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Une intégrale pour Oshine

Envoyé par gebrane 
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a quatre semaines
avatar
On a aussi que cette intégrale est égale à: $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{2}{5 {{x}^{\frac{3}{5}}}\, {{\left( 1-{{x}^{2}}\right) }^{\frac{1}{5}}}}dx$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a quatre semaines
Merci JLT d'avoir trouvé mon erreur d'étourderie.

Gebrane je n'ai pas encore étudié les intégrales doubles et les intégrales impropres, il faut que j'avance un peu dans le cours de MP.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a quatre semaines
avatar
Bonne continuation Oshine

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a quatre semaines
Je crois que ton exercice demande une bonne maitrise du programme de MP d'analyse, somme double, fonction Gamma...

Je saurai faire la question $1$, mais la 2 je ne pense pas.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a quatre semaines
avatar
Pas grave. Vers la fin de cette année, c' est moi qui va te demander de l' aide

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Une intégrale (pour @OS ?)
il y a quatre semaines
Bonjour
Cette intégrale est la suite d'un précédent fil donné à @Oshine pour le calcul d'une intégrale. Mais pour plus de clarté j'ouvre un nouveau sujet.

En s'inspirant du calcul de l'intégrale du fil cité ci-dessus, montrer que $$\int_0^1 \frac{1+x^{14}}{1+x^{16}} dx=\frac{\pi}{8} \sqrt{\frac{1}{2} \left(2+\sqrt{2}\right) \left(2+\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)} . $$

[Inutile de multiplier les discussions pour OShine ! AD]



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
Il faut encore utiliser les log complexes que je ne maitrise pas et que je n'ai jamais étudié ?
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
c'est très complexe les nombres complexes :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
c'est aussi très intéressant les nombres complexes

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
OShine:

"la" méthode standard:
1)Tu factorises le numérateur et le dénominateur de cette fraction en un produit de polynômes de degré 1 ou 2 à coefficients réels (on peut connaître aisément les racines du numérateur et du dénominateur qui sont conjuguées deux à deux)
2) On procède à une décomposition en éléments simples.

Je ne dis pas que c'est la méthode la plus simple.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
Et quelle est la méthode la plus simple? :)
merci Chaurien

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Quentino37.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
On a : $\int_0^1 \frac{1+x^{14}}{1+x^{16}} dx=\frac 12 \int_0^{+\infty} \frac{1+x^{14}}{1+x^{16}} dx=\frac 14 \int_{- \infty}^{+\infty} \frac{1+x^{14}}{1+x^{16}} dx$.
Et là, méthode des résidus spécifique aux fractions rationnelles n'ayant pas de pôle réel.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
La méthode des résidus ? (j'en ai entendu parler, j'ai regardé sur le wiki, mais ce n'est pas très clair).

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
La méthode la plus simple c'est d'utiliser ce qu'on a fait avant comme admis $\int_0^\infty\dfrac{x^{\large s-1}}{1+x^n}\ dx=\frac{\pi}{n}\csc\left(\frac{s\pi}{n}\right)$
C'est dans ce sens que bd a posé la question

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
C'est programme de L3 le théorème des résidus.

Fin de Partie, la décomposition en éléments simples me semble immonde, même dans $\C$. Il y a $17$ pôles simples. Après il faut encore intégrer des log complexes.

Bref, encore un exercice qui est hors de mes connaissances.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
Est-ce que quelqu'un pourra m'expliquer s'il te plait le théorème des résidus? (je vais pouvoir comprendre plein de démonstration et calcul que je ne comprenait pas avant car elle utilisait le théorème des résidus)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
Quentino37: On peut remarquer que lorsqu'on effectue le changement de variable $y=\dfrac{1}{x}$ on obtient, sauf erreur,

$\displaystyle \int_0^1 \frac{1+x^{14}}{1+x^{16}}dx=\int_1^\infty \frac{1+x^{14}}{1+x^{16}}dx$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
Et après on lit ce qu'a écrit P.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
\begin{align}J&=\displaystyle \int_0^1 \frac{1+x^{14}}{1+x^{16}}dx\\
&=\frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{1+x^{14}}{1+x^{16}}dx\\
&\overset{y=x^{16}}=\frac{1}{32}\int_0^\infty \frac{y^{\frac{-15}{16}}+y^{-\frac{1}{16}}}{1+x}dy\\
&=\frac{1}{32}\text{B}\left(\frac{1}{16},\frac{15}{16}\right)+\frac{1}{32}\text{B}\left(\frac{1}{16},\frac{15}{16}\right)\\
&=\frac{1}{16}\text{B}\left(\frac{1}{16},\frac{15}{16}\right)\\
&=\frac{1}{16}\frac{\gamma\left(\frac{1}{16}\right)\gamma\left(\frac{15}{16}\right)}{\frac{1}{16}+\frac{15}{16}}\\
&=\frac{1}{16}\gamma\left(\frac{1}{16}\right)\gamma\left(\frac{15}{16}\right)\\
&=\frac{1}{16}\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{16}\right)}
\end{align}

Et il n'y a plus qu'à calculer $\sin\left(\dfrac{\pi}{16}\right)$. Ce qu'on fait aisément quand on se rappelle que $\displaystyle 0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}, \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos x+1}{2}}$

NB: la fonction $\text{B}$ est la fonction bêta d'Euler

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
Un peu plus difficile:

Calculer $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\ln x}{1+x^5}dx$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
Quentino il faut lire un cours d'analyse de niveau L3 sur l'analyse complexe.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
Bonjour
Effectivement l'idée de ma question était toute simple : c'est-à-dire d'utiliser ce qui a déjà été fait en posant $y=1/x$ et d'utiliser la valeur de $\displaystyle I= \int_0^\infty \dfrac{1}{1+x^{16}} dx .$
Il reste tout de même à calculer $\sin\frac{\pi}{16} $ dont je laisse à @Os le soin de faire le calcul.

Bien entendu une autre façon de faire c'est de calculer par la méthode des résidus.
$\displaystyle J= \int_{-\infty} ^\infty \dfrac{x^4}{1+x^{16}} dx= 2 i\pi \sum _{Im (z_i)>0} Residu \Big[ \dfrac{z^4}{1+z^{16}} \Big ] _{z=z_i} ,$
les $z_i$ sont les pôles de la fonction $f$ définie par $f(z)=\dfrac{z^4}{1+z^{16}}.$
Idem je laisse le soin à @Os de faire le calcul (inutile de faire la calcul à sa place, c'est dans son domaine de compétence).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
JLT
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
@FdP : tu ne t'es pas trompé de fil là ? Ca devrait aller dans "une intégrale pas pour OShine". Ou peut-être "une intégrale pour gebrane".



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
Bd2017:

Je pensais à des méthodes classiques d'analyse réelle qu'on m'a sûrement apprises, que j'avais oubliées, puis redécouvertes quand j'ai commencé à passer beaucoup de temps à calculer des intégrales.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
JLT:

Je ne comprends pas cette animosité (à travers des sarcasmes) contre Oshine . Ce type passe un temps dingue, semble-t-il, à essayer de s'améliorer en mathématiques. C'est remarquable de nos jours pour un adulte.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
Fin de Partie, s'il faut utiliser cette fonction, dans les exercices à mon niveau, la fonction $B$ sera introduite avant à l'aide de questions intermédiaires.
Je crois avoir vu cette fonction quelque part déjà dans un problème.

BD2017
Ok.
JLT
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
@FdP : où vois-tu de l'animosité envers OShine ? Je pense que l'intégrale que tu proposes poserait des difficultés à pas mal d'agrégatifs, donc a fortiori à OShine.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par JLT.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
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JLT c'est facile cette nouvelle intégrale de FDP et au niveau de Oshine s'il admet les résultats sur $\int_0^\infty\dfrac{x^{\large s-1}}{1+x^n}\ dx=\frac{\pi}{n}\csc\left(\frac{s\pi}{n}\right)$

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
Gebrane à force d'admettre plein de résultats on ne sait plus quoi admettre et quoi ne plus admettre.

Ca fait un mélange confus.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
OShine:
indication.
Considérer la fonction $\displaystyle F(s)=\int_0^\infty \dfrac{x^s}{1+x^5}dx$ avec $s$ un réel positif pas trop grand.
et penser à la fonction Bêta d'Euler.
\begin{align}
x>0,\ y>0,\quad \text{B}(x,y)&=\int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt\\
&=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)},

\end{align} et on a besoin de: $\displaystyle 0<x<1, \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin\left(\pi x\right)}$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
Tu as vendu la mèche FDP, Oshine en était capable
( j'ai considéré $F(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}f(x)dx \implies F'(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}\ln(x)f(x) dx.$)

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
Gebrane:

Je n'ai rien vendu du tout, mais il ne faut pas exagérer, ce truc de Sioux tu peux difficilement le deviner tout seul à partir de rien.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
On la fait maint de fois FDP pour faire apparaître un log

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
Ce n'est pas grave, de toute façon il faut que je termine la réduction des endomorphisme et ensuite je m'attaquerai au premier chapitre d'analyse de MP sur les fonctions convexes.

D'ici là je ferai peut être quelques calculs de DL ou d'intégrale de niveau L1.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
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Oshine puis-je te préparer un Coquetel sur les fonctions périodiques

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
Gebrane oui mais d'ici 4-5 jours, il faut que je termine les problèmes du concours général, je galère dessus.
Re: Une intégrale pour Oshine
il y a trois semaines
avatar
Gebrane: Je ne connais pas toutes ces formules par coeur je sais que la fonction bêta a principalement trois formes, la formule qui la lie à la fonction gamma est facile à retenir, je connais la formule des compléments pour la fonction gamma et c'est à peu près tout.
Le reste ce sont des heuristiques de calcul qui permettent de se ramener aux formules susmentionnées: si tu as une intégrale à évaluer sur $[0;\infty[$ il faut que l'intégrale ne comporte que des facteurs $x^a,(1+x)^b$. Si c'est sur $[0;1]$ il faut que l'intégrale ne comporte que des facteurs $x^a,(1-x)^b$. Si on est dans l'un de ces deux cas alors il y a une bonne chance qu'on puisse utiliser la fonction bêta pour effectuer un calcul d'intégrale.
Bien sûr dès qu'on a un facteur $(1+x^a)^b$ dans une intégrale sur $[0;\infty[$ on essaie le changement de variable $y=x^a$ et on applique l'heuristique ci-dessus. Si on a un facteur $(1-x^a)^b$ et l'intervalle d'intégration est $[0,1]$ on fait procède au même changement de variable. Voilà en gros ce que je connais sur ce sujet.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
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