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Une question d'analyse géométrique

Envoyé par Calli 
Une question d'analyse géométrique
il y a six semaines
avatar
Bonjour,$\def\div{\mathop{\rm div}}$ $\def\grad{\mathop{\rm grad}}$ $\def\Hess{\mathop{\rm Hess}}$ $\def\d{{\rm d}}$
Soient $(M^n,g)$ une variété riemannienne, $\nabla$ sa connexion de Levi-Civita et $f\in{\cal C}^\infty(M)$. Je dois montrer que $\fbox{$\Delta_g f = \div_g( \grad f)$}$.
On se place dans une carte locale de coordonnées $(x^1,\dots,x^n)$, et on note $(g_{ij})$ les coefficients de la métrique, $(g^{ij})$ les coefficients de la matrice inverse de $(g_{ij})$, et $\Gamma_{ij}^k$ les symboles de Christoffel de $\nabla$. J'ai les définitions suivantes (avec la notation sommatoire d'Einstein) :
  • $\forall (i,j),\ (\Hess f)_{ij} := (\nabla_{\partial/\partial x^i} \d f)_j = \dfrac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j} - \Gamma_{ij}^k \dfrac{\partial f}{\partial x^k}$
  • $\Delta_g f = g^{ij} (\Hess f)_{ij}$
  • $\grad f = g^{ij} \dfrac{\partial f}{\partial x^i} \dfrac{\partial}{\partial x^j}$
  • $\forall X\in\Gamma(TM), \ \div_g X = \dfrac{\partial X^i}{\partial x^i}+\Gamma^i_{ik} X^k$
Ça me donne $\Delta_g f = g^{ij} \Big( \dfrac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j} - \Gamma_{ij}^k \dfrac{\partial f}{\partial x^k} \Big)$ et $\div_g( \grad f) = g^{ij} \dfrac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j} + g^{jk} \Gamma^i_{ik} \dfrac{\partial f}{\partial x^j}$. Mais ça ne correspond pas. Est-ce que quelqu'un peut m'aider à comprendre ? Notamment, je vois pas comment une formule avec un $+$ devant les $\Gamma$ et une autre avec un $-$ peuvent être égales.
Merci d'avance



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Calli.
Re: Une question d'analyse géométrique
il y a six semaines
avatar
Bonjour,

Corrige ta définition du gradient.

Que vaut $(grad \,f)^k$ ?
Re: Une question d'analyse géométrique
il y a six semaines
avatar
Je ne peux pas corriger ma définition. C'est la définition que le prof a donnée. confused smiley Pourquoi, tu as une autre définition du gradient ?
$\def\div{\mathop{\rm div}}$ $\def\grad{\mathop{\rm grad}}$ $\def\Hess{\mathop{\rm Hess}}$ $\def\d{{\rm d}}$
Avec la présente définition, $(\grad f)^k = g^{ik} \dfrac{\partial f}{\partial x^i}$ pour tout $k$.
Re: Une question d'analyse géométrique
il y a six semaines
avatar
Bonjour,

Je me suis mal exprimé. On reprend.

Tu calcules $\displaystyle (grad \,f)^k$ et tu reportes.

Tu n'oublies pas que la métrique n'est pas constante et donc :
$\displaystyle {\partial \over \partial x^i} (g^{ij }{\partial f \over \partial x^j} ) = {\partial g^{ij} \over \partial x^i} {\partial f \over \partial x^i} + g^{ij} {\partial^2 f \over \partial x^i \partial x^j}$,
Et il te faut montrer que $\displaystyle -g^{ij} \Gamma_{ij}^k = {\partial g^{ki} \over \partial x^i} + g^{jk} \Gamma_{ij}^i$, n'est-ce pas ?
Re: Une question d'analyse géométrique
il y a six semaines
avatar
Justement j'avais oublié que la métrique n'est pas constante ! Merci, ç'a résolu mon souci.
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