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Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$

Envoyé par Quentino37 
Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a quatre semaines
Bonjour
Quelle est la forme intégrale de $\dfrac{1}{\Gamma (n)^{2}}$ ?
Merci d'avance !
J'ai fait une faute dans le titre !!! Comment fait-on pour changer le titre ?

[Lors de la modification de ton premier message, tu peux modifier le titre de la discussion. AD]

Merci encore AD !

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 7 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Inverse du carré la fonction gamma
il y a quatre semaines
Bonjour

tu sais que $\Gamma(1+n) = n!$ (factorielle de n entier naturel) et $\Gamma(n) = (n-1)!$ avec n > 1

tu souhaites une intégrale paramétrée en n dont le résultat soit égal à $\frac{1}{((n-1)!)^2}$

cela existe sûrement, je n'en connais pas.

Cordialement
Re: forme intégrale de $\frac{1}{\Gamma (n)^{2}}$
il y a quatre semaines
merci beaucoup!

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Inverse du carré la fonction gamma
il y a quatre semaines
avatar
Bonjour,

A vérifier : $\displaystyle {1\over n!}={1\over 2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} e^{-i n t} e^{e^{i t}} dt$...
Re: Inverse du carré la fonction gamma
il y a quatre semaines
merci Yves! (il n'existerait donc aucune formes intégrales de 1/(n-1)!² ?)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: forme intégrale de $\frac{1}{\Gamma (n)^{2}}$
il y a quatre semaines
En voici une parmi une infinité :

$$\frac{1}{\Gamma(n)^2} = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{(n-1)!^2}.$$
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a quatre semaines
heu... Il y à pas un petit problème avec la factorielle? :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a quatre semaines
Plaît-il ?
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a quatre semaines
Quand n n'est pas entier! Et puis... $x=\int_{0}^{1}xdx$ grinning smiley. Existe-t-il une intégrale qui marche mais qui n'utilise pas la factorielle ou la fonction gamma?(vous voyez ce que je veut dire par là, enfin je l'espère)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
avatar
Hum, il faudrait peut-être commencer par étudier les intégrales. $\int_0^1 x \, dx$ ne vaut pas $x$ (la variable muette qui s'échappe ?).
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
ah heu je voulait dire $x=\int_{0}^{1}xdt$

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
avatar
Moui, à condition de dire qui est $x$. winking smiley
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
avatar
On dirait Quentino37 pose une question pour le plaisir de poser une

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
heu... non pas du tout!

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
Quand, comme ici, les variables ne sont pas quantifiées, il est d'usage de leur donner intrinsèquement leurs domaines usuels de définition.

Par exemple, lorsque rien n'est indiqué, on attribue d'office les variables aux ensembles suivants :

$p$ : nombre premier ;

$k,m,n$ entiers ;

$x,y$ : réels ;

$z,s,w$ : complexes ;

$\varepsilon$ : réel petit (i.e. qui tend vers $0$) de l'intervalle $\left]0,1 \right[$.

En ne donnant aucune information sur ton $n$, l'ensemble des intervenants l'a donc pris pour un entier naturel non nul et donc $\frac{1}{\Gamma(n)^2} = \frac{1}{((n-1)!)^2}$ et ta question devient sans intérêt.

Allons donc un cran plus loin : tu veux une forme intégrale pour $\Gamma(x)^2$ avec $x > 0$ réel. À l'aide de la fonction Bêta, on voit quasiment immédiatement que, pour tout $x > 0$ réel, on a
$$\Gamma(x)^2= \Gamma(2x) \int_0^1 (t-t^2)^{x-1} \, \textrm{d}t.$$
Ça te va ?
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
Merci noix de totos! Par contre c'est 1/gamma(x)² que l'on cherche :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
Il est en 4ème il ne comprend pas vos réponses.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
heu si je comprend les réponses(à 90%).
\begin{align*}
B(x, y)&=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)},&&\text{donc} \\
B(x, x)&=\frac{\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)},&& \text{ce qui implique} \\
\Gamma (x)^{2}&=\Gamma (2x)B(x, x),\\
\Gamma (x)^{2}&=\Gamma (2x)\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{x-1}dt,&&\text{et on à donc} \\
\Gamma (x)^{2}&=\Gamma (2x)\int_{0}^{1}(t-t^{2})^{x-1}dt.
\end{align*} et c'est prouvé ! smiling smiley

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
avatar
Pour avoir le coeur net, Quentino37 tu es en quelle classe?

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
mais ce que je cherche c'est une intégrale(juste une intégrale avec aucune fonction devant) qui est égale à $\frac{1}{\Gamma(x)^{2} }$

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
Je suis en 4ème (désolé de ne pas avoir répondu dans le dernier message, j'étais en train d'écrire le message quand tu as envoyé le tien).

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
avatar
Ok et merci pour la réponse. Une question au niveau 4ème. Calculer $\sin (\pi/5) $ avec une méthode purement géométrique. Tu est un nouveau Terence Tao thumbs down
Merci Jandri

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
merci pour la question, sinon, qu'est ce qu'est "Tao Hill"? smiling smiley

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
avatar
Un surdoué précoce

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
merci :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Quentino37.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
C'est une bonne chose que des jeunes s'intéressent à des mathématiques difficiles. Mais il ne faut pas brûler les étapes, et bien respecter le B-A-BA que sont les quantifications de variables comme je le disais plus haut.

Pour revenir à ce sujet, il n'y a pas à ma connaissance de formule telle que tu le demandes, mais que ce soit $\Gamma^2$ ou $1/\Gamma^2$, ça n'a pas beaucoup d'importance. Par exemple, c'est à partir de la définition classique de $\Gamma$ sous forme d'intégrale que l'on déduit l'identité de Hankel concernant la fonction $1/\Gamma$, qui est aussi une identité utilisant une intégrale.

Enfin, puisque tu sembles apprécier ces formules, en voilà une due à Ramanujan : pour tout entier $n$ et tout réel $x>0$
$$\frac{1}{\Gamma(n)^2} = \Gamma(n+xi)^{-1} \Gamma(n-xi)^{-1} \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1+\frac{x^2}{(n-1+k)^2} \right)^{-1}.$$
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
Je pense que gebrane a voulu parler de Terence Tao, médaille Fields en 2006 et enfant prodige : Terence Tao



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par jandri.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
noix de totos: merci beaucoup :)
jandri: merci :) smiling smiley

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
Quentino tu peux m'aider à résoudre le problème 3 du concours général si t'es si fort.
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
il y a trois semaines
je ne suis pas si fort que ça et je pense ne pas avoir le niveau mais je veux bien essayer :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Quentino37.
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