Une question d'analyse géométrique
Bonjour,$\def\div{\mathop{\rm div}}$ $\def\grad{\mathop{\rm grad}}$ $\def\Hess{\mathop{\rm Hess}}$ $\def\d{{\rm d}}$
Soient $(M^n,g)$ une variété riemannienne, $\nabla$ sa connexion de Levi-Civita et $f\in{\cal C}^\infty(M)$. Je dois montrer que $\fbox{$\Delta_g f = \div_g( \grad f)$}$.
On se place dans une carte locale de coordonnées $(x^1,\dots,x^n)$, et on note $(g_{ij})$ les coefficients de la métrique, $(g^{ij})$ les coefficients de la matrice inverse de $(g_{ij})$, et $\Gamma_{ij}^k$ les symboles de Christoffel de $\nabla$. J'ai les définitions suivantes (avec la notation sommatoire d'Einstein) :
Merci d'avance
Soient $(M^n,g)$ une variété riemannienne, $\nabla$ sa connexion de Levi-Civita et $f\in{\cal C}^\infty(M)$. Je dois montrer que $\fbox{$\Delta_g f = \div_g( \grad f)$}$.
On se place dans une carte locale de coordonnées $(x^1,\dots,x^n)$, et on note $(g_{ij})$ les coefficients de la métrique, $(g^{ij})$ les coefficients de la matrice inverse de $(g_{ij})$, et $\Gamma_{ij}^k$ les symboles de Christoffel de $\nabla$. J'ai les définitions suivantes (avec la notation sommatoire d'Einstein) :
- $\forall (i,j),\ (\Hess f)_{ij} := (\nabla_{\partial/\partial x^i} \d f)_j = \dfrac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j} - \Gamma_{ij}^k \dfrac{\partial f}{\partial x^k}$
- $\Delta_g f = g^{ij} (\Hess f)_{ij}$
- $\grad f = g^{ij} \dfrac{\partial f}{\partial x^i} \dfrac{\partial}{\partial x^j}$
- $\forall X\in\Gamma(TM), \ \div_g X = \dfrac{\partial X^i}{\partial x^i}+\Gamma^i_{ik} X^k$
Merci d'avance
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Réponses
Corrige ta définition du gradient.
Que vaut $(grad \,f)^k$ ?
$\def\div{\mathop{\rm div}}$ $\def\grad{\mathop{\rm grad}}$ $\def\Hess{\mathop{\rm Hess}}$ $\def\d{{\rm d}}$
Avec la présente définition, $(\grad f)^k = g^{ik} \dfrac{\partial f}{\partial x^i}$ pour tout $k$.
Je me suis mal exprimé. On reprend.
Tu calcules $\displaystyle (grad \,f)^k$ et tu reportes.
Tu n'oublies pas que la métrique n'est pas constante et donc :
$\displaystyle {\partial \over \partial x^i} (g^{ij }{\partial f \over \partial x^j} ) = {\partial g^{ij} \over \partial x^i} {\partial f \over \partial x^i} + g^{ij} {\partial^2 f \over \partial x^i \partial x^j}$,
Et il te faut montrer que $\displaystyle -g^{ij} \Gamma_{ij}^k = {\partial g^{ki} \over \partial x^i} + g^{jk} \Gamma_{ij}^i$, n'est-ce pas ?