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Envoyé par matmars 
bs
Re: 0^0
il y a huit années
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Bonjour,

Souvenir...

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par bs.
John*
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
Ma façon de voir les choses :
(x^n) / (x^n) = 1 (par définition, un nombre divisé par lui même
or :
(x^n) / (x^n) = x^(n-n) = x^0. Donc x^0 = 1
MAIS dans le cas de x = 0, celà reviendrait à diviser par 0^n, ce qui revient à diviser par 0, ce qui n'a pas de sens.
Après je ne suis qu'un petit terminale S qui est arrivé ici en cherchant justement une réponse à cette question qui me trouble depuis quelque temps, donc si quelq'un peut éclairer ma lanterne...
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
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La réponse, tu l'as en lisant toute la discussion. En gros, on peut donner un sens à $0^0$ dans un certain contexte, mais ce n'est en général pas une quantité définie (car on ne trouve pas de convention satisfaisante)
JJ
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
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Raymond Cordier écrivait : [www.les-mathematiques.net]
-------------------------------------------------------

Autant que je puisse me souvenir, il y en a eu plusieurs sur "Les mathématiques.net". En voici un :
[www.les-mathematiques.net]

En bonus, trois articles qui développent plus ou moins les mêmes arguments dans des styles différents, avec beaucoup de ressemblances sur le fond. Et ce ne sont pas les seuls sur ce sujet, loin de là !

"Zéro puissance zéro. Zero to the zero-th power", par le lien : [www.scribd.com]

“Pour en finir avec 0^0” [forums.futura-sciences.com]

“Zéro puissance zero égal 1” [faq.maths.free.fr]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
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Il est bien clair qu'il y a exactement une application de l'ensemble vide dans lui-même, qu'il est tout à fait possible d'exhiber, c'est l'application vide, d'où : $0^{0}=1$. Cette application est bijective, d'où : $0!=1$. Un point, c'est tout.

L'application : $(x,y)\mapsto x^{y}$ est définie sur $\R_{+}\times \R_{+}$, à valeurs dans $\R$, avec $x^0=1$ si $x\in \R_{+}$ et $0^{y}=0$ si $y\in \R_{+}^{*}$, mais elle n'est pas continue en $(0,0)$. C'est pourquoi $"0^{0}"$ est une "forme indéterminée", ce qui signifie, comme quelqu'un l'a signalé, une impossiblité de conclure en général pour $u(x)^{v(x)}$, si l'on ne dispose pas d'autre information que : $\lim u(x)=0$ et $\lim v(x)=0$.

Il y a une myriade d'arguments en faveur de : $0^{0}=1$.

Déjà, comment notez-vous un polynôme, en général ? Vous le notez : $P(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}x^{k}$. Si l'on vous demande : "que vaut $P(0)$?", vous répondez : ben, bien sûr, $a_{0}$. D'accord, mais par ailleurs : $P(0)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}\cdot 0^{k}$, et expliquez-moi comment vous retrouverez $a_{0}$ si vous n'acceptez pas que $0^{0}=1$.

Second argument : quelle est la somme alternée de la ligne numéro $n$ du Triangle de Pascal, $S_{n}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}(-1)^{k}(_{k}^{n})$ ? C'est 0, c'est bien connu. D'accord, mais pas pour la ligne numéro $0$, car alors cette somme est égale à 1. En fait, $S_{n}=(1-1)^{n}=0^{n}$, d'où : $0^{0}=1$.

Tertio, argument d'autorité, la formule $0^{0}=1$ figure en personne dans Notre Livre Sacré : Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre I, Théorie des ensembles, chapitre 2, Ensembles ordonnés, cardinaux, nombres entiers, § 5, exponentiation des cardinaux, p. 46 dans l'édition de 1963 en fascicules : "On notera en particulier que l'on a $0^{0}=1$".

Et l'on pourrait en donner bien d'autres ...

Je suis personnellement sensible à cette question, car au temps lointain où j'ai passé le CAPES pratique, j'avais dit aux élèves que $0^{0}=1$, et un crétin d'IPR du jury m'a critiqué en disant que non, c'était une forme indéterminée. D'où la nécessité de mettre aux divers postes des gens compétents ... Heureusement, quelques années après j'ai passé l'agrégation, la seule à une époque où l'on n'avait pas inventé l'agrégation interne, et là, le jury l'était, compétent.

Bonne journée grise,
RC
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
C'est étonnant que ce truc fasse couler autant d'encre? Bon, histoire de jeter de l'huile sur le feu, je signale un truc peu connu dans les premières années de spécialisation: $(1+\N)=\N \neq (\N +1)$ :D

Et voici d'autres trucs encore moins connus: $(2\in 5) (70) (11) = 70$ ; $(5\in 1) (33) (55) = 55$ :D ;

ou encore $(3,5) (+) = + \ 3 \ 5 = 8 $ et enfin le nec plus ultra $[\forall x: R(x)] = [R = (t\mapsto ((x,y)\mapsto x))]$

Lesquels préférez-vous? :)-D
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
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@ christophe c
1. C'est quoi, les premières années de spécialisation ?
2. Je suis tout disposé à m'intéresser à ces formules, mais pour moi elles restent mystérieuses. Je présume que la première désigne une somme d'ordinaux, mais aucune idée pour les autres.
Bien cordialement,
RC
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
@RC, je ne faisais que troller, mais bon si tu veux, je te décris ce qui est sous-jacent à ce que j'ai dit

$\{vrai; faux\}$ n'a pas de définition mathématique, il est juste supposé donné en tant qu'ensemble ayant DEUX élements différents (souvent les gens aiment bien l'identifier à $(\Z/2\Z, +,\times ) $ mais pour avoir ça ça supposerait qu'on ait déjà $\Z$, etc, etc, bref ce sont ce qu'on pourrait appeler des questions de fondements)

On gagne en précision (de fondements) si plutôt que voir "vrai/faux" comme des objets arbitraires, on les considère comme des fonctions (je vais préciser lesquelles)

Comme tu sais (ou pas), toutes les mathématiques sont définies en termes ensemblistes avec 3 signes ($\forall ; $ =>; $\in$) dans l'authentique théorie T (contradictoire) obtenue avec le schéma naturel d'axiome Axi($R$):= $\forall ....: [\exists a\forall x: ((x\in a)\iff (R(x,...)))]$ + extensionnalité (ie l'axiome $\forall a,b,x: [a\subseteq b$=>$(b\subseteq a$ =>$(a\in x$=>$b\in x ) )]$, où $u\subseteq v$ abrège $\forall x: (x\in u$=>$x\in v)$ ) , contradiction qui a un peu gêné les platoniciens du début du siècle et a été "réparée" (provisiorement) en une substitution des axiomes de ZF à ceux de la théorie précédente (ZF restreint juste le genre des "R" ci-dessus telles qu'on considère que Axi(R) est acceptable)

Mis à part les scrupules*** puérils (et naifs) liés à la contradiction de T (remplacée par ZF), ce paradigme n'est rien d'autre que la prise de conscience et la volonté de ne pas restreindre artificiellement le champ d'étude scientifique. On a donc donné un nom à l'espace entre un sujet et un verbe (le nom $\in$) de sorte que les sujets et verbes sont devenus les mêmes type d'objets (des ensembles) et on pouvait ainsi parler de tout (et pas seulement de trivialités calculatoires concrêtes). Comme on ne peut pas avoir le beurre et l'argent du beurre, il y avait un prix à payer: la contradiction (bien connue, je prouve n'importe quoi via $a:=\{x \ |\ x\in x$ => $ desir \}$ puisqu'il est alors évident que $a\in a$ => $(a\in a$=>$desir)$ donc que $a\in a$=>desir donc que $a\in a$ donc que desir).

Pour ne pas payer ce prix, le paradigme ZF (il n'est pas dit historiquement que les créateurs de ZF aient été vraiment bien conscients de ça, la psychanalyse scientifique ne devait pas être très développée) fait la concession de ne parler que des petits ensembles, ie ceux qui intuitivement contiennent peu d'éléments et n'accepte actuellement comme preuve de maths que les énoncés prouvés dans T qui n'utilisent comme axiome que des $Axi(R)$ où $R$ apparait comme contenant peu de monde. (L'exemple célèbre ci-dessus montre qu'un "ensemble" contenant trop d'éléments est tellement puissant qu'il est capable de forcer 0 à être égal à 1, faux à être égal à vrai, etc et donc on "les maitrise mal" (même encore aujourd'hui))

Mais cependant une question se pose: pourquoi se focaliser sur les phrases (une phrase est un type d'objets grammatical dont la valeur est censée vivre dans $\{vrai; faux\}$)? Ya pas de raison après tout, le monde $\{vrai; faux\}$ (c'est à dire le monde des valeurs possibles pour une phrase) n'a rien de spécial. Avec le développement de l'informatique, c'est même devenue une banalité concrête, par exemple on pourrait tout à fait demander aux enfants de calculer la valeur de $((2+3)=(7\times 50))\vee (3=3)$ comme on demande de calculer $70+5$ par exemple. Et le résultat est "vrai" et c'est tout.

Dès lors le paradigme qui privilégie les phrases comme en quelques sortes le "dernier truc le moins prioritaire (au sens des parenthèses) qui doit finalement attérir sur le papier est largement arbitraire. De plus les langues naturelles (hors science) regorgent de suites de signes dont la valeur n'est pas dans $\{vrai; faux\}$, pense par exemple aux questions. La valeur d'une question n'est ni vrai, ni faux (en première approximation, par exemple une question qui commence par "est-ce que" est plutôt une application de $Monde$ dans $\{vrai; faux\}$. Mais un début de phrases (par exemple son sujet) n'a lui non plus pas une valeur dans $\{vrai; faux\}$.

Le principe grammatical à l'origine du paradigme ensembliste (qui a l'avantage d'être ultrasimple et universel) qui consiste juste à dire "écrivons les choses franchement, ne philosophons pas, donnons juste un nom à l'espace (le nom $\in$)" peut être appliqué à tout et pas seulement aux phrases. Ca donne une approche en tous points équivalente (les deux approches sont intertraductibles l'une dans l'autre trivialement) au paradigme ensembliste avec comme seule différence que les valeurs "d'arrivée" des suites de mots n'ont pas l'obligation d'être celle ($\{vrai; faux\}$) des phrases (ce n'est pas du tout dur pour ceux qui veulent de les transformer en énoncés ensemblistes (ie en phrases de toute façon)

Cette prise de conscience s'appelle plus ou moins "le lambda calcul" ou "la logique combinatoire" (ils ont à peu près le même usage) sauf que dans la littérature (donc il ne faut pas trop la prendre au sérieux) le point de vue (équivalent) ensembliste porte les sciences (approche plus sémantique) alors que lepoint de vue "lambda calculiste" s'est plutôt spécialisé en termes syntaxiques, ie porte l'informatique pour des raisons anecdotiques de chronologie historiques (la formalisation des phrases via ZF a juste été découverte AVANT la formalisation des suites quelconques de mots via les LC et les gens aiment bien s'exprimer avec des phrases.

Le deuxième point de vue offre tout de même un petit avantage dès lors qu'on accepte (ce qui est naturel) une petite convention informatique: "vrai" n'est plus juste un mot arbitraire, mais l'application canonique (appelée K) définie par $K (x) (y) :=x$ (ie c'est la première projection) et le mot "faux" n'est plus juste un mot arbitraire, mais l'application canonique (elle ne porte pas de nom officiel à ma connaissance) définie par $f(x)(y):=y$. Ca va bien avec l'informatique puisque "if test(x) then a else b" devient test(x)(a)(b) (je mets des parenthèses mais elles sont inutiles, c'est juste pour raccorder à ta familiarité avec la notation fonctionnelle "f(x)=f de x"

Dans ce deuxième point de vue l'espace a toujours la même signification (ie aucune :D :D ), mais on n'a plus besoin de l'appeler $\in$. Simplement, quand u est un ensemble "u v" signfie bien $v\in u$, mais pas besoin de le dire (sauf pour préciser qu'on attend, ce qui est subjectif que u soit "un ensemble, c'est à dire que $\forall x: u\ x$ ait une valeur dans $\{vrai; faux\}$ tels que définis ci-dessus.

Il y a des avantages à ce deuxième point de vue:

1) il élimine les quantificateurs (attention, ça ne veut surtout pas dire que la théorie est récursive pour autant, en fait elle l'est car elle est comme l'autre contradictoire*****) dès lors qu'on accepte le signe "=" comme notion première puisque $\forall x: R(x)$ veut juste dire que $R$ est la fonction constante qui envoie tout le monde sur $vrai$, donc veut juste dire que $R=K(K)$ (en toute rigueur, il vaut mieux mettre le "=" devant en notation polonaise (ie écrire "= a b" plutôt que "a=b" mais peu importe)

2) il autorise toutes les suites de symboles (et il n'y a donc pas besoin de réprimander des enfants qui écriraient des trucs au hasard) contrairement à la grammaire ensembliste qui veut qu'on écrive des phrases, et donc toutes les suites de symboles ont une valeur (à noter que depuis que le monde est monde civilisé, ie "parle" on sait au fond de nous qu'il devrait en être ainsi (quoique veuille dire une suite de signe, elle veut dire quelque chose puisque qu'à tout le moins elle désigne minimalistement l'application qui à un couple (u,v) associe ce que veut dire ce qu'on obtient si on ajoute u à gauche et v à droite) , mais qu'au fond, on ne l'avait que partiellement fait avec le paradigme ensembliste)

3) Il correspond à ce que fait un ordinateur (on peut appliquer une phrase p (ou n'importe quoi d'autre) à des arguments et quand c'est appliqué à deux ça nous est très familier: p x y évolue vers x si p est vraie et évolue vers y si p est fausse et enjoy si p n'est pas une phrase :D )

4) Il y a évidemment "équivalence" de démarche entre les deux paradigmes: deux ensembles peuvent s'appliquer l'un à l'autre via $a(b):=\{x\ | \ (b,x)\in a\}$

5) Certains objets sont plus "naturels", comme par exemple les couples: le "bon" couple $(x,y)$ est l'application $f\mapsto f(x)(y)$ (qu'on retrouve dans certains domaines comme les produits tensoriels, ie $(x,y)=x\otimes y$)

6) L'écriture ensembliste est remise dans le bon ordre "de gauche à droite": "a(b)" qui signifie $b\in a$ met de manière préférable "a" à gauche dans l'écriture

etc

En principe, via toutes ces (longues) infos tu peux relire mon précédent post et comprendre (enfin j'espère)


***** enfin pas exactement contradictoire, mais tous ses modèles sont des singletons (ie on peut y prouver que vrai = faux et donc que $x=vrai (x) (y)= faux (x) (y) = y$ )
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
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@ christophe c
Tout cela est fort brillant, mais ce n'est pas une partie des mathématiques qui m'est familière, et je me demande même si ce sont des mathématiques.
Je n'envisage pas de me passer des quantificateurs, ni de renoncer à réprimander ceux qui écrivent n'importe quoi, et je ne vois pas l'intérêt de faire ce que fait un ordinateur, à qui je me sens, moi et mes semblables humains, bien supérieur. Alors ces dits "avantages" n'en sont point pour moi.
Cela ne m'explique pas les formules précédentes, ni en quoi j'aurais tort d'affirmer que $0^{0}=1$.
Mais ne te lance pas dans d'autres longs développements, ça te prendra du temps, et je crains que ce soit pour rien.
Bonne journée.
RC
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
oula je n'ai surtout pas dit que tu avais tort de dire que $0^0=1$ (je suis bien d'accord avec ça au contraire et ai déjà défendu cette position sur des fils analogues à celui-là dans le passé avec exactement le même argument que celui que tu as donné)

Pour les avantages, ça ne collapse nullement les humains aux ordinateurs, t'inquiète, bien au contraire. Ca permet juste grammaticalement de tout comprendre correctement. Mais un ordinateur ne sait pas que $\Q\subseteq \R$ par exemple.

L'élimination des quantificateurs est importante en ce qu'elle montre ici (dans d'autres théories ça montre qu'on a un algorithme pour dire si tout énoncé est vrai ou faux) que $K, W, C, =, espace $ suffisent à parler de tout, c'est tout

(où $W(x)(y):=x(y)(y)$ et $C(x)(y)(z):=(y\circ x)(z):=y(x(z))$ et $[\forall xR(x)] := ( = R(K(K)))$ )

Tu peux abstraire tes propos et c'est général (par exemple, tu peux vouloir parler de $x\mapsto x (a)$ ) via (W,K,C), c'est pourquoi je les ai rajoutés. Pour l'exemple $(x\mapsto x(a) $; il s'agit en fait de $W(C(K(a)))$ car $W(C(K(a))) (x) = C(K(a)) (x) (x) = x(K(a)(x)) = x(a)$, autrement dit (et c'est général) tu peux te passer de la flèche $x\mapsto$ qui est reconstruisable via $W,C,K$

Je t'explique une de mes formules et te laisse les autres en exos si ça t'intéresse: $(3\in 77)(5)(8) = 5$ vient du fait que $(3\in 77)(5)(8) = vrai(5)(8) = K(5)(8) = 5$

edit: revenant pour corriger une faute d'ortographe, j'en profite pour te mettre des "petits exos rigolos". (E(x)(y) renvoie vrai (c'est à dire K) quand x=y et faux ( rappel: faux(x)(y)=y ) sinon)

0.1) avec 1:=W(K), prouve que 1(x)=x
0.2) on peut fabriquer "faux" avec "vrai" et les autres: prouve que faux = K (1). Autrement dit, faux = K( W(K) )
1) et (a) (b) = a(b)(faux)
2) implique (a) (b) = a (b) (vrai)
3) ou (a) (b) = a (vrai) (b)
4) non (a) = a (faux) (vrai)
5) équivalents (a) (b) = a (b) ( non(b) )
6) En utilisant m(m) où m:=C ( W(1) ) (non) , prouve que vrai = faux et enfin que x=y, quelques soient x,y

7) Les quantificateurs deviennent "enfin" de vrais objets (que de gens ça a pu embêter que ce ne soit pas le cas), puisque par exemple $\forall =(x\mapsto (E (vrai(vrai)) x)) = E ( K (K) ) $ et $\exists = (x\mapsto non ( \forall (x) )) = C (\forall ) (non) $ (exercice)
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
avatar
En fait la règle du $0^0$ se trouve dans Bourbaki, Algèbre, chapitre 1, p13.

Pour un magma unifère $(E,\top)$, si $e$ désigne l'élément neutre, on pose, par convention $\displaystyle \mathop{\top}^0 x=e$ pour tout $x$ de $E$. Avec ces définitions, les théorèmes machins choses sont vrais même si les ensembles trucs sont vides. (pour faire court).

Dans le livre de topologie de Bourbaki, chapitre 5, p14 (exponentielles et logarithmes), il est dit :
<<On notera que le prolongement par continuité de $x^y$ ne permet pas de retrouver la formule $0^0=1$ qui résultait des conventions faites en Algèbre (A, I, p. 13); il convient d'éviter toute confusion à cet égard. >>
mamane
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
un doute m'habite.

si je considère la forme exponentiel/ln d'une puissance, j'ai 0^0=exp(0*ln(0)) ce qui horrible à mes yeux alors en passant par une limite peut etre y arrive-t-on ?

lim(x*ln(x),x,0) = 0 et exp(0)=1 donc a priori on a bien 0^0 qui serait 1

mais est-ce vrai pour tte fonction ? je veux dire est ce que lim(g(x)*ln(f(x)),x,0) = 0 si lim g(x) = 1 et lim f(x) = 1 si x->1 ?

après plusieurs tests sur wolfram ça à l'air de fonctionné

mais j'ai aussi
lim(exp(-abs(1/x)),x,0) = 0 et lim(abs(x),x,0)=0

mais

lim(abs(x)*log(exp(-abs(1/x))),x,0)= -1 donc 0^0 = 1 ne fonctionne pas ici.

et maintenant ma question est ce que j'ai écrit une bétise qq part ?
mamane
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
aahhh j'ai fait une erreur de frappe !! il fallait bien sur lire

lim(g(x)*ln(f(x)),x,0) = 0 si lim g(x) = 0 et lim f(x) = 0 si x->0 ?
khj
convention
il y a huit années
Bonjours,
Je voudrais savoir $0^0$ existe en math ou non?
H
Re: convention
il y a huit années
On peut lui donner un sens bien sûr. Tu peux d'ailleurs lui donner le sens que tu veux.
Re: convention
il y a huit années
Oui et Non !
Re: convention
il y a huit années
avatar
Bonjour.

Citation
khj :
Je voudrais savoir $0^0$ existe en math ou non?

Que signifie pour toi "exister en maths" ? As-tu déjà croisé le chemin d'un cercle ou d'un carré ?

Bruno
wiam
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
un prof ma dit cherche la solution de 0 puisance 0 svp donne moi la réponse. et merci
H
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
Non il ne t'a pas demandé cela. Ou alors il s'est fichu de toi. Ou alors il sentait pas bon.
Félix
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
Ca rappelle du Brel, çà.
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
Bonjour Wiam.

C'est donc à toi de chercher. Cherche !
Mais tu peux lire cette discussion, pour te donner des idées.

Cordialement.
JJ
Re: 0 exposant 0
il y a huit années
avatar
Salut Wiam,

Si vraiment un prof t'a posé cette colle ... N'y aurait-il pas un brin de perfidie là-dessous ?
En tout cas, pour répondre, tu trouveras pas mal d'idées dans cette discussion (et dans beaucoup d'autres du même genre sur le net)
Tu peux aussi jetter un coup d'oeil à un article de vulgarisation : "zéro puissance zéro" par le lien : [www.scribd.com]
Nicolas h
Re: 0 exposant 0
il y a sept années
Bonjour, ma prof m'as mis une faute car j'ai écrit $0$ a la question $0^0 = 0$. Qui a raison je ne dis pas quelle a tord ou non mais au moins trouver un façon simple de l'explique merci beaucoup
Re: 0 exposant 0
il y a sept années
Bonsoir.je ne comprends pas vraiment ce que tu veux dire, car je ne sais pas quel est ton niveau ni le contexte de la question. Mais tu as tout ce fil pour voir que si on est dans une situation où 00 a une signification, alors c'est le plus souvent 1 qui est sa valeur. Si tu étais dans un calcul de limite, alors oui, c'est une erreur, et tu n'as pas bien appris tes leçons !

Cordialement.
Re: 0 exposant 0
il y a sept années
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