pi}{\sin \pi p}
\end{eqnarray*} qui trivialise $\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+t^r}$ par le changement de variable $t^r=x$?
Re: Une intégrale
il y a quatre semaines
avatar
P. : Pourquoi sortir l'artillerie pour abattre une mouche?

PS:
La méthode la plus élémentaire ici est de décomposer la fraction en éléments simples ce qui revient à résoudre l'équation $Z^4=-1$ dans $\mathbb{C}$ puis de regrouper les éléments conjugués etc.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Fin de partie.
P.
Re: Une intégrale
il y a quatre semaines
Tu as tout a fait raison FdP s'il s'agit de calculer une prinmitive. Mais pour certaines integrales definies, les methodes elementaires ne sont pas les plus rapides, et si j'etais quelque chose, je militerais pour mettre les deux proprietes ci dessus de la fonction gamma au programme de L2 ou de ses equivalents des lycees (souvent d'ailleurs deja traitees sous forme d'exercice en application de Fubini et des series de Fourier).
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