-183 : les entiers synonymes
-185 : les fonctions holdériennes
-187 : produit en série
-197 : propriété fonction multiplicative.
-201 : le bijou de l'arithmétique ?
-205 : critère transcendant
-206 : conjecture Peugeot par Max
-207 :comptage des points rationnelles sur une courbe elliptique
-208 : un classique intégral
-209 : classique intégral +
-210 : arithmétique : enfin du non-classique ? Tombé par Joaopa
-211 : une question de rapidité
-212 : une question exponentielle
-213 : le théorème des fonctions dominées v2.0
-214 : fonction dominée
-215 : régularité de la domination
-216 : convexité dominante
-217 : le calcul impossible ?
-218 : fonction sinus compatible Tombé par Flipflop
-219 : fonction sinus compatible +
-220 : non-domination entière
-221 : inégalité rafraîchissante
Bonsoir (et salutations à tous) si vous voulez un problème simple,facile de compréhension mais ardu à démontrer je vous conseil l'énoncé suivant : Enoncé 206 ou encore Conjecture Peugeot
Montrer que la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre entier $2\epsilon^3+1$ est supérieur à la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre entier $\epsilon$ avec $\epsilon \geq 100 $
Edit d'après Rescassol : en rajoutant des 9 la ou il y a des 0 dans le nombre $2\epsilon^3+1$ on arrive normalement à une conjecture juste
Bien cordialement
énoncé 207 :comptage des points rationnels sur une courbe elliptique
Soit $E \text{ : } y^2=P(x)$ avec $\text{degré}(P)=3$ scindé sur $\Q$ à racine simple et unitaire.
Déterminer le nombre de points rationnels de cette courbe ?
Je rappelle que dans ce fil, l'auteur de la question doit avoir une preuve pour sa question.
Vu que Max a modifié 25 fois sa question, iil n'a pas de preuve. Pire encore, il n'a pas testé sa conjecture. On va lui trouver un contre exemple et il reviendra la modifier pour une $n$-ième fois.
Max, j'ai tenu compte de ta dernière modification.
Pour $\epsilon=7967$, la somme de ses chiffres est $29$ alors que celle de $2\epsilon ^3+1=1011380200127$ est $26$, et aux dernières nouvelles, on n'a pas $26>29$.
Maintenant, mettre des $1$ à la place des $0$ change complètement le problème.
Ma motivation diminue.
on a $v_2(n!)=\sum_{i\ge1}\left[\frac n{2^i}\right]\le n$ d'après la formule de Legendre.
Soit $p\ge3$ est premier. Il est bien connu (et facile à montrer que) si $p$ divise $a-1$ ($a\in\mathbb Z)$ alors $v_p(a^m-1)=v_p(m)+v_p(a-1)$ pour $m\in\mathbb N^*$.
On a $p$ divise $2^{p-1}-1$. Donc $v_p(2^{n!}-1)=v_p(2^{p-1}-1)+v_p(n!/(p-1))\ge v_p(n!)-v_p(p-1)\ge v_p(n!)$.
@Rescassol merci à toi car tes contre-exemples font toujours mouche . Ta motivation ? Cela me fait chaud au cœur car tu es la première personne (et peut-être d'autre) sur ce forum qui croit en moi ou à mes conjectures . Normalement en remplaçant les zéros par des un la conjecture est juste dire que j'ai eu 10 points sur MSE en posant cette inégalité ...:-D
Ah aux faites, ce théorème te redonnerai t-il foi ? :
Soit N un entier naturel positif quelconque , $N=\sum_{i=0}^{n}a_i10^i$ , $n> 2$ , $a_i$ un entier naturel , tel que $0\leq a_i \leq 9$ , $a_n$ différent de $0$ et $0\leq i \leq 9$ alors :
$$N\geq \frac{1\overbrace{0\cdots0}_{}^{k+1}\overbrace{9\cdots9}_{}^{n-k}}{1+9(n-k-1)}A_n$$
Ou $A_n=\sum_{i=0}^{n}a_i$, et $k$ l'unique entier naturel tel que :
$2+\sum_{i=0}^{k}10^i\leq n \leq 2+\sum_{i=0}^{k+1}10^i$
Soit $a=1+b$ avec $p\mid b$. On a $a^p-1= bp+b^p+\sum_{k=2}^{p-1}C^k_pb^k$.
Pour $k$ compris entre $2$ et $p-1$, on a $C^k_p$ divisible par $p$, donc $v_p(C^k_pb^k)\ge kv_p(b)+1>v_p(pb)$. On a aussi
$v_p(b^p)>1+v_p(b)$. Par conséquent, $v_p(a^p-1)=v_p(b)+1=v_p(a-1)+1$. Par récurrence, $v_p(a^{p^r}-1)=v_p(a-1)+r$
Soit $m\in\N$, $p\nmid m$. Alors $v_p(a^m-1)=v_p(a-1)$.
En effet, $a^m-1=(a-1)[m+\sum_{k=1}^{m-1}(a^k-1)]$. Chaque terme de la somme est divisible par $p$. Comme $m$ ne l'est pas pas, on a le résultat.
Dans le cas général, on pose $n=p^rm$ avec $p\nmid m$. Alors $v_p(a^n-1)=v_p((a^{p^r})^m-1)=v_p(a^{p^r}-1)=r+v_p(a-1)=v_p(n)+v_p(a-1)$
énoncé 214 :fonction dominée
Soit $f\in C^0(\R)$. A-t-on $\exists g \in C^1(\R), |f| \leq g$ ?
énoncé 215 :régularité de la domination
Soit $(f_n) \in (C^0(\R))^\N$, avec $\exists g \in C^1(\R), \forall n \in \N, |f_n|\leq g$.
Peut-on en extraire une sous-suite convergent simplement, vers une fonction continue ?
énoncé 218 :fonction sinus compatible
A-t-on $$\exists f \in C^0([0,1]), f \neq \sin\text{ et } f \neq \text{id}_{[0,1]}, \forall x \in [0,1], f(\sin(x))=\sin(f(x))$$ ?
énoncé 219 :fonction sinus compatible +
A-t-on $$\exists f \in C^0([0,1]), f \text{ non constante, tel que } \forall x\in [0,1], f \circ \sin (x) = f(x) $$ ?
@Rescassol ultime changement après faudra penser à l'abandonner cette conjecture semi-maudite (remplace les zéros par des 9 comme tu devais t'y attendre :-D )
On pose $y=ln(a)$ et $x= ln(b)$
Cela donne
$$exp(ln(\sqrt{ab}))\leq \frac{exp(ln(b))-exp(ln(a))}{ln(b)-ln(a)}$$
ou encore
$$\sqrt{ab}\leq \frac{b-a}{ln(b)-ln(a)}$$
On pose le changement de variable suivant :
$u=a$ et $uv=b$
Après simplification on trouve
$$\sqrt{v}\leq \frac{v-1}{ln(v)}$$
Après cela je te laisse conclure.;-)
Salut, voici une inégalité ultra-rafraichissante :
Soit les conditions suivantes $a>b>d$,$a>c>d$ et $s<t$,$t\ne 0$ avec $a,b,c,d,s,t$ des réels on a alors :
$$\frac{e^{as}-e^{bs}}{e^{cs}-e^{ds}}<\frac{e^{at}-e^{bt}}{e^{ct}-e^{dt}}$$
Ps:elle est tirée du "Dictionnary of inequalities" deuxième édition de Peter Bullen .
Réponses
Casses-têtes niveaux agreg :
-183 : les entiers synonymes
-185 : les fonctions holdériennes
-187 : produit en série
-197 : propriété fonction multiplicative.
-201 : le bijou de l'arithmétique ?
-205 : critère transcendant
-206 : conjecture Peugeot par Max
-207 : comptage des points rationnelles sur une courbe elliptique
-208 : un classique intégral
-209 : classique intégral +
-210 : arithmétique : enfin du non-classique ? Tombé par Joaopa
-211 : une question de rapidité
-212 : une question exponentielle
-213 : le théorème des fonctions dominées v2.0
-214 : fonction dominée
-215 : régularité de la domination
-216 : convexité dominante
-217 : le calcul impossible ?
-218 : fonction sinus compatible Tombé par Flipflop
-219 : fonction sinus compatible +
-220 : non-domination entière
-221 : inégalité rafraîchissante
Les incontournables : ici.
Cordialement.
Enoncé 206 ou encore Conjecture Peugeot
Montrer que la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre entier $2\epsilon^3+1$ est supérieur à la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre entier $\epsilon$ avec $\epsilon \geq 100 $
Edit d'après Rescassol : en rajoutant des 9 la ou il y a des 0 dans le nombre $2\epsilon^3+1$ on arrive normalement à une conjecture juste
Bien cordialement
Et si $\epsilon = 800$ ?
Cordialement,
Rescassol
Preuve
Soit $E \text{ : } y^2=P(x)$ avec $\text{degré}(P)=3$ scindé sur $\Q$ à racine simple et unitaire.
Déterminer le nombre de points rationnels de cette courbe ?
énoncé 208 : un classique intégral ?
$$ \{f \in C^0([0,1],\R) \text{ | } \int_0^1 f^2 \text{ d}x=(\int_0^1 f \text{ d}x)^2\}=\{x\rightarrow c\text{ | } c \in \R\} \text{ ? }$$
Cordialement.
Soit $n \in \N$ tel que $n>2$. $$I_n= \{f\in C^0([0,1],\R_+^*)\text{ | } \int_0^1 f^n \text{ d}x =(\int_0^1 f \text{ d}x)^n\} =\{x \rightarrow c \text{ | } c\in\R_+^*\}\text{ ? }$$
Soit $n \in \N^*$.
A-t-on $$(2^{n!}-1)2^n \mod n! =0$$ ?
Calculer le plus rapidement possible, $\exp(A)$, avec $A=1,2],[3,4$, matrice $2\times 2$.
Max, et si $\epsilon = 7967$ ?
Cordialement,
Rescassol
Vu que Max a modifié 25 fois sa question, iil n'a pas de preuve. Pire encore, il n'a pas testé sa conjecture. On va lui trouver un contre exemple et il reviendra la modifier pour une $n$-ième fois.
$$\text{dim}(\text{Vect}(\{f \in C^{\infty}(\R,\R)\text{ | } \forall x \in \R, \forall n \in \N, |f^{(n)}(x)|\leq \exp(x)\}))< \infty ?$$
@Max : ici, tes conjectures seront les bienvenus (j'ai ouvert ce fil exprès pour cela).
Max, j'ai tenu compte de ta dernière modification.
Pour $\epsilon=7967$, la somme de ses chiffres est $29$ alors que celle de $2\epsilon ^3+1=1011380200127$ est $26$, et aux dernières nouvelles, on n'a pas $26>29$.
Maintenant, mettre des $1$ à la place des $0$ change complètement le problème.
Ma motivation diminue.
Cordialement,
Rescassol
on a $v_2(n!)=\sum_{i\ge1}\left[\frac n{2^i}\right]\le n$ d'après la formule de Legendre.
Soit $p\ge3$ est premier. Il est bien connu (et facile à montrer que) si $p$ divise $a-1$ ($a\in\mathbb Z)$ alors $v_p(a^m-1)=v_p(m)+v_p(a-1)$ pour $m\in\mathbb N^*$.
On a $p$ divise $2^{p-1}-1$. Donc $v_p(2^{n!}-1)=v_p(2^{p-1}-1)+v_p(n!/(p-1))\ge v_p(n!)-v_p(p-1)\ge v_p(n!)$.
Ah aux faites, ce théorème te redonnerai t-il foi ? :
Soit N un entier naturel positif quelconque , $N=\sum_{i=0}^{n}a_i10^i$ , $n> 2$ , $a_i$ un entier naturel , tel que $0\leq a_i \leq 9$ , $a_n$ différent de $0$ et $0\leq i \leq 9$ alors :
$$N\geq \frac{1\overbrace{0\cdots0}_{}^{k+1}\overbrace{9\cdots9}_{}^{n-k}}{1+9(n-k-1)}A_n$$
Ou $A_n=\sum_{i=0}^{n}a_i$, et $k$ l'unique entier naturel tel que :
$2+\sum_{i=0}^{k}10^i\leq n \leq 2+\sum_{i=0}^{k+1}10^i$
Amicalement
Max, même en rajoutant des $1$, teste $\epsilon=797967$.
Cordialement,
Rescassol
Pour $k$ compris entre $2$ et $p-1$, on a $C^k_p$ divisible par $p$, donc $v_p(C^k_pb^k)\ge kv_p(b)+1>v_p(pb)$. On a aussi
$v_p(b^p)>1+v_p(b)$. Par conséquent, $v_p(a^p-1)=v_p(b)+1=v_p(a-1)+1$. Par récurrence, $v_p(a^{p^r}-1)=v_p(a-1)+r$
Soit $m\in\N$, $p\nmid m$. Alors $v_p(a^m-1)=v_p(a-1)$.
En effet, $a^m-1=(a-1)[m+\sum_{k=1}^{m-1}(a^k-1)]$. Chaque terme de la somme est divisible par $p$. Comme $m$ ne l'est pas pas, on a le résultat.
Dans le cas général, on pose $n=p^rm$ avec $p\nmid m$. Alors $v_p(a^n-1)=v_p((a^{p^r})^m-1)=v_p(a^{p^r}-1)=r+v_p(a-1)=v_p(n)+v_p(a-1)$
Soit $f_n$ une suite de fonction continue sur $[0,1]$, convergent simplement.
A-t-on $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n \text{ d}x= \int_0^1 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_n \text{ d}x$ ?
énoncé 214 : fonction dominée
Soit $f\in C^0(\R)$. A-t-on $\exists g \in C^1(\R), |f| \leq g$ ?
énoncé 215 : régularité de la domination
Soit $(f_n) \in (C^0(\R))^\N$, avec $\exists g \in C^1(\R), \forall n \in \N, |f_n|\leq g$.
Peut-on en extraire une sous-suite convergent simplement, vers une fonction continue ?
Cordialement.
Merci.
PS : la solution que je pense avoir n'utilise pas ce résultat.
Soit $f\in \C^0(\R)$, existe-t-il $g$ fonction convexe sur $\R$ tel $|f| \leq g$ ?
Calculer $$(X^{2^{2^{2017}}} \mod (X^3+2X+1)) \mod (2^{89}-1) $$
PS : il s'agit de X^{2^{2^{2017}}
A-t-on $$\exists f \in C^0([0,1]), f \neq \sin\text{ et } f \neq \text{id}_{[0,1]}, \forall x \in [0,1], f(\sin(x))=\sin(f(x))$$ ?
A-t-on $$\exists f \in C^0([0,1]), f \text{ non constante, tel que } \forall x\in [0,1], f \circ \sin (x) = f(x) $$ ?
Max, tel le meunier, tu dors ?
Cordialement,
Rescassol
Bien cordialement.
énoncé 221 : une inégalité rafraîchissante (merci à Siméon)
A-t-on $$\forall x \neq y \in \R^2, \exp(\frac{x+y}{2})\leq \frac{\exp(x)-\exp(y)}{x-y}$$ ?
Cordialement.
Cela donne
$$exp(ln(\sqrt{ab}))\leq \frac{exp(ln(b))-exp(ln(a))}{ln(b)-ln(a)}$$
ou encore
$$\sqrt{ab}\leq \frac{b-a}{ln(b)-ln(a)}$$
On pose le changement de variable suivant :
$u=a$ et $uv=b$
Après simplification on trouve
$$\sqrt{v}\leq \frac{v-1}{ln(v)}$$
Après cela je te laisse conclure.;-)
Soit les conditions suivantes $a>b>d$,$a>c>d$ et $s<t$,$t\ne 0$ avec $a,b,c,d,s,t$ des réels on a alors :
$$\frac{e^{as}-e^{bs}}{e^{cs}-e^{ds}}<\frac{e^{at}-e^{bt}}{e^{ct}-e^{dt}}$$
Ps:elle est tirée du "Dictionnary of inequalities" deuxième édition de Peter Bullen .
PS : les énoncés proposés ici doivent être originaux.
Merci.