"il est facile de" la preuve :
Réponses
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Salut,
Casses-têtes niveaux agreg :
-183 : les entiers synonymes
-185 : les fonctions holdériennes
-187 : produit en série
-197 : propriété fonction multiplicative.
-201 : le bijou de l'arithmétique ?
-205 : critère transcendant
-206 : conjecture Peugeot par Max
-207 : comptage des points rationnelles sur une courbe elliptique
-208 : un classique intégral
-209 : classique intégral +
-210 : arithmétique : enfin du non-classique ? Tombé par Joaopa
-211 : une question de rapidité
-212 : une question exponentielle
-213 : le théorème des fonctions dominées v2.0
-214 : fonction dominée
-215 : régularité de la domination
-216 : convexité dominante
-217 : le calcul impossible ?
-218 : fonction sinus compatible Tombé par Flipflop
-219 : fonction sinus compatible +
-220 : non-domination entière
-221 : inégalité rafraîchissante
Les incontournables : ici.
Cordialement. -
Pour la troisième fois, le 202 est résolu. Il y a même le lien pour télécharger l'article.
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Effectivement, mais il y a des choses encore plus importantes.Rescassol a écrit:l'orthographe importe beaucoup. -
Si tu ouvres les yeux, tu verras dans mon message qu'il y a un second lien pour télécharger l'article, ce que certains ont déjà fait.
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Ok, c'est bon.
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Ce n'est pas moi qui ai résolu ce problème. Retire mon pseudo s'il te plaît.
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Si, si c'est bien toi (ici), maintenant si cela te dérange de voir ton pseudo, je l'enlève de ce pas.
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Bonsoir (et salutations à tous) si vous voulez un problème simple,facile de compréhension mais ardu à démontrer je vous conseil l'énoncé suivant :
Enoncé 206 ou encore Conjecture Peugeot
Montrer que la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre entier $2\epsilon^3+1$ est supérieur à la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre entier $\epsilon$ avec $\epsilon \geq 100 $
Edit d'après Rescassol : en rajoutant des 9 la ou il y a des 0 dans le nombre $2\epsilon^3+1$ on arrive normalement à une conjecture juste
Bien cordialement -
Bonsoir,
Et si $\epsilon = 800$ ?
Cordialement,
Rescassol -
@Joaopa : effectivement.
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énoncé 207 : comptage des points rationnels sur une courbe elliptique
Soit $E \text{ : } y^2=P(x)$ avec $\text{degré}(P)=3$ scindé sur $\Q$ à racine simple et unitaire.
Déterminer le nombre de points rationnels de cette courbe ? -
Salut,
énoncé 208 : un classique intégral ?
$$ \{f \in C^0([0,1],\R) \text{ | } \int_0^1 f^2 \text{ d}x=(\int_0^1 f \text{ d}x)^2\}=\{x\rightarrow c\text{ | } c \in \R\} \text{ ? }$$
Cordialement. -
énoncé 209 : classique intégral +
Soit $n \in \N$ tel que $n>2$. $$I_n= \{f\in C^0([0,1],\R_+^*)\text{ | } \int_0^1 f^n \text{ d}x =(\int_0^1 f \text{ d}x)^n\} =\{x \rightarrow c \text{ | } c\in\R_+^*\}\text{ ? }$$ -
Merci Rescassol j'ai modifié ma conjecture normalement ça doit rouler tout seul B-)- .
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énoncé 210 : arithmétique : enfin du non classique ?
Soit $n \in \N^*$.
A-t-on $$(2^{n!}-1)2^n \mod n! =0$$ ? -
énoncé 211 : une question de rapidité
Calculer le plus rapidement possible, $\exp(A)$, avec $A=1,2],[3,4$, matrice $2\times 2$. -
Bonsoir,
Max, et si $\epsilon = 7967$ ?
Cordialement,
Rescassol -
@Rescassol j'ai fait du changement regarde un peu plus haut .B-)-
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Je rappelle que dans ce fil, l'auteur de la question doit avoir une preuve pour sa question.
Vu que Max a modifié 25 fois sa question, iil n'a pas de preuve. Pire encore, il n'a pas testé sa conjecture. On va lui trouver un contre exemple et il reviendra la modifier pour une $n$-ième fois. -
énoncé 212 : une question exponentielle
$$\text{dim}(\text{Vect}(\{f \in C^{\infty}(\R,\R)\text{ | } \forall x \in \R, \forall n \in \N, |f^{(n)}(x)|\leq \exp(x)\}))< \infty ?$$ -
-
Bonjour,
Max, j'ai tenu compte de ta dernière modification.
Pour $\epsilon=7967$, la somme de ses chiffres est $29$ alors que celle de $2\epsilon ^3+1=1011380200127$ est $26$, et aux dernières nouvelles, on n'a pas $26>29$.
Maintenant, mettre des $1$ à la place des $0$ change complètement le problème.
Ma motivation diminue.
Cordialement,
Rescassol -
210:
on a $v_2(n!)=\sum_{i\ge1}\left[\frac n{2^i}\right]\le n$ d'après la formule de Legendre.
Soit $p\ge3$ est premier. Il est bien connu (et facile à montrer que) si $p$ divise $a-1$ ($a\in\mathbb Z)$ alors $v_p(a^m-1)=v_p(m)+v_p(a-1)$ pour $m\in\mathbb N^*$.
On a $p$ divise $2^{p-1}-1$. Donc $v_p(2^{n!}-1)=v_p(2^{p-1}-1)+v_p(n!/(p-1))\ge v_p(n!)-v_p(p-1)\ge v_p(n!)$. -
@Rescassol merci à toi car tes contre-exemples font toujours mouche . Ta motivation ? Cela me fait chaud au cœur car tu es la première personne (et peut-être d'autre) sur ce forum qui croit en moi ou à mes conjectures . Normalement en remplaçant les zéros par des un la conjecture est juste dire que j'ai eu 10 points sur MSE en posant cette inégalité ...:-D
Ah aux faites, ce théorème te redonnerai t-il foi ? :
Soit N un entier naturel positif quelconque , $N=\sum_{i=0}^{n}a_i10^i$ , $n> 2$ , $a_i$ un entier naturel , tel que $0\leq a_i \leq 9$ , $a_n$ différent de $0$ et $0\leq i \leq 9$ alors :
$$N\geq \frac{1\overbrace{0\cdots0}_{}^{k+1}\overbrace{9\cdots9}_{}^{n-k}}{1+9(n-k-1)}A_n$$
Ou $A_n=\sum_{i=0}^{n}a_i$, et $k$ l'unique entier naturel tel que :
$2+\sum_{i=0}^{k}10^i\leq n \leq 2+\sum_{i=0}^{k+1}10^i$
Amicalement -
@Joaopa : comment tu prouves le résultat intermédiaire, "il est bien connu que..." ?
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Bonjour,
Max, même en rajoutant des $1$, teste $\epsilon=797967$.
Cordialement,
Rescassol -
Soit $a=1+b$ avec $p\mid b$. On a $a^p-1= bp+b^p+\sum_{k=2}^{p-1}C^k_pb^k$.
Pour $k$ compris entre $2$ et $p-1$, on a $C^k_p$ divisible par $p$, donc $v_p(C^k_pb^k)\ge kv_p(b)+1>v_p(pb)$. On a aussi
$v_p(b^p)>1+v_p(b)$. Par conséquent, $v_p(a^p-1)=v_p(b)+1=v_p(a-1)+1$. Par récurrence, $v_p(a^{p^r}-1)=v_p(a-1)+r$
Soit $m\in\N$, $p\nmid m$. Alors $v_p(a^m-1)=v_p(a-1)$.
En effet, $a^m-1=(a-1)[m+\sum_{k=1}^{m-1}(a^k-1)]$. Chaque terme de la somme est divisible par $p$. Comme $m$ ne l'est pas pas, on a le résultat.
Dans le cas général, on pose $n=p^rm$ avec $p\nmid m$. Alors $v_p(a^n-1)=v_p((a^{p^r})^m-1)=v_p(a^{p^r}-1)=r+v_p(a-1)=v_p(n)+v_p(a-1)$ -
Joaopa : Bravo.
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énoncé 213 : le théorème des fonctions dominées v2.0
Soit $f_n$ une suite de fonction continue sur $[0,1]$, convergent simplement.
A-t-on $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n \text{ d}x= \int_0^1 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_n \text{ d}x$ ? -
208 avec Cauchy-Schwarz cas d égalité donne f est constante.
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Salut,
énoncé 214 : fonction dominée
Soit $f\in C^0(\R)$. A-t-on $\exists g \in C^1(\R), |f| \leq g$ ?
énoncé 215 : régularité de la domination
Soit $(f_n) \in (C^0(\R))^\N$, avec $\exists g \in C^1(\R), \forall n \in \N, |f_n|\leq g$.
Peut-on en extraire une sous-suite convergent simplement, vers une fonction continue ?
Cordialement. -
@Etanche : Bravo. Peux-tu détailler un peu ? (je me rends compte que c'est loin d'être évident pour moi)
Merci.
PS : la solution que je pense avoir n'utilise pas ce résultat. -
énoncé 216 : convexité dominante
Soit $f\in \C^0(\R)$, existe-t-il $g$ fonction convexe sur $\R$ tel $|f| \leq g$ ? -
énoncé 217 : le calcul impossible ?
Calculer $$(X^{2^{2^{2017}}} \mod (X^3+2X+1)) \mod (2^{89}-1) $$
PS : il s'agit de X^{2^{2^{2017}} -
énoncé 218 : fonction sinus compatible
A-t-on $$\exists f \in C^0([0,1]), f \neq \sin\text{ et } f \neq \text{id}_{[0,1]}, \forall x \in [0,1], f(\sin(x))=\sin(f(x))$$ ? -
$\sin \circ \sin $
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Bien vu.
-
énoncé 219 : fonction sinus compatible +
A-t-on $$\exists f \in C^0([0,1]), f \text{ non constante, tel que } \forall x\in [0,1], f \circ \sin (x) = f(x) $$ ? -
Bonjour,
Max, tel le meunier, tu dors ?
Cordialement,
Rescassol -
@Rescassol ultime changement après faudra penser à l'abandonner cette conjecture semi-maudite (remplace les zéros par des 9 comme tu devais t'y attendre :-D )
Bien cordialement. -
Salut,
énoncé 221 : une inégalité rafraîchissante (merci à Siméon)
A-t-on $$\forall x \neq y \in \R^2, \exp(\frac{x+y}{2})\leq \frac{\exp(x)-\exp(y)}{x-y}$$ ?
Cordialement. -
j'ai l'inégalité de Polya dans ce lien qui se démontre très facilement .
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Ok, si c'est mieux, utilise ton inégalité pour montrer celle que je propose, sinon ce n'est pas mieux, c'est juste différent... :-)
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On pose $y=ln(a)$ et $x= ln(b)$
Cela donne
$$exp(ln(\sqrt{ab}))\leq \frac{exp(ln(b))-exp(ln(a))}{ln(b)-ln(a)}$$
ou encore
$$\sqrt{ab}\leq \frac{b-a}{ln(b)-ln(a)}$$
On pose le changement de variable suivant :
$u=a$ et $uv=b$
Après simplification on trouve
$$\sqrt{v}\leq \frac{v-1}{ln(v)}$$
Après cela je te laisse conclure.;-) -
Non, mon ami, tu viens de montrer que l'inégalité que je propose donne celle que tu proposes...;-)
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Salut, voici une inégalité ultra-rafraichissante :
Soit les conditions suivantes $a>b>d$,$a>c>d$ et $s<t$,$t\ne 0$ avec $a,b,c,d,s,t$ des réels on a alors :
$$\frac{e^{as}-e^{bs}}{e^{cs}-e^{ds}}<\frac{e^{at}-e^{bt}}{e^{ct}-e^{dt}}$$
Ps:elle est tirée du "Dictionnary of inequalities" deuxième édition de Peter Bullen . -
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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