énoncé 182 :les entiers homonymes
2 entiers naturels x,y sont dit homonymes, s'il existe deux entiers naturels a,b distincts tel que x écrit en base a est identique à y écrit en base b.
Trouver tous les couples d'entiers naturels homonymes, c'est à dire trouver un algorithme A tel que A(x,y) renvoie vrai si x et y homonymes, et faux sinon.
énoncé 183 :les entiers synonymes
2 chaînes de caractères (avec pour chiffre l'ensemble des entiers naturels) x,y sont dit synonymes, s'il existe 2 entiers naturels a,b tel que le nombre ayant pour écriture en base a, x, a pour écriture en base b, y.
Trouver tous les couples d'entiers naturels, c'est à dire exprimer cette ensemble à l'aide d'ensembles connues.
énoncé 184 :suites convergentes convexes
Soit $\phi$ une fonction continue convexe sur $\R$.
Expliciter une suite de fonctions convexes $C^2$ qui convergent simplement vers $\phi$.
énoncé 185 :les fonctions holdériennes
On suppose $f$ $a$ holderienne sur $[0,1]$.
A-t-on $\lim \limits_{n\rightarrow \infty} n^{b}\int_0^1f(x)\sin(nx) \text{d}x=0$, avec $b<a$ ?
énoncé 186 :l'égalité impossible ?
Soit $p=2q+1$ avec $q$ impair et $p$ premier.
A-t-on $\sum\limits_{i=0}^q b^{i^2} \mod p=-\sum\limits_{i=0}^q b^{-i^2} \mod p$, $b$ un générateur de $(\Z/p\Z)^*$ ?
énoncé 187 :produit en série
Soit $f : \{0,1\}\times \N \rightarrow \R^+$, $\prod \limits_{k=0}^\infty (f(0,k)+f(1,k))$ produit convergent, vers le réel $M>0$, avec $\forall k \in \N, f(0,k)+f(1,k) \geq 1$.
A-t-on $M=\sum \limits_{a\in \{0,1\}^{\N}} \prod \limits_{k=0}^{\infty} f(a_k,k)$ ?
Si non, comment transformer ce produit infini, en une série de produit fini ?
J'explique maintenant mon titre, le résultat est surprenant parce que je pense que personne n'a pensé à l'énoncé (sauf preuve du contraire) et pourtant il se démontre facilement (les ingrédients sont connus).
Si c'est bien le cas, je propose pour nom de ce résultat : le lemme S-M.
Et bien, c'est un résultat qui se trouve dans quasiment toutes les leçons d'agreg. (interne et externe) il me semble.
Ce n'est pas assez consistant pour un développement en un quart d'heure.
Mais, oui, on a le droit de dire que c'est "surprenant".
@Mojojo : on juge un arbre à ses fruits, on verra bien si ce résultat (qui serait connu depuis au moins que l'agreg existe) donne de [édit1]nouveaux résultats débloque d'anciennes conjectures[\édit1] (avec un ancien résultat) ce qui serait vraiment très surprenant, non ?
Bon, je ne connais rien à l'histoire des fonctions convexes et de leurs études, mais j'imagine que ceux qui se sont penchés sur la question avaient trouvé ce résultat : c'est de l'analyse qui utilise des théorèmes de L1-L2.
Attention, je suis d'accord sur le caractère "surprenant" comme d'ailleurs la continuité des fonctions convexes (sur un intervalle ouvert, car cela ne fonctionne pas sur un segment).
On a plein de résultats de ce genre, plus ou moins élaborés sur les fonctions convexes.
Par exemple : le domaine de dérivabilité des fonctions convexes ou encore "un théorème de Dini" (où la convergence simple sur un segment entraîne la convergence uniforme). C'est d'ailleurs avec ce dernier que l'on peut construire la fonction exponentielle, et tiens, je crois bien que ça fait un bon développement à l'agreg d'ailleurs pour revenir aux moutons.
Ce serait en effet très très surprenant, pour ne pas dire hautement improbable... Ce résultat est plus que classique pour qui fait un peu d'analyse convexe, et comme l'a déjà dit Dom, c'est un résultat classique de la leçon "fonction monotones, fonction convexes" de l'agreg.
Comme l'a dit mojojojo, il y a tout un tas de résultats (c'est même une majorité) qui ne portent pas de noms.
Par exemple, le résultat qui dit que si une fonction convexe de $\R\rightarrow \R$ est dérivable sa dérivée est croissante ne porte pas davantage de nom, ni celui qui dit qu'une fonction (toujours de $\R\rightarrow\R$) est deux fois dérivable alors sa dérivée seconde est positive.
Attention : dire que c'est un item à connaitre à l'agreg peut faire croire aux lecteurs éloignés du sérail que ce "n'est que en préparant l'agreg" qu'on aborde ce genre de trucs de base. Or ici, il n'en est rien, il y a encore 20-25ans, ça pouvait tomber en exo (éventuellement guidé) dans toute fac ou école de bac+1 d'initiation aux maths, pour permettre aux moins forts de marquer aussi des points. Voire même était purement et simplement présent avec "un numéro de série" dans les cours.
D'autant qu'il s'agit d'un phénomène affirmant la régularité et la calculabilité de quelque chose, que souvent les enseignants dans leur quasi unanimité transmettent beaucoup plus que quelques contre-exemples abstraits inattendus car ont l'impression de devoir l'utiliser 1000 fois ensuite, donc refusent de le redémontrer à chaque fois.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Ce qui est amusant mais bien plus difficile à montrer c'est qu'une fonction convexe sur $\mathbb{R}^{n}$ qui admet des dérivées partielles (suivant un système d'axes orthonormés, fixé à l'avance) en tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ est en fait $C^{1}.$
Bonne chance!
Salut
Soit $k\in \N$, $k\geq 2$
Existe-t-il une fonction $f$ de $\R^{2k}$ vers $\R$ tel que : $$
\forall (a_1,\ldots,a_k)\in \R^k,\ f\Big(\sum a_i,\sum a_i^2,\ldots,\sum a_i^{2k}\Big)=\sum a_i^{2k+1}
$$ Cordialement.
[Fusion de discussions à la demande de l'auteur. AD]
D'après les formules de wikipedia j'obtiens $p_5=e_1 p_4-e_2 p_3=p_1 p_4 -\dfrac{p_1 ^2-p_2}{2}p_3$.
Donc on prendrait $f : (a,b,c,d) \mapsto a d -\dfrac{a ^2-b}{2}c$.
Voyons, pour $k=2$, on prend deux lettres $a$ et $b$ et on pose $n_i=a^i+b^i$.
On remarque que $a$ et $b$ sont les racines de $X^2-(a+b)X+ab=X^2-n_1X+(n_1^2-n_2)/2$. On en déduit donc que $n_{i+2}=n_1n_{i+1}-(n_1^2-n_2) n_i/2$. Il n'y a plus qu'à dérouler, ce qu'on peut confier à une machine :
Réponses
énoncé 181 : géomètre vs horloger
Bonne journée.
énoncé 182 : les entiers homonymes
2 entiers naturels x,y sont dit homonymes, s'il existe deux entiers naturels a,b distincts tel que x écrit en base a est identique à y écrit en base b.
Trouver tous les couples d'entiers naturels homonymes, c'est à dire trouver un algorithme A tel que A(x,y) renvoie vrai si x et y homonymes, et faux sinon.
énoncé 183 : les entiers synonymes
2 chaînes de caractères (avec pour chiffre l'ensemble des entiers naturels) x,y sont dit synonymes, s'il existe 2 entiers naturels a,b tel que le nombre ayant pour écriture en base a, x, a pour écriture en base b, y.
Trouver tous les couples d'entiers naturels, c'est à dire exprimer cette ensemble à l'aide d'ensembles connues.
Cordialement.
Soit $\phi$ une fonction continue convexe sur $\R$.
Expliciter une suite de fonctions convexes $C^2$ qui convergent simplement vers $\phi$.
énoncé 185 : les fonctions holdériennes
On suppose $f$ $a$ holderienne sur $[0,1]$.
A-t-on $\lim \limits_{n\rightarrow \infty} n^{b}\int_0^1f(x)\sin(nx) \text{d}x=0$, avec $b<a$ ?
énoncé 186 : l'égalité impossible ?
Soit $p=2q+1$ avec $q$ impair et $p$ premier.
A-t-on $\sum\limits_{i=0}^q b^{i^2} \mod p=-\sum\limits_{i=0}^q b^{-i^2} \mod p$, $b$ un générateur de $(\Z/p\Z)^*$ ?
énoncé 187 : produit en série
Soit $f : \{0,1\}\times \N \rightarrow \R^+$, $\prod \limits_{k=0}^\infty (f(0,k)+f(1,k))$ produit convergent, vers le réel $M>0$, avec $\forall k \in \N, f(0,k)+f(1,k) \geq 1$.
A-t-on $M=\sum \limits_{a\in \{0,1\}^{\N}} \prod \limits_{k=0}^{\infty} f(a_k,k)$ ?
Si non, comment transformer ce produit infini, en une série de produit fini ?
Soit $f$ convexe sur $\R$ et dérivable.
A-t-on $f'$ continue ?
Cordialement.
[Fusion de discussions à la demande de l'auteur. AD]
énoncé 188 : convexité, un résultat surprenant sans surprise
Cordialement.
EDIT : trop lent !
J'explique maintenant mon titre, le résultat est surprenant parce que je pense que personne n'a pensé à l'énoncé (sauf preuve du contraire) et pourtant il se démontre facilement (les ingrédients sont connus).
Si c'est bien le cas, je propose pour nom de ce résultat : le lemme S-M.
Cordialement
Et vraisemblablement dans les ouvrages cités en référence.
Les chevilles qui enflent ?
Merci.
Citation GaBuZoMeu :
Les chevilles qui enflent ?
Non, car n'oublie pas que : "il est facile de" la preuve...
Ce n'est pas assez consistant pour un développement en un quart d'heure.
Mais, oui, on a le droit de dire que c'est "surprenant".
Attention, je suis d'accord sur le caractère "surprenant" comme d'ailleurs la continuité des fonctions convexes (sur un intervalle ouvert, car cela ne fonctionne pas sur un segment).
On a plein de résultats de ce genre, plus ou moins élaborés sur les fonctions convexes.
Par exemple : le domaine de dérivabilité des fonctions convexes ou encore "un théorème de Dini" (où la convergence simple sur un segment entraîne la convergence uniforme). C'est d'ailleurs avec ce dernier que l'on peut construire la fonction exponentielle, et tiens, je crois bien que ça fait un bon développement à l'agreg d'ailleurs pour revenir aux moutons.
À part ça il y a tout un tas de résultats qui sont sans noms et qui s'en portent très bien, je pense qu'il en va de même pour celui-ci ;-)
Je vote pour, mais on verra si oui ou non, ce lemme permet ou non de tomber d'anciennes conjectures ce qui serait pour le moins surprenant.
Ce serait en effet très très surprenant, pour ne pas dire hautement improbable... Ce résultat est plus que classique pour qui fait un peu d'analyse convexe, et comme l'a déjà dit Dom, c'est un résultat classique de la leçon "fonction monotones, fonction convexes" de l'agreg.
Comme l'a dit mojojojo, il y a tout un tas de résultats (c'est même une majorité) qui ne portent pas de noms.
Par exemple, le résultat qui dit que si une fonction convexe de $\R\rightarrow \R$ est dérivable sa dérivée est croissante ne porte pas davantage de nom, ni celui qui dit qu'une fonction (toujours de $\R\rightarrow\R$) est deux fois dérivable alors sa dérivée seconde est positive.
Qui vivra verra.
D'autant qu'il s'agit d'un phénomène affirmant la régularité et la calculabilité de quelque chose, que souvent les enseignants dans leur quasi unanimité transmettent beaucoup plus que quelques contre-exemples abstraits inattendus car ont l'impression de devoir l'utiliser 1000 fois ensuite, donc refusent de le redémontrer à chaque fois.
Bonne chance!
@BobbyJoe :
il suffirait d'avoir le résultat suivant (dans le cas $\R^2$) :
Si $f$ fonction de $\R^2$ dans $\R$ est tel que $$\forall x \in \R, \forall u,v \in \R, \text{ si } u \leq v \text{ alors } f(x,u)\leq f(x,v)$$
$$\forall x \in \R, \forall C \subset \R^2, \text{ si } C \text{ connexe, alors } f(C) \text{ connexe } $$
Alors $f$ continue.
J'ai bon ?
Cordialement.
énoncé 189 : Qui sont les involutions réelles continues ?
Cordialement.
Soit $k\in \N$, $k\geq 2$
Existe-t-il une fonction $f$ de $\R^{2k}$ vers $\R$ tel que : $$
\forall (a_1,\ldots,a_k)\in \R^k,\ f\Big(\sum a_i,\sum a_i^2,\ldots,\sum a_i^{2k}\Big)=\sum a_i^{2k+1}
$$ Cordialement.
[Fusion de discussions à la demande de l'auteur. AD]
énoncé 190 : étrange ou archi-classique
Cordialement.
Mot clé : sommes de Newton.
k=2... merci.
Donc on prendrait $f : (a,b,c,d) \mapsto a d -\dfrac{a ^2-b}{2}c$.
On remarque que $a$ et $b$ sont les racines de $X^2-(a+b)X+ab=X^2-n_1X+(n_1^2-n_2)/2$. On en déduit donc que $n_{i+2}=n_1n_{i+1}-(n_1^2-n_2) n_i/2$. Il n'y a plus qu'à dérouler, ce qu'on peut confier à une machine :
Soit $k\in \N$, $k \geq 2$, $A_k=\{x \in \R^{2^{k}-1}| \forall j \in [1,k] \cap \N, \text{card}(\{i \in [1,2^k-1]\cap \N| x_i=x_j \})=2^{j-1}\}$.
Existe-t-il $f$ tel que : $$\forall x \in A_k, f(\sum x_i,\sum x_i^2,...,\sum x_i^{2k})=\sum x_i^{2k+1}$$ ?
edit : correction suite à la remarque de GaBuZoMeu.
$$f(a,b,c,d)=\frac16(a^5 - 5a^3b + 5a^2c + 5bc)$$
convient.
édit : orthographe cf Chaurien.
http://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/garantir.php
@Chaurien : peux-tu nous dire si tu as déjà vu passer ce problème ?
Cordialement.
A-t-on $\{(f,g) \in (C^1(\R^2,\R))^2\mid d_1f=d_2 g\}=\{(f,g) \in (C^1(\R^2,\R))^2\mid \exists h \in C^2(\R^2,\R),\ d_2h=f \text{ et } d_1h=g\}$ ?
Cordialement.
[Fusion de discussions à la demande de l'auteur. AD]