Une preuve simple de conjecture de Goldbach
Tout nombre premier > 2 est impair.
Le plus petit nombre pair > 3 est 4, 4 est le seul nombre pair somme de deux nombres premiers pairs identiques, 4 est la somme 2 + 2
6 est la somme 3 + 3
8 est la somme 3 + 5
10 est la somme 3 + 7 ou la somme 5 + 5
12 est la somme 5 + 7
14 est la somme 3 + 11 ou la somme 7 + 7
La conjecture de Goldbach : tout nombre pair > 3 est la somme de deux nombres premiers, donc en fait tout nombre pair > 4 peut être représenté par la somme de deux nombres premiers impairs différents ou identiques.
Pour prouver la conjecture il faut et il suffit de faire la preuve que pour tout entier n > 3 il existe au moins un nombre premier P inférieur ou égal à n tel que 2n-P soit premier.
Plus n est grand plus le nombre de nombres premiers P candidats augmente (comme n/log(n)) et il est évident qu'il existe au moins un nombre premier P compris entre 3 et n tel que 2n-P = Q premier sinon 2n-P serai toujours composite et tous les nombres P de 3 à n/log(n) diviseraient n ce qui est impossible, le nombre de paires P+Q=2n est même une fonction croissante de n.
D'où la preuve qu'Euclide aurait sûrement donné si on lui avait posé le problème.
2*3*5*7=210 multiple de 3, 5 et 7, n=105, P candidats 11, 13, ..., 101, 103, n ne peut pas être multiple des autres nombres P > 7 et on trouve 19 paires différentes P et Q telles que 210 = P+Q avec P et Q premiers.
Pourquoi compliquer les choses simples et ne pas voir l'évidence quand elle est sous nos yeux.
Le plus petit nombre pair > 3 est 4, 4 est le seul nombre pair somme de deux nombres premiers pairs identiques, 4 est la somme 2 + 2
6 est la somme 3 + 3
8 est la somme 3 + 5
10 est la somme 3 + 7 ou la somme 5 + 5
12 est la somme 5 + 7
14 est la somme 3 + 11 ou la somme 7 + 7
La conjecture de Goldbach : tout nombre pair > 3 est la somme de deux nombres premiers, donc en fait tout nombre pair > 4 peut être représenté par la somme de deux nombres premiers impairs différents ou identiques.
Pour prouver la conjecture il faut et il suffit de faire la preuve que pour tout entier n > 3 il existe au moins un nombre premier P inférieur ou égal à n tel que 2n-P soit premier.
Plus n est grand plus le nombre de nombres premiers P candidats augmente (comme n/log(n)) et il est évident qu'il existe au moins un nombre premier P compris entre 3 et n tel que 2n-P = Q premier sinon 2n-P serai toujours composite et tous les nombres P de 3 à n/log(n) diviseraient n ce qui est impossible, le nombre de paires P+Q=2n est même une fonction croissante de n.
D'où la preuve qu'Euclide aurait sûrement donné si on lui avait posé le problème.
2*3*5*7=210 multiple de 3, 5 et 7, n=105, P candidats 11, 13, ..., 101, 103, n ne peut pas être multiple des autres nombres P > 7 et on trouve 19 paires différentes P et Q telles que 210 = P+Q avec P et Q premiers.
Pourquoi compliquer les choses simples et ne pas voir l'évidence quand elle est sous nos yeux.
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Réponses
Pour le test, on peut se limiter à V(2n).
Ce sont des choses tellement simples que la preuve résiste des siècles durant...
pas étonnant que l'argument marche aussi bien pour $2n$ que pour $2n+1$ et pour schmilbluck. D'ailleurs, je pense qu'il s'adapte à n'importe quel objet mathématique : soit $X$ un objet mathématique, alors $X$ est somme de deux nombres premiers.
Si 2n-P est toujours composite avec P premier impair alors 2n-P doit être divisible par TOUT premier impair < n
Posons n=3*5*7*11*13*17*19*23*29 et vous pouvez continuer d'ajputer la liste des nombres (pour ceux qui ne comprendrons jamais rien).
2n-P ne pouvant pas être premier doit être divisible par tout nombre premier > 29 et inférieur à n, vous faîtes comment ?
Bonne nuit les tout petits
Arrêtons là.
AD