convergence dans un espace topologique
On pose $\Omega_r=\{(x,y) \in \R^2, x^2+y^2=r^2,\ r\in \R_+\}$ et on désigne par $\sigma$ la famille constituée de l'ensemble vide et de toutes les réunions des ensembles $\Omega_r.$
On sait que $(\R^2,\sigma)$ est un espace topologique.
La question est : étudier dans $(\R^2,\sigma)$ la nature de la suite $(u_n)_n=((\sin n,\cos n))_n$
Je suis complétement perdue. Comment on répond à ce genre de question ?
Et merci pour l'aide.
On sait que $(\R^2,\sigma)$ est un espace topologique.
La question est : étudier dans $(\R^2,\sigma)$ la nature de la suite $(u_n)_n=((\sin n,\cos n))_n$
Je suis complétement perdue. Comment on répond à ce genre de question ?
Et merci pour l'aide.
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Réponses
À quelle condition une suite converge-t-elle vers un tel $x$ dans ces conditions ?
Les réunions de cercles sont bien les ouverts de cette topologie?
Si oui, cette topologie est-elle séparée? Où sont les éléments de ta suite? Quels sont les ouverts qui la contiennent?
2- Les éléments de cette suite sont dans $[-1,1] \times [-1,1]$,
3-Quels sont les ouverts qui la contiennent ? Je ne sais pas répondre à cette question. Comment le savoir?
La suite tend vers n'importe quel élément du cercle trigonométrique.
Mais tu dis toi-même:
Ce qui conduit à penser que la consigne est de ne pas la justifier. Partant de là,
u tend vers a est une abréviatoin de pour tout ouvert $V$ qui contient $a$ comme élément, il existe un entier $n$ tel que pour tout entier $p\geq n: u_p\in V$
et LR se contente (comme tu aurais pu le faire, savoir quoi est l'abréviation de quoi est la base pour parler) de lire (**) et de constater qu'il est vrai pour ta suite $u$ et tout élément du cercle trigo. Prérequis: savoir que $(cos(n),sin(n))$ est un élément de ce cercle.
Remarque: la consigne "quelle est la nature de...?", bof bof
Es-tu certaine de la définition de $\Omega_r$ ?
Avec tout mon respect,
Thierry
$$
\Omega_1=\left\{(x,\,y)\in\R^2\,:\,x^2+y^2=1^2=1\right\}
$$
pour tout $n$ de $\N$, non ? Remarque bien la définition de $\Omega_1$.
Thierry
Les $u_n$ ne seraient-ils pas tous dans un même ouvert ?
Quels sont les ouverts de ta topologie ?
Amicalement
Volny (qui va se coucher)
[Edit : Ne pas oublier de cocher la case "LaTeX". Bonne nuit ! (T. P.)]
Bin prends un élément $t$ du cercle trigo, et demande-toi si la forme désabrégée de u tend vers t est vraie dans ton espace topologique alors. Pourquoi tu ne le fais pas?
Le raisonnement se fait comment? Please.
et est-ce que le fait que cette topologie ne soit pas séparée peut nous aider à déduire la nature de la suite $(u_n)_n$?
Une condition nécessaire pour répondre à la question est de savoir ce qu'est $(\R^2,\sigma)$.
$\sigma$ est un ensemble de parties de $\R^2$ qui définit ce qu'on appelle "l'ensemble des ouverts de cet espace topologique".
Dans ce cas précis, on sait décrire $\sigma$. Peux-tu décrire, pour un point $a\in \R^2$ les voisinages de $a$ ?
Si oui, tu as la réponse tout de suite, sinon repose la question et on essaiera d'être plus précis.
Alors, les voisinage de $a$ sont tous les ensemble de $\R^2$ qui contiennent le cercle trigonométrique.
La suite $u_n$ n'appartient qu'au cercle trigonométrique $\Omega_1$ comment conbtinuer le raisonnemment alors?
un ouvert est un voisinage (il se contient lui-même).
Reste à utiliser la définition de "converge" (à compléter avec le quantificateur sur V qui n'est pas apparu) en notant qu'ici, les $\Omega_r$ sont des "plus petits voisinages".
Cordialement.
Je cherche à écrire un raisonnement correcte. Vu que la question n'est pas de prouver que $(u_n)_n$ converge, mais d'étudier la nature de la suite. Quelle est la façon la plus correecte d'écrire un raisonnement ici? J'essaye ceci: on remarque que la suite $(u_n)_n$ appartient à l'ouvert $\Omega_1$ mais à paretir de là, je ne trouve plus d'argument...
- montre que pour tout $a \in \Omega_1$ et tout $r \geq 0$, on a $u_n \in \Omega_r$ si et seulement si .....
- montre que tout ouvert de $\sigma$ s'écrit sous la forme $U_J := \bigcup_{r \in J} \Omega_r$ pour un et une seul $J \subset \R_+$ ;
- détermine une condition nécessaire et suffisante sur $J$ pour que $a \in U_J$, si $a \in \Omega_1$.
- déduis-en que si $a \in \Omega_1$, tout voisinage de $a$ contient $\Omega_1$.
Maintenant c'est à toi de produire quelque chose...
-Montrer que tout ouvert $\sigma$ s'écrit sous la foume $U_J=\cum_{r\in J} \Omega_r$ pour un seul et unque $J$ dans $\R_+.$ On sait par définition de $\sigma$ que les ouverts sont réunion de $\Omega_r$ mais je ne vois pas comment justifier l'unicité. (pourquoi tout ouvert s'écrit de manière unique)?
-Détérminer une conditionn nécessaire et suffisante sur $J$ pour que $a \in U_J$ si $a \in \Omega_1.$ C'est $1 \in J.$
Quelle est l'idée que vous voulez me faire comprendre par ces étapes? et est-ce que le fait que $(\R^2,\sigma)$ ne soit pas séparable joue un role ici?
Ce que je veux te faire comprendre, et surtout démontrer proprement, c'est ce que tu as dit : mais surtout c'est le plus petit ouvert qui contient n'importe quel $a \in \Omega_1$ ; il n'y a pas de "sous-ouvert" de $\Omega_1$, c'est un "atome" de la topologie.
Une fois que tu as montré ça, ça devient beaucoup plus facile de montrer que $u_n \to a$ pour tout $a \in \Omega_1$ (en utilisant la définition de la convergence).
- Et on sait que tout ouvert $\sigma$ s'écrit par $U_J = \cup_{r\in J} \Omega_r$ où $J$ est unique.
- Une condition nécessaire et suffisante sur $J$ pour que $a \in U_j$ si $a \in \Omega_1$ c'est que $1 \in J.$
$\Omega_1$ est le plus petit ouvert qui contient la suite $(u_n)_n$ et pour tout $a \in \Omega_1$, on peut trouver un voisinage de $a$ : $U_J = \cup_{r\in J} \Omega_r$ où $1 \in J_1$ telle que que $u_n \in J_1.$
On n'a pas montré la relation quelque soit $a$ dans $\Omega_r$, on l'a montré seulement que $(u_n)$ converge vers $a \in \Omega_1$.
La nature de la suite $(u_n)$ est qu'elle est convergente vers un élément $a$ de $\Omega_1.$ Et on n'a pas eu l'intuition de chercher l'existence de $a$ dans $\Omega_1$ parce que $(u_n)_n$ est contenue dans $\Omega_1.$
On pose $\Omega_r=\{(x,y) \in \R^2, x^2+y^2=r^2,\ r\in \R_+\}$ et on désigne par $\sigma$ la famille constituée de l'ensemble vide et de toutes les réunions des ensembles $\Omega_r.$
Détérminer dans $(\R^2,\sigma)$ les valeurs d'adhérence de la suite $(v_n)_n=((-1)^n + 2, (-1)^n+3)_n$.
Par définition, on dit qu'une suite quelconque $(x_n)$ admet une valeur d'adhérence $a$ ssi pour tout $V \in \mathcal{V}(a)$, il existe un nombre infini d'indices de la suite $(x_n)_n$ tel que $(x_n) \in V$: $card \{k \in \N, x_k \in V,\ \forall V \in \mathcal{V}(a)\}=+\infty$
Je connais la définition mais je ne sais pas comment l'appliquer pour trouver les valeurs d'adhérences de $(v_n).$ Y aurait-il une manière simple de les trouver ?
et merci de l'aide.
PS: Merci très chers modérateurs de laisser les deux topic séparées, parce que les deux questions sont séparées et aussi difficiles l'une que l'autre (pour moi).
[Je fusionne car ceux qui vont te répondre, te diront la même chose sur l'une et l'autre discussions. AD]
Alors, que vaut $v_n$ pour $n$ pair et pour $n$ impair? A quel(s) ouvert(s) ces termes appartiennent?
Quelle relation ? et la fin de ton message est encore plus obscure pour moi. Un petit effort de clarté serait le bienvenu.
si $n$ est paire: $(v_n)= (3,4)$ et elle appartient à $\Omega_5$ et aussi, aux ouverts de la formes $U_J=\cup_{r\in J} \Omega_r$ où $5 \in J.$
Si $n$ est impaire: $(v_n)=(1,2)$ et elle appartient à $\Omega_{\sqrt{5}}$ et aussi aux ouverts de la forme $U_J=\cum_{r\in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5} \in J.$
J'aimerai bien savoir comment enchainer ce raisonnement.
Cordialement.
Les points d'adhérence de la suite $(v_n)$ sont 5 et $\sqrt{5}$. J'en suis sure.
Je pense aussi (tu)
Les points d'adhérence de $(v_n)_n$ sont $(3,4)$ et $(1,2)$. Les points d'adhérences de $(v_n)$ sont les points qui appartiennent $\Omega_5 \cup \Omega_{\sqrt{5}}$.
Petit retour sur la notion de limite :
On dit que $a$ est un point limite de la suite $(u_n)$ si ...
On dit qu'une suite converge si elle admet un point limite.
Une suite peut avoir plusieurs points limites.
L'unicité du point limite (qu'on appelle alors "limite") est obtenue moyennant une hypothèse supplémentaire sur la topologie.
L'hypothèse "espace séparé" est la plus utilisée, mais d'autres hypothèses peuvent entrainer l'unicité de la limite.
Je laisse aux spécialistes de la topologie le soin d'en faire une liste (non exhaustive).
Parmi tous les axiomes qui entrainent l'unicité du point limite il y a ... l'unicité du point limite qui peut s'écrire sous la forme :
($a$ point limite de $u_n$ et $b$ point limite de $u_n$ ) implique $a=b$.
Peut-être que Luluu pourrait nous proposer une rédaction de l'intégralité de l'exercice pour nous convaincre ?
On commence par remarquer que $u_n \in \Omega_1$, et par définition de $\sigma$, on sait que tout ouvert de $\sigma$ s'écrit sous la forme $U_J = \cup_{r \in J} \Omega_r$ pour une et une seule partie de $\R_+$ notée $J$.
Puisque la suite $(u_n)$ est dans $\Omega_1$, on commence par regarder s'il y'a une limite dans $\Omega_1.$ Si $a \in \Omega_1$, alors la condition nécessaire et suffisante pour que $a \in U_J$ est que $1 \in J.$ Donc, on déduit que si $a \in \Omega_1$, tous les voisinages de $a$ contiennent la suite $(u_n)_n.$ $\Omega_1$, donc, il contient $(u_n)$. Par conséquent; $(u_n)$ converge pour la topologie $(\R^2,\sigma)$ vers tous les élément appartenant à $\Omega_1.$
La question que je me pose, après avoir lu le post de Zéphir, c'est est ce que $a$ est unique?
Récapituation de la réponse à la question: détérminer dans $(\R^2,\sigma)$ les valeurs d'adhérence de la suite $(v_n)_n=((-1)^n+2,(-1)^n+3)_n$.
Par définition, on dit qu'une suite $(v_n)$ admet une valeur d'adhérence $b$ ssi pour tout $V \in \mathcal{V}(b)$, il existe un nombre infini d'indices de la suite $(v_n) \in V$ .
Il faut commencer par savoir les valeurs de $(v_n)_n$. Pour celà, il faut distinguer deux cas:
- si $n$ est pair: $v_n=(3,4)$ et elle appartient à $\Omega_5$ et aux ouverts de la forme $U_J = \cum_{r \in J} \Omega_r$ où $5 \in J$.
-Si $n$ est impair: $v_n = (1,2)$ et elle appartient à $\Omega_{\sqrt{5}}$ et aux ouverts de la forme $U_J=\cum_{r \in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5} \in J.$
En résumé, la suite $(v_n)$ appartient à $\Omega_5 \cap \Omega_{\sqrt{5}}$ et aux ouverts de la forme $\cum_{r\in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5}$ et 5 appartiennent à $J.$ Par conséquent, les valeurs d'adhérence de $(v_n)$ sont les éléments de $\Omega_5 \cup \Omega_{\sqrt{5}}$.
Tout point $a$ qui vérifie la propriété $$\forall w\in V(a),\ \exists p\in \N\
Relie bien mon message précédent. L'ensemble des points limites, quand il est non vide, n'est pas nécessairement réduit à un point, sauf hypothèse supplémentaire sur la topologie en question.
Une petite remarque : si $a\in \Omega_r$ tout voisinage de $a$ pour cette topologie contient $\Omega_r$.
merci bien Zephir pour toutes ces précisions. J'ai ainsi amélioré la rédaction dans mon précédent post. Et voici pour la seconde question. Une remarque?
Récapituation de la réponse à la question: détérminer dans $(\R^2,\sigma)$ les valeurs d'adhérence de la suite $(v_n)_n=((-1)^n+2,(-1)^n+3)_n$.
Par définition, on dit qu'une suite $(v_n)$ admet une valeur d'adhérence $b$ ssi pour tout $V \in \mathcal{V}(b)$, il existe un nombre infini d'indices de la suite $(v_n) \in V$ .
Il faut commencer par savoir les valeurs de $(v_n)_n$. Pour celà, il faut distinguer deux cas:
- si $n$ est pair: $v_n=(3,4)$ et elle appartient à $\Omega_5$ et aux ouverts de la forme $U_J = \cum_{r \in J} \Omega_r$ où $5 \in J$.
-Si $n$ est impair: $v_n = (1,2)$ et elle appartient à $\Omega_{\sqrt{5}}$ et aux ouverts de la forme $U_J=\cum_{r \in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5} \in J.$
En résumé, la suite $(v_n)$ appartient à $\Omega_5 \cap \Omega_{\sqrt{5}}$ et aux ouverts de la forme $\cum_{r\in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5}$ et 5 appartiennent à $J.$ Par conséquent, les valeurs d'adhérence de $(v_n)$ sont les éléments de $\Omega_5 \cup \Omega_{\sqrt{5}}$.
"En résumé, la suite $ (v_n)$ appartient à $ \Omega_5 \cap \Omega_{\sqrt{5}}$ "
Erreur de notation (cap au lieu de cup ?) ?
"et aux ouverts de la forme $ \cup_{r\in J} \Omega_r$ où $ \sqrt{5}$ et 5 appartiennent à $ J.$ "
"Par conséquent, les valeurs d'adhérence de $ (v_n)$ sont les éléments de $ \Omega_5 \cup \Omega_{\sqrt{5}}$."
Pourquoi ? Nulle part la définition de valeur d'adhérence n'est utilisée, ni un théorème en rapport.
Cordialement.
NB : Le résultat est bon, c'est la preuve qui manque.
1- Egoroffski a dis dans un défil: on peut egalement remarquer que $\sigma$ est l'image inverse de la topologie discrete sur $\R_+$ par l'application "norme".
Comment l'avez-vous remarquer?
2- On considère la projection $\pi_1:(\R^2,\sigma) --> (\R,|.|)$.
-étudier la continuité de $\pi_1$ en chaque point du domaine de définition .
Soit la projection $\pi_1$ qui, à tout point $X=(x,y)$ associé l'image $\pi_1(X)= x$.
$\pi_1$ est continue en $X_0(x_0,y_0)$ ssi $\forall W \in \mathcal{V}_{\pi_1(X_0)}: \pi_1^{-1}(W) \in \mathcal{V}(X_0)$
Soit $X_0(x_0,y_0) \in \R^2.$ Par définition de $\pi_1,$ on a $$\pi_1(X_0)=x_0 \quad \mbox{et} \mathcal{V}_{\pi_1(X_0)} = ]x_0-\epsilon, x_0+\epsilon[, \quad \epsilon > 0$$
$\pi_1(X_0) \in ]x_0-\epsilon,x_0+\epsilon[ ==> x_0-\epsilon \leq x_0 \leq x_0 + \epsilon ==> x_0 \in ]x_0-\epsilon,x_0+\epsilon[.$
Donc, $X_0=(x_0,y_0) \in ]x_0,y_0,x_0+y_0[ \times \R$ et ce dernier n'est pas un voisinage pour $X_0.$ Donc, $\pi_1$ n'est pas continue en tous point de son domaine de définition.
3-$\mathcal{P}(\R^2)$ est plus fine que $\sigma$ puisque $\mathcal{P}(\R^2)$ contient le plus grand nombre d'ouverts, et $\sigma$ est incluse dans $\mathcal{P}(\R^2).$
4- L'espace $(\R^2,\sigma)$ n'est pas séparé, car il existe toujours deux points distincts tels que l'intersection de leurs voisinages n'est pas l'ensemble vide, et ca parceque tous les ouverts de cette topologie sont des cercles qui ont le meme centre (par contre les ouverts de cette topologie sont deux à deux disjoints).
5- Pour vérifier que $(\R^2,\sigma)$ est une topologie, il faut vérifier que l'intersection finie d'ouvert est un ouvert. J'ai écris ceci $$\cap_{i=1}^n (\cup_{r_i} \Omega_{r_i}) = \cup_{r_i} (\cap_{i=1}^n \Omega_{r_i})$$ Qu'en pensez-vous?