Bonjour,
Je souhaite démontrer qu'une application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ est une immersion. Je dois donc montrer que sa différentielle est injective.
Comment montrer cela ? Quel est le lien avec la matrice Jacobienne de cette fonction ?
Réponses
La différentielle d'une application différentiable de $\R^3$ dans $\R^2$ ne peut pas être injective : il faut nécessairement que la dimension de l'espace d'arrivée soit au moins égale à celle de l'espace de départ pour qu'une application linéaire puisse être injective.
Pourquoi souhaites-tu démontrer cela, qui est visiblement faux comme l'a montré Philippe Malot ? Tu as dû te tromper quelque part dans ton cheminement, explique-nous le contexte.
Je souhaite trouver un plongement de la sphère unité privée du point "Nord" dans le plan $\mathbb{R}^2$. Pour ce faire, j'ai trouvé quelque part une fonction semble-t-il assez usuelle définissant une projection stéréographique.
J'ai donc $g : \big\{ S^2 \setminus \{0,0,1\}\big\} \to \mathbb{R}^2$ telle que $g : (x,y,z) \mapsto \Big(\dfrac{x}{1-z}, \dfrac{y}{1-z}\Big)$ et je souhaite montrer que cette application est un plongement. Je souhaitais donc en particulier prouver que c'était une immersion, d'où mon questionnement initial.
J'avais en tête de montrer que le noyau de $(Jg)_a$ était restreint au vecteur nul.