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Une limite pour chacun

Envoyé par gebrane 
Une limite pour chacun
il y a quatre semaines
avatar
Trouvez les limites suivantes : $\begin{eqnarray*}\quad \lim_{x \to 0^{+}} x,\quad \lim_{x \to 0^{+}} x^{x},\quad \lim_{x \to 0^{+}} x^{x^{x}}, \quad\lim_{x \to 0^{+}} x^{x^{x^{x}}}, \ldots \end{eqnarray*}$

gebrane commence, la première limite est nulle
On laisse la deuxième pour Quentino37
La troisième pour Oshine
La quatrième pour J-L
...
La dernière la plus générale pour

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une limite pour chacun
il y a quatre semaines
Salut,

Posons $y=x^x=e^{x \ln x}$ donc $x^{x^x}=x^y = \exp (y \ln x)= \exp (e^{x \ln x} \ln x) $

Ainsi, $x^{x^x}=\exp (e^{x \ln x} \ln x)$

Or $\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \ln x=0$ donc par composition $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \exp(x \ln x )=1$

Par produit : $\lim\limits_{x \rightarrow 0} e^{x \ln x} \ln x = - \infty$

Par composition, on trouve finalement $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 0} x^{x^x}=0}$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par OShine.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a quatre semaines
Bonjour,

Une coquille OShine,

$x^y=...$.

Cordialement

Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
avatar
Entre coquille et faute, j’hésite car le résultat est faux.

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Oui, c’est cette coquille qui engendre l’erreur winking smiley
Car tout le texte qui suit est juste.
En fait c’est la limite « d’après » du coup...
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
avatar
Dom, par définition, une coquille ne rend pas un résultat final faux , non?

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Ha oui je comprends ce que tu dis.

En effet usuellement, la coquille ne fout pas tout en l’air.
Je ne sais pas si c’en est une définition.
Je trouve « Substitution d'une lettre à une autre, par erreur, dans la composition d'un texte. ».

J’ai en tête des coquilles qui peuvent être des erreurs de calculs et dont la suite en dépend.

Là, je suis quasiment certain que c’est une « étourderie coquillesque » (allez ! j’invente un terme) qui engendre la suite, qui elle est sans erreur.
Cette suite par contre est la bonne conclusion pour le cas « 4 » : $x^{x^{x^{x}}}$.

Édit : globalement le résultat est faux mais localement je vote pour une coquille.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
C'était bien une coquille merci grinning smiley

Quentino on attend ta réponse...
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Oui mais du coup il faut changer la suite, car comme le dit gebrane, le résultat final est faux.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Merci j'ai tout rectifié.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
avatar
Oshine. Maintenant traité le cas générale

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Je n’ai qu’un bout du cas général pour le moment...
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Gebrane pour le cas général je pense avoir la réponse, à l'aide d'une récurrence en distinguant 2 cas.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Posons $f(x)=x^x$.

S'il y a un nombre pair de $x$ dans l'expression alors $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=1$ et s'il y a un nombre impair on a $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=0$

Le démontrer je ne saurais pas faire.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
avatar
Bien , on attend une argumentation, tu as traité des choses plus difficiles que ça Oshine

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
On peut prendre ta proposition, OShine, comme propriété sur $n$ à démontrer par récurrence.

L’hérédité est assez simple pour moi, pour obtenir que les cas impairs donnent $0$.

Quant aux cas pairs, il suffit d’utiliser, en 0, $e^u=1+u+o(u)$ d’après mes gribouillages.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Par récurrence on montre le résultat.

Montrons $P(n)$. S'il y a un nombre pair $2n$ de $x$ dans l'expression alors $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f_{2n}(x)=1$ et s'il y a un nombre impair $2n+1$ de $x$ dans l'expression alors $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} f_{2n+1}(x)=0$

Au rang $n=1$, on a $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} x^x= \lim\limits_{x \rightarrow 0} e^{ x \ln x}=e^0 =1$ et on a $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} x^{x^x} =0$ déjà démontré.

Supposons $P(n)$ vraie et démontrons $P(n+1)$.
Soit $P(n)$ vraie, il a $2n$ $x$ dans l'expression.
Or $f_{2n+2} (x)= x^{f_{2n+1} (x)} = \exp ({f_{2n+1} (x) \ln x})$

Comme $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f_{2n+1}(x)=0$ alors par croissances comparées, $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f_{2n+2}(x)=e^0=1$

Par ailleurs, $f_{2n+3} (x)=x^{ f_{2n+2} (x)} = \exp({f_{2n+2} (x) \ln (x)} )$

Comme $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f_{2n+2}(x)=1$ alors par produit on a $\lim\limits_{x \rightarrow 0} {f_{2n+2} (x) \ln (x)} =- \infty$ et donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f_{2n+3} (x) =0$

On a démontré $P(n) \implies P(n+1)$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par OShine.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
avatar
C'est ta plus belle bêtise

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
L’erreur est liée à la priorité à droite dans l’écriture $a^{b^c}$.

Tu n’as pas $\displaystyle f_{N+1}(x)=f_N(x)^x$ mais plutôt $\displaystyle f_{N+1}(x)=x^{f_N(x)}$.

Pour le coup je ne jetterais pas la pierre si facilement.
C’est une erreur courante.
N’est-ce pas une petit marronnier d’ailleurs de discuter de l’ambiguïté de l’écrire itérée de puissances ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Merci Dom j'ai rectifié ma récurrence fonctionne maintenant.

Pas si difficile l'exercice.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Ok. Attention. Je trouve assez suspect l’argument « par croissance comparée ».

Soit $\varepsilon $ une fonction qui tend vers $0$ en $0$.
A-t-on nécessairement cette égalité ?
$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \varepsilon(x) \ln (x) =0$$
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Non mais je ne sais pas faire autrement c'est une forme indéterminée $0 \times (- \infty)$

J'ai pris des exemples de $\varepsilon$ ça semble marcher, mais je n'ai peut être pas trouvé de contre exemples.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Houlala d’accord.
On ne peut pas faire des maths comme ça.
Éventuellement, tu peux rédiger un truc « sous l’hypothèse que je ne sais pas prouver, ça marche ».
En le disant, déjà, ça semble moins roublard.

J’ai cru que tu étais allé trop vite et en fait tu nous dis que tu avais vu le problème.
Il suffit de l’écrire sans mentir, sans honte non plus.

Essaye avec la fonction suivante : $\varepsilon : x\mapsto \frac{1}{\ln (x)}$.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Bien vu Dom pour le contre-exemple.

Oui j'aurais dire que j'admets le résultat.

J'ai vu cette difficulté je l'ai contournée sad smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Bonjour,

OShine, connais tu ce Théorème:
Pour toute forme indéterminée et pour tout élément $a$ de $\overline{\mathbb{R}}$ il existe des exemples où la forme indéterminée a pour limite $a$, ainsi que des exemples où la forme indéterminée n'a pas de limite ?

Cordialement,

Rescassol
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Il ne faut pas cacher ces choses là.
Ça a dû arriver à tout le monde des trucs comme ça.

L’humilité de ce point de vue est nécessaire : « je n’ai pas prouvé ce point là ».
Dans un concours par exemple, le correcteur n’est jamais dupe de rien.
En tous les cas c’est ce qu’il faut se dire pour éviter les très mauvaises surprises.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Rescassol non.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Citation
OS
J'ai vu cette difficulté je l'ai contournée sad smiley
Ben, tu fais tout le temps ça en fait, j'ai envie de dire. Tu nous arnaques mais tu le dis pas. Les croissances comparées, c'est bien pour la même fonction qui tend vers 0. Sinon, il faut bricoler et c'est le but des exos de lycée de comprendre qu'il faut se ramener à cette forme de limite connue.

La remarque de Rescassol, c'est juste de dire que le prof qui fait son cours sur les limites, pour chaque forme indéterminée, peut trouver plusieurs contre-exemples qui montrent qu'on peut faire tendre vers ce qu'on veut. Par exemple, $\frac{+\infty}{+\infty}$ est indéterminée, car ça peut tendre vers $+\infty$ avec $\frac{n^2}{n}$, $0$ avec $\frac{n}{n^2}$ ou $a$ avec $\frac{an}{n}$ et on peut faire pareil pour les autres formes indéterminées.

Il reste le cas impair. Il faudrait savoir à quel vitesse $f_{2n+1}$ tend vers 0 pour savoir s'il l'emporte ou si c'est le $\ln$. Donc il faut un équivalent ou au moins un $o$.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
\[x^{x}=e^ {In(x)x}\] donc quand x tend vers 0 on obtient e puissance 0 qui est égale à 1

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Quentino37.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Bonjour gebrane

je ne sais pas si je suis destinataire de la quatrième limite mais je m'y tente...

on part de la limite en 0+ de $x^x$ qui est notoire, égale à 1-

on pose $g(x) = x^{x^{x}}$ soit $ln(g(x)) = = x^x.ln(x))$ qui tend vers - oo et donc g(x) tend vers 0+

tu poses $h(x) = x^{x^{x^x}} = exp(x^{x^x}lnx)$ qui tend vers 1-
en supposant que $g(x) = x^{x^x}$ impose sa limite nulle à ln(x)

on voit apparaître l'alternance :
pour une exponentielle totale avec un nombre paire de x la limite est 1-
pour une exponentielle totale avec un nombre impair de x la limite est 0+

cordialement
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
il faut prouver que x puissance x puissance x tend infiniment plus vite vers zéro que In(x) tend vers moins l'infini et il faut surtout le prouver en général(tour de n puissance de x)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Quentino37.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
@Alexique ok.

Je ne sais pas à quelle vitesse tend vers $0$ $f_{2n+1}$ donc je ne sais pas résoudre cet exercice.

Jean Lismonde tu ne démontres pas que $h$ tend vers $1$.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
c'est ce que je disait à mon dernier message :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Quentino37 oui tu as raison.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Pour le cas $n=4$, allez, ça se fait bien.
Il suffit d’écrire un petit DL(0) de $f_3$.

Pour le cas général, je pense que ça se fait aussi avec la récurrence.
Pour l’hérédité en posant quelque chose du genre $$f_{2n}(x)=1+x^{\alpha} \ln ^{\beta} (x) +o(x^{\alpha} \ln ^{\beta} (x))$$ en $0$ avec les bonnes puissances, ça doit aller.

Édit : une coquille corrigée et j’ajoute que les $\alpha$ et $\beta$ dépendent bien entendu de $n$ mais on peut juste dire dans la propriété « il existe $\alpha>1$ et $\beta>1$ patati... ».
Si je le peux, je rédige quelque chose.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Il n'est pas faux de le dire thumbs down

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Quentino37.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Ok Dom il faut d'abord le faire sérieusement pour $n=4$ avant de se lancer dans la récurrence.

Pour le cas où on a 4 fois $x$ je trouve $f_4(x)=\exp (x^3 \ln (x) )$

Démonstration : $x^{x^{x^{x}}}=y^{x^x}=z^x$ où $y=x^x$ et $z=y^x$

Donc $z^x=\exp (x \ln z)= \exp (x \ln (y^x) )= \exp(x \ln (e^{x \ln y})) = \exp(x^2 \ln y)$

Ainsi, $z^x=\exp ( x^2 \ln (e^{x \ln x}) ) = \boxed{\exp (x^3 \ln x)} \longrightarrow e^0=1$ par croissances comparées.

Calculons $f_5$, je vois maintenant apparaître l'idée de Dom.

$f_5 (x)=x^{f_4(x)}=\exp ( e^{x^3 \ln x} \ln x)$

Un DL donne $f_5(x)=\exp \left( \ln x + x^3 \ln^2 (x) +o(x^3 \ln^2 x) \right) = \boxed{x \exp \left( x^3 \ln^2 (x) +o(x^3 \ln^2 x) \right)}$

On voit directement que $\lim f_5 =0$ par croissances comparées.

Après ça devient trop une usine à gaz de continuer.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Attention tu as écrit des bêtises.

Par exemple c’est très troublant mais c’est comme ça on n’a pas :
Quel que soit $x$ positif,
$x^{x^{x^x}}=y^{x^x}$ et $y=x^x$

Éventuellement on peut écrire :
$x^{x^{x^x}}=x^{x^y}$ et $y=x^x$

Je détaille encore : $x^{x^{x^x}}$ signifie $x^{\big(x^{(x^x)} \big)}$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Oui merci Dom tu as raison bien vu
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
J’ai bien mieux pour plier cet exercice.

Je note $p_k(x)=x^{x^{...^x}}$ où la lettre $x$ est écrite $k$ fois.
Une manière propre de définir la suite de fonctions $(p_k)_{k\in \mathbb N}$ se fait par récurrence en posant :
$p_0$ la fonction définie sur $\mathbb R_+$ par :
pour tout $x$, $p_0(x)=1$,
quel que soit l’entier naturel non nul $k$, quel que soit $x\in \mathbb R_+$
$$p_{k+1}(x)=x^{p_k(x)}$$


Il suffit de démontrer, par exemple par récurrence, que :

Quel que soit l’entier naturel $n$ :

$p_{2n}(x)=1+x\ln (x) + o(x\ln (x))$, en $0$

$p_{2n+1}(x)=x+o(x)$, en $0$


Ajout d’une figure :
La courbe rouge ($p_3$) ne semble pas « rejoindre » la première bissectrice ($p_1$) il faudrait couper la demi-droite bleue, à gauche... mais en zoomant un peu, on parvient à le voir tout de même.

Le lien : [www.google.fr]



Edité 7 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Dom.


Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Joli Dom.

Je clos l'exercice, Gebrane sera content.

Montrons la propirété $P(n)$ : $f_{2n} (x)= x+o(x)$ et $f_{2n+1}(x)=1 +x \ln (x) + o (x \ln x)$

Les initialisations ont déjà été faites. Supposons $P(n)$ vraie. Alors :

$f_{2n+2}(x)=x^{f_{2n+1}(x)}=x^{1 +x \ln (x) + o (x \ln x)}= \exp \left( \ln x + x \ln^2 x + o(x \ln^2 x) \right)$

Donc $f_{2n+2}(x) = x \exp \left( x \ln^2 x + o(x \ln^2 x) \right) \sim x$ Ainsi $\boxed{f_{2n+2}(x) = x+o(x)}$

Par ailleurs, $f_{2n+3}(x)=x^{f_{2n+2}(x)}=x^{x+o(x)}=\exp \left( x \ln x + o(x \ln x) \right)=1+x \ln x +o(x \ln x)$ car au voisinage de $0$ on a $e^u=1+u+o(u)$

On a montré $\boxed{f_{2n+3}(x)=1 +x \ln (x) + o (x \ln x)}$ ce qui termine la récurrence.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par OShine.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
avatar
Oshine, Je serai content si tu me calcules
$$ \lim_{x \to 0^+} x^{\left(x^{x^x} - x^x + 1\right)}$$
et pour mon ami Jean Lismonde que je remercie pour sa participation, je réserve
$$\lim_{x \to 0^+} x^{\left(x^{x^{x^x}} - x^{x^x}+ x^x - 2\right)}$$

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par gebrane.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Voyons gebrane, c’est $nul$, $hein$ ? grinning smiley
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Gebrane après calculs je trouve que ta fonction que je note $f$ vaut :

$f(x)= \exp \left( \ln x(2-x) + x \ln^2 x+ o(x \ln^2 x) \right)$

La limite de $\ln x(2-x) + x \ln^2 x+ o(x \ln^2 x)$ vaut $-\infty$ par croissance comparées.

On en déduit que la limite est nulle en $0$.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
avatar
S'il suit tes conseils d'avant, il va s'en sortir sinon il va s'engloutir

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Dom
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Je pense qu’il y a une erreur OShine.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Dom je vérifie mes calculs.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par OShine.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
Je retrouve la même chose je ne comprends pas mon erreur.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
avatar
Comment calcules tu le dl en $0^+$ de $x^{x^x}$ ?

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Une limite pour chacun
il y a trois semaines
On a $x^{x^x}=\exp \left( \ln x + x \ln^2 x+ o(x \ln^2 x) \right)$

Donc $x^{x^x}= x \exp \left( x \ln^2 x+ o(x \ln^2 x) \right)$

Finalement $x^{x^x} \sim x$ donc $\boxed{x^{x^x} = x+o(x)}$
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