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Limite d'une fonction

Envoyé par n12345 
Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Bonjour. Je souhaite trouver la limite en $0$, si elle existe de $$f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\tan^2(x)}.

$$ J'utilise les équivalents : $\frac{1}{\tan^2(x)}$ est équivalent au voisinage de $0$ à $\frac{1}{x^2}$ donc $f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2} -\omicron(\frac{1}{x^2})$ donc $f(x)=-\omicron(\frac{1}{x^2})$.

Et c'est ici que je ne sais pas quoi conclure : $f$ n'a pas de limite ? Les équivalents ne permettent pas pas de trouver la limite recherchée et il faut utiliser les développements limités ? Ou on peut déterminer la limite de $f$ et j'ai mal compris la notion de fonctions négligeables ?
Si quelqu'un pouvait m'éclairer ? :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Dom
Re: limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Bonjour.
Sais-tu justifier proprement ton premier « donc » ?
En gros pourquoi « on peut remplacer par l’équivalent qu’on veut  » ?

Le deuxième « donc », je comprends.
Et en effet, on ne peut pas conclure.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Dom.
Re: limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Ton calcul est correct et ne permet pas de conclure. Il va falloir faire un développement à un ordre supérieur pour voir ce qu'il reste en soustrayant $\frac{1}{x^2}$.
Re: limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Salut $f(x)=\dfrac{\tan^2(x)-x^2}{x^2 \tan^2(x)}$

Tu peux essayer de faire un DL du numérateur. Le dénominateur est équivalent à $x^4$ car $\tan(x) \sim x$
Re: limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Une façon rapide de faire un DL de la tangente est d'utiliser $\tan '(x)=1+ \tan^2(x)=1+x^2+o(x^2)$

Donc $\tan(x)=\tan(0)+x+x^3 /3 + o(x^3)$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par OShine.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Dom, pour le premier donc : La relation d'équivalence n'est pas compatible avec l'addition et par définition, $f$ est équivalente a $g$ si et seulement si $f=g+\omicron(g)$.

Ok OShine pour le DL, il n'était pas très compliqué et la limite recherchée vaut $\frac{2}{3}$.

En fait, c'est la remarque de Poirot que je n'ai pas comprise : Pourquoi le calcul d'équivalent n'aboutit pas et en quoi faire un DL à un ordre supérieur permet-il de "débloquer" les calculs de limite ? Et finalement augmenter l'ordre d'un DL c'est juste augmenter la précision avec laquelle on approxime notre fonction ? Ce sont plus ces questions qui me gênent dans l'analyse asymptotique que le "côté pratique" ..

Merci pour vos réponses, même si mes questions sont sûrement bêtes, cela m'aide beaucoup :)
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Bonjour
le mieux est d'utiliser le développement à 2 termes de tan(x) soit pour tan²(x) le développement $x^2 - 2\frac{x^4}{3} + x^6$
et donc la limite en zéro de $f(x) = \dfrac{\tan^2(x) - x^2}{x^2\tan^2(x)}$ est égale à la limite en zéro de $\ \dfrac{-\frac{2x^4}{3} + x^6}{x^4}.$
Soit $-\dfrac{2}{3}$.
Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Un équivalent ne suffit pas ici comme tu peux le constater. Un équivalent, ça correspond à un développement asymptotique à un terme. Ici les premiers termes se compensent, il faut donc "augmenter la précision". Concrètement, faire un développement à un ordre plus élevé.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
avatar
Bon , j'ai appris une chose de Oshine comment faire le dl de la tangente à l'ordre 3 rapidement

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Oups en effet c’était $\frac{-2}{3}$ jean ..

Ok merci pour ta réponse Poirot. Et finalement, existe-t-il un moyen de connaître l’ordre nécessaire pour faire le DL d’une fonction ou faut-il toujours y aller à tâtons ?
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Ou avec un autre exemple, la limite en $0$ de $f(x)=\frac{\sin(x)-x+\frac{x^3}{6}}{x^5}$ :
avec les équivalents en 0 : $f(x)=\frac{1}{6x^4}+\omicron(\frac{1}{x^4})$ . Tous les termes ne se compensent pas donc on peut obtenir la limite et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{\pm}} f(x)=\pm\infty$ ? Ou encore une fois il est nécessaire de "passer" à l'ordre supérieur ? Et peut-on savoir directement l'ordre nécessaire pour le DL ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par n12345.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
avatar
Laissons Oshine corriger ce dl

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Merci Gebrane.

Remarquons que au voisinage de $0$ on a : $\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)$

Ainsi $\sin(x)-x+\dfrac{x^3}{6}= \dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)$ ainsi $\sin(x)-x+\dfrac{x^3}{6} \sim \dfrac{x^5}{120}$

On en déduit par quotient d'équivalents $\boxed{\dfrac{\sin(x)-x+\dfrac{x^3}{6}}{x^5} \sim \dfrac{x^5}{120 x^5} \sim \dfrac{1}{120}}$
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
avatar
thumbs down

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Ok merci OShine et je m'étais en plus trompé c'était $f(x)=f(x)=\frac{1}{6x^2}+\omicron(\frac{1}{x^4})$ et en fait ma question était plus clairement :
dès qu'on obtient des équivalents ou même un DL avec des fonctions négligeables, il est nécessaire de passer à un ordre supérieur ? Mais ici avec la réponse de OShine je pense que la réponse à ma question est oui..

Merci pour vos réponses.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
avatar
n12345 Oshine est à ton service si tu as besoin d'aide

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Je reviens sur cette remarque de gebrane : la méthode OShine est recyclable pour les ordres suivants, on va aussi loin que l'on veut. Un cran de plus : \begin{align*}
\tan'x&=1+\Bigl(x+\frac{x^3}3+o(x^3)\Bigr)^2\\&=1+x^2+\frac{2}3x^4+o(x^4)\\
&\text{ce qui donne}\\
\tan x&=x+\frac{1}3x^3+\frac{2}{15}x^5+o(x^5),\end{align*} etc.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Math Coss.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
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MC thumbs down

Signature: Aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
n12345 je n'ai pas compris ta question.

Les DL c'est de la pratique, on s'adapte à la situation.
Re: Limite d'une fonction
il y a cinq semaines
Math Coss écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Très bien cette méthode pour le DL de tangente.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
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