Il fallait lire (et donc moi écrire) modulo 13. Bon je vais le détailler pour montrer que je n'arnaque pas:
On a vu que $b$ impair, $b=2b'+1$. Alors (tout modulo 13)
$$\begin{array}{rcl}
3^a&=&2^b\\
3^a&=&2^{2b'+1}\\
3^a&=&2\times4^{b'}\\
3^a&=&2(-3)^{-b'}\\
3^a&=&2(-1)^{-b'}3^{-b'}\\
3^{a+b'}&=&2(-1)^{-b'}\end{array}$$
Comme $3^3\equiv 27\equiv1\pmod {13}$, les seules puissances de 3 sont $1,3,9$ qui n'est jamais égal à $\pm2$.
énoncé 53 :un peu d'analyse
$B$ l'ensemble des fonctions de $[0.1]$ dans $[0,1]$, muni de la métrique $d(f,g)=\sup\limits_{x\in[0,1]} |f(x)-g(x)|$.
Le sous-ensemble des fonctions continues y-est-il dense ?
énoncé 55 : de la géométrie ?
Soit E un ensemble de point du plan euclidien tel que la distance entre deux points (distinct) soit dans $[\frac{1}{2},1]$.
Montrer que E est un ensemble finie.
Montrer que le plus petit majorant $m$ est plus grand que 7.
Je n'ai pas la solution, mais le $55$ est rigolo.
Quels sont les $a,b$ pour lesquels on peut remplacer $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ par $[a;b]$ ?
Et quel est alors le plus petit majorant $m$ en fonction de $a$ et $b$ ?
Et peut on remplacer le plan euclidien par $\mathbb{R}^n$ avec $n \geq 3$ ?
Il suffit $0<a\leq b$ me semble-t-il.
Je ne connais pas le meilleur majorant, même dans le cas [1/2,1].
Oui, on peut travailler dans des espaces de dimension plus grande mais qui reste de dim finie.
Bravo, c'est ce genre d'astuce utilisé ici.
Mais il faut que tu m'expliques comment es-tu sûr d'avoir tous les points à l'intérieur d'une boule de rayon $\frac{a+b}{2}$, pour la boule de rayon $b$ pas de problème mais là je ne vois pas.
Oui je m'ai tromper au sujet de $b/2$. Pare-contre le $+a/2$ est las pour garantir que la petite boule centrée autour d'un point qui est sur la frontière de la grosse boule est elle-même incluse dans cette dernière (je ne cherche pas l'optimalité).
énoncé 57 :Erdös revisité
Soit E un ensemble infinie de points du plan euclidien tel que la distance entre 2 points de E est rationnelle.
L'ensemble des points de E sont-ils alignés ?
énoncé 58 :de la géolyse
Soit K un compact connexe par arc du plan euclidien, qui possède un infinité d'axe de symétrie.
Montrer que K est connexe par arc $C^\infty$.
Pour les énoncés 55 et 56, la méthode de Shah d'Ock donne $m\leqslant 25$. Plus généralement, pour toute norme sur $\R^n$, si $m$ points sont deux à deux à distance comprise entre $a$ et $b$ alors $m\leqslant \left( \dfrac{a+2b}{a}\right)^n$.
Pour le plan Euclidien, on a une configuration de $7$ points en prenant un hexagone régulier de côté $1/2$ avec son centre.
On a aussi la majoration $m\leqslant 10$. En effet, quitte à faire un homothétie on peut supposer que deux des points sont à distance $1$. On dessine alors une grille dont les côtés font $1/3$ et $0.34$ comme dans la figure ci-dessous. Comme tous les points sont situés à distance $\leqslant 1$ de $A$ et de $B$, ils sont tous à l'intérieur du grand rectangle. Une case ne peut contenir deux points. En particulier, les quatre cases qui touchent $A$ ou $B$ ne contiennent pas d'autre point que $A$ et $B$. De plus, s'il y a un point dans l'une des six cases du haut, alors la case qui se trouve quatre crans plus bas ne contient pas de point. Par conséquent, la réunion des six cases du haut et des six cases du bas contient au plus 6 points.
@JLT : bravo, tu as obtenu une majoration meilleure que la mienne.
Dans le cas général tu utilises la méthode de Shah d'Ock, peux tu me dire pourquoi les points seraient dans une boule B de rayon $\frac{a+b}{2}$, ensuite pourquoi il suffit de $(\frac{a+2b}{a})^n$ boules de rayon $\frac{a}{2}$, pour avoir un recouvrement de B.
Enfin on pourrait utiliser ta méthode (dans le cas particulier) pour avoir un majorant $2^{n-1}$ fois plus petit, non ?
énoncé 60 :étrange ?
Soit $f$ une fonction $C^\infty$ de $\R^n$ dans lui même tel que $f(0)\neq 0$, montrer qu'alors $f$ admet une valeur propre entière (càd il existe $k$ entier et $x\in \R^n$, $x\neq 0$ tel que $f(x)=k.x$).
Je détaille la méthode de Shah d'Ock. Soit $E=\{x_1,\ldots,x_m\}$ un ensemble fini de points dont les distances mutuelles sont comprises entre $a$ et $b$. Alors les boules ouvertes $B(x_i,\frac{a}{2})$ sont deux à deux disjointes, et incluses dans $B_f(x_1,b+\frac{a}{2})$. Comme une boule de rayon $R$ a un volume proportionnel à $R^n$, on a $m(a/2)^n\leqslant (b+\frac{a}{2})^n$, donc $m\leqslant (\frac{a+2b}{a})^n$.
Avec la méthode de mon message précédent, dans le cas de la norme Euclidienne, on peut affiner un peu la majoration. Par exemple, on peut supposer qu'il existe deux points $A$ et $B$ à distance $b$. Soit $C$ le milieu de $[AB]$, alors les $m$ boules sont incluses dans une boule de centre $C$ et de rayon $\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{a}{2}$. On peut même affiner encore mais c'est plus compliqué ; en tout cas je ne vois pas de manière de faire beaucoup mieux.
Il me semble, qu'il existe une manière de calculer m, je l'ai mis partiellement en oeuvre et il semblerait que m=7.
Comme 10 lignes ne suffisent pas pour développer ce résultat, je demande juste de décrire la marche à suivre, et non de le faire effectivement.
énoncé 63 :intéressant ?
Existe-t-il une norme $||.||$ et une fonction $f$ sur $\R^n$ tel que pour tout $x,y$ dans $\R^n$ $||f(x)-f(y)||^3=||x-y||^2$ ?
Comme l'énoncé 63 n'est pas quantifié, je décide que l'énoncé demande s'il existe une norme et une fonction $f$ telle qu'il existe $x $et $y$ vérifiant blablabla, et je dis que la réponse est oui, en prenant $x=y= 0$ et en prenant n'importe quoi comme norme et comme fonction.
PS: tu prétends faire des maths, commence par écrire de vrais énoncés mathématiques complets, qui ont du sens.
énoncé 64 :difficile ?
On note $A_n=[0,n]\cap \N$, $\R_n[x]$l'ensemble des polynômes réels de degrés au plus $n$, $B_n=\{P\in \R_n[x]\mid \forall i \in A_n,\ P(i)\in A_2\}$.
Montrer que pour tout $n>3$ dans $\N$, il existe $P \in B_n$ tel que : $\deg(P)>\frac{2n-1}{3}$.
J'aime bien le 57. Comme dit Greg, tu ne veux toujours pas faire l'effort de rédiger des énoncés complets et corrects? Le 60 par exemple, n'a aucun sens.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
énoncé 65 :la racine fonctionnelle
Trouver une fonction $g$ de $[-1,0]$ dans lui même et une approximation de $g$ sur $-1,\frac{1}{2},0$ à $10^{-1}$ : vérifiant $g(g(x))=x^2+2x$
énoncé 66 :et les autres
Trouver une fonction $g$ de $[-1,1]$ dans lui même et une approximation de $g$ sur $-1,0,1$ à $10^{-1}$ : vérifiant $g(g(x))-4g(x)=x^2$
énoncé 67 :
Trouver toutes les fonctions $f$ de $\R^3$ euclidien dans $\R^2$ euclidien, tel qu'il existe $g$ de $\R^+$ dans $\R^+$ avec pour tout $x,y$ dans $\R^3$ $||f(x)-f(y)||=g(||x-y||)$.
Pour le 53, c'est facile : considérer $g$ la fonction indicatrice des irrationnels.
Alors si on a $f$ une fonction continue, elle vérifie $d(f,g) \geq \frac{1}{2}$
Supposons que $d(f,g) = \epsilon$
Alors $|f(0) - g(0)| \leq \epsilon$, c'est à dire $f(0) \leq \epsilon$. Mais il existe une suite $x_n$ d'irrationnels tendant vers 0 tels que $f(x_n) \to f(0)$ (par continuité) et $g(x_n) = 1$.
Ainsi $\forall n, \epsilon \geq d(f,g) \geq |f(x_n)-g(x_n)| = 1-f(x_n)$
Et alors en passant à la limite, $\epsilon \geq 1-\epsilon$, d'où $\epsilon \geq \frac{1}{2}$
Ainsi on n'a pas la densité.
Pour le 54 : tout espace métrique compact est homéomorphe à un sous espace du cube de Hilbert, son cardinal est donc au plus celui de $\Bbb R$. La réponse est donc négative
énoncé 70 : classique ?
Soit $\R^n,||.||$espace de dimension finie normé, avec $n>1$ trouver toutes les fonctions $g$ de $\R^+$ dans lui même tel qu'il existe $f$ de $\R^n$ dans lui même, surjective tel que : pour tout $x,y$ $||f(x)-f(y)||=g(||x-y||)$.
énoncé 71 :un nouveau théorème de point fixe ?
Soit $f$ continue de $K$ dans lui même, avec $K$ compact connexe de $\R^n$. A-t-on alors $f$ admet un point fixe ?
Réponses
On a vu que $b$ impair, $b=2b'+1$. Alors (tout modulo 13)
$$\begin{array}{rcl}
3^a&=&2^b\\
3^a&=&2^{2b'+1}\\
3^a&=&2\times4^{b'}\\
3^a&=&2(-3)^{-b'}\\
3^a&=&2(-1)^{-b'}3^{-b'}\\
3^{a+b'}&=&2(-1)^{-b'}\end{array}$$
Comme $3^3\equiv 27\equiv1\pmod {13}$, les seules puissances de 3 sont $1,3,9$ qui n'est jamais égal à $\pm2$.
$u_{n+1}=u_n^2+1 \mod 5^{20}$ et $u_0=1$
Comment calculer : $u_{2^{100}}$ ?
énoncé 51 :
On rappelle $2^{607}-1$ est un nombre premier, calculer : $$\sum_{i\in[2,2^{605}]} \frac{1}{1-i^2} \pmod{2^{607}-1}$$
On note $(n!)_2$ la factorielle de n alléger de 2, qui est le produit des nombres entre 1 et n, à l'exception des nombres pairs.
Calculer :$(2^{77}!)_2 \mod 2^{101}$
$B$ l'ensemble des fonctions de $[0.1]$ dans $[0,1]$, muni de la métrique $d(f,g)=\sup\limits_{x\in[0,1]} |f(x)-g(x)|$.
Le sous-ensemble des fonctions continues y-est-il dense ?
Existe t-il une métrique qui rende $B$ compacte ?
Soit E un ensemble de point du plan euclidien tel que la distance entre deux points (distinct) soit dans $[\frac{1}{2},1]$.
Montrer que E est un ensemble finie.
Montrer que le plus petit majorant $m$ est plus grand que 7.
Majorer card(E).
Je n'ai pas la solution, mais le $55$ est rigolo.
Quels sont les $a,b$ pour lesquels on peut remplacer $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ par $[a;b]$ ?
Et quel est alors le plus petit majorant $m$ en fonction de $a$ et $b$ ?
Et peut on remplacer le plan euclidien par $\mathbb{R}^n$ avec $n \geq 3$ ?
Cordialement,
Rescassol
Il suffit $0<a\leq b$ me semble-t-il.
Je ne connais pas le meilleur majorant, même dans le cas [1/2,1].
Oui, on peut travailler dans des espaces de dimension plus grande mais qui reste de dim finie.
Bonne journée.
PS : ces réponses donnent des indices.
Mais il faut que tu m'expliques comment es-tu sûr d'avoir tous les points à l'intérieur d'une boule de rayon $\frac{a+b}{2}$, pour la boule de rayon $b$ pas de problème mais là je ne vois pas.
Ton avatar, il accouche bientôt?
Si oui, b suffit, en effet la distance entre un point fixé de E, et n'importe quelle autre est plus petite que b.
PS : j'espère milieu décembre, date vers laquelle j'arrêterais mes recherches, que je trouve ou pas.
Soit E un ensemble infinie de points du plan euclidien tel que la distance entre 2 points de E est rationnelle.
L'ensemble des points de E sont-ils alignés ?
Soit K un compact connexe par arc du plan euclidien, qui possède un infinité d'axe de symétrie.
Montrer que K est connexe par arc $C^\infty$.
Pour le plan Euclidien, on a une configuration de $7$ points en prenant un hexagone régulier de côté $1/2$ avec son centre.
On a aussi la majoration $m\leqslant 10$. En effet, quitte à faire un homothétie on peut supposer que deux des points sont à distance $1$. On dessine alors une grille dont les côtés font $1/3$ et $0.34$ comme dans la figure ci-dessous. Comme tous les points sont situés à distance $\leqslant 1$ de $A$ et de $B$, ils sont tous à l'intérieur du grand rectangle. Une case ne peut contenir deux points. En particulier, les quatre cases qui touchent $A$ ou $B$ ne contiennent pas d'autre point que $A$ et $B$. De plus, s'il y a un point dans l'une des six cases du haut, alors la case qui se trouve quatre crans plus bas ne contient pas de point. Par conséquent, la réunion des six cases du haut et des six cases du bas contient au plus 6 points.
@JLT : bravo, tu as obtenu une majoration meilleure que la mienne.
Dans le cas général tu utilises la méthode de Shah d'Ock, peux tu me dire pourquoi les points seraient dans une boule B de rayon $\frac{a+b}{2}$, ensuite pourquoi il suffit de $(\frac{a+2b}{a})^n$ boules de rayon $\frac{a}{2}$, pour avoir un recouvrement de B.
Enfin on pourrait utiliser ta méthode (dans le cas particulier) pour avoir un majorant $2^{n-1}$ fois plus petit, non ?
On a donc $7\leq m \leq 10$
énoncé 39
énoncé 43
énoncé 50
énoncé 51
énoncé 52
énoncé 53
énoncé 54
énoncé 57
énoncé 58
Les plus difficiles sont le 39 et le 43.
énoncé 59 : le retour cf 55
Comment calculer $m$ ?
Soit $f$ une fonction $C^\infty$ de $\R^n$ dans lui même tel que $f(0)\neq 0$, montrer qu'alors $f$ admet une valeur propre entière (càd il existe $k$ entier et $x\in \R^n$, $x\neq 0$ tel que $f(x)=k.x$).
Avec la méthode de mon message précédent, dans le cas de la norme Euclidienne, on peut affiner un peu la majoration. Par exemple, on peut supposer qu'il existe deux points $A$ et $B$ à distance $b$. Soit $C$ le milieu de $[AB]$, alors les $m$ boules sont incluses dans une boule de centre $C$ et de rayon $\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{a}{2}$. On peut même affiner encore mais c'est plus compliqué ; en tout cas je ne vois pas de manière de faire beaucoup mieux.
Il me semble, qu'il existe une manière de calculer m, je l'ai mis partiellement en oeuvre et il semblerait que m=7.
Comme 10 lignes ne suffisent pas pour développer ce résultat, je demande juste de décrire la marche à suivre, et non de le faire effectivement.
énoncé 61 :
Calculer $\sum \limits_{i\in [0,2^{101}]} \frac{3^i}{(3^i+2)^2-1} \mod (2^{607}-1) $
Calculer $\sum \limits_{i\in [0,2^{100}]} \frac{3^{2^i}}{3^{2^{i+1}}-1} \mod (2^{607}-1)$
Existe-t-il une norme $||.||$ et une fonction $f$ sur $\R^n$ tel que pour tout $x,y$ dans $\R^n$ $||f(x)-f(y)||^3=||x-y||^2$ ?
PS: tu prétends faire des maths, commence par écrire de vrais énoncés mathématiques complets, qui ont du sens.
énoncé 64 : difficile ?
On note $A_n=[0,n]\cap \N$, $\R_n[x]$l'ensemble des polynômes réels de degrés au plus $n$, $B_n=\{P\in \R_n[x]\mid \forall i \in A_n,\ P(i)\in A_2\}$.
Montrer que pour tout $n>3$ dans $\N$, il existe $P \in B_n$ tel que : $\deg(P)>\frac{2n-1}{3}$.
Bonne journée.
Voilà l'indice pour le 64 et le 63, j'y ai utilisé l'inégalité de Shah d'Ock-JLT.
Bonne journée.
énoncé 65 : la racine fonctionnelle
Trouver une fonction $g$ de $[-1,0]$ dans lui même et une approximation de $g$ sur $-1,\frac{1}{2},0$ à $10^{-1}$ : vérifiant $g(g(x))=x^2+2x$
énoncé 66 : et les autres
Trouver une fonction $g$ de $[-1,1]$ dans lui même et une approximation de $g$ sur $-1,0,1$ à $10^{-1}$ : vérifiant $g(g(x))-4g(x)=x^2$
Bonne journée.
Trouver toutes les fonctions $f$ de $\R^3$ euclidien dans $\R^2$ euclidien, tel qu'il existe $g$ de $\R^+$ dans $\R^+$ avec pour tout $x,y$ dans $\R^3$ $||f(x)-f(y)||=g(||x-y||)$.
Alors si on a $f$ une fonction continue, elle vérifie $d(f,g) \geq \frac{1}{2}$
Supposons que $d(f,g) = \epsilon$
Alors $|f(0) - g(0)| \leq \epsilon$, c'est à dire $f(0) \leq \epsilon$. Mais il existe une suite $x_n$ d'irrationnels tendant vers 0 tels que $f(x_n) \to f(0)$ (par continuité) et $g(x_n) = 1$.
Ainsi $\forall n, \epsilon \geq d(f,g) \geq |f(x_n)-g(x_n)| = 1-f(x_n)$
Et alors en passant à la limite, $\epsilon \geq 1-\epsilon$, d'où $\epsilon \geq \frac{1}{2}$
Ainsi on n'a pas la densité.
Pour le 54 : tout espace métrique compact est homéomorphe à un sous espace du cube de Hilbert, son cardinal est donc au plus celui de $\Bbb R$. La réponse est donc négative
@Tryss : bravo.
énoncé 68 : des suites récurrentes rationnelles
Déterminer le terme générale de la suite $u_n$ avec $u_0 \in \R$ et $u_{n+1}=\frac{4u_n}{2+{u_n}^2}$.
Bonne journée.
Déterminer le terme générale de la suite $u_n$ avec $u_0\in \R^+$ et $u_{n+1}=\frac{{u_n}^2+1}{1+2u_n}$
Soit $\R^n,||.||$espace de dimension finie normé, avec $n>1$ trouver toutes les fonctions $g$ de $\R^+$ dans lui même tel qu'il existe $f$ de $\R^n$ dans lui même, surjective tel que : pour tout $x,y$ $||f(x)-f(y)||=g(||x-y||)$.
énoncé 71 : un nouveau théorème de point fixe ?
Soit $f$ continue de $K$ dans lui même, avec $K$ compact connexe de $\R^n$. A-t-on alors $f$ admet un point fixe ?
Bonne journée.
Soit $K$ le cercle unité et $f$ une rotation d'angle non nul.
e.v.