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Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?

Envoyé par Pablo_de_retour 
Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Bonsoir,

J'aimerais savoir si, $ 2 \pi i \in \overline{\mathbb{Q}} $.
Je rappelle que, $ \ \overline{\mathbb{Q}} $ est la cloture algébrique de $ \mathbb{Q} $ dans $ \mathbb{C} $.

Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Est ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Qu'est-ce que cela apporte de mettre un facteur $2i$?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Est ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Ah oui, tu as raison @FdP,
- $ 2 $ a pour polynôme minimale dans $ \mathbb{Q} $ le polynôme, $ P(X) = X - 2 $.
- $ i $ a pour polynôme minimale dans $ \mathbb{Q} $, le polynôme, $ P(X) = X^2 + 1 $.
Est ce que, alors, $ \pi \in \overline{ \mathbb{Q} } $ ?
Merci d'avance.
Re: Est ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Tu ne connais pas la réponse à cette question résolue depuis plus d'un siècle?
Mot clef: Lindemann.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Est ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Pablo: tu as besoin de $x-2$ pour savoir que $2$ est un nombre rationnel?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Est ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Citation
FdP
Tu ne connais pas la réponse à cette question résolue depuis plus d'un siècle?

J'entends dire que $ \pi $ est transcendant, mais, je ne sais pas par rapport à quel corps. Par rapport à $ \mathbb{Q} $, qui est le corps premier de $ \mathbb{C} $ à isomorphisme près ? Donc, $ \pi \not \in \overline{\mathbb{Q}} $ ?
Re: Est ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Un génie comme toi ne devrait pas poser cette question. smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Est ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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$ \overline{\mathbb{Q}} $ est la plus grande extension algébrique sur $ \mathbb{Q} $, de $ \mathbb{C} $ contenant $ \mathbb{Q} $. N'est ce pas ?
Donc, $ \pi \not \in \overline{ \mathbb{Q} } $.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Ca dépend si tu acceptes l'axiome du choix ou pas.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Merci @Héhéhé,
- Que se passe-t-il si j'accepte l'axiome du choix ?
- Que se passe-t-il si je n'accepte pas l'axiome du choix ?
Merci d'avance.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Citation
Pablo
$ \overline{\mathbb{Q}} $ est la plus grande extension algébrique sur $ \mathbb{Q} $, de $ \mathbb{C} $ contenant $ \mathbb{Q} $

Magnifique, provenant de quelqu'un ayant résolu tant de grandes conjectures, et qui est un expert mondial en géométrie algébrique !
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Citation
Poirot
Magnifique, provenant de quelqu'un ayant résolu tant de grandes conjectures, et qui est un expert mondial en géométrie algébrique !

Explique moi s'il te plaît, qu'est ce qui ne va pas dans ce que j'ai dit ? sad smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Cherche l'erreur parmi les points suivants :

- $\overline{\mathbb Q}$ est algébrique sur $\mathbb Q$.
- $\overline{\mathbb Q}$ est une extension de $\mathbb C$.
- $\overline{\mathbb Q}$ contient $\mathbb Q$.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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- $\overline{\mathbb Q}$ est une extension de [ dans ] $ \mathbb{C} $.
Est ce qu'il s’agit de cette phrase ?
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Citation
Héhéhé
Ca dépend si tu acceptes l'axiome du choix ou pas.

Tu voulais dire qu'il fallait que j'ajoute l'expression : ''à isomorphisme près'', c'est ça ? Mais, c'est juste une étourderie. winking smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Merci Poirot. thumbs down
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Citation
Pablo
Par rapport à $\mathbb{Q}$, qui est le corps premier de $\mathbb{C}$ à isomorphisme près

Tu veux dire que dans $\mathbb{C}$ il y a plusieurs corps qui sont isomorphes à $\mathbb{Q}$?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Non. Pas forcément.
$ \mathbb{Q} $ est un corps indépendant de son plongement dans un sur-corps.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Citation
Pablo
Non. Pas forcément.

Tu veux dire que tu ne sais pas s'il y a plusieurs corps dans $\mathbb{C}$ qui sont isomorphes à $\mathbb{Q}$?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Il n y a qu'un.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Pablo: peux-tu le prouver?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
avatar
Soit $ P_1 $ et $ P_2 $ deux sous corps premiers de $ \mathbb{C} $,
Alors; $ P_1 \subset P_2 \subset \mathbb{C} $ et $ P_2 \subset P_1 \subset \mathbb{C} $,
D'où, $ P_1 = P_2 $.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Pablo: Pourquoi $\mathbb{Q}$ est-il le sous-corps premier de $\mathbb{C}$?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Pablo de retour :
pi est transcendant, 2 et i sont des nombres pas transcendants, transcendant×pas transcendant ça donne transcendant :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
avatar
Merci @Quentino37. winking smiley
@FdP,
Tout sous corps premier d'un corps de caractéristique $ 0 $ est isomorphe à $ \mathbb{Q} $. Voir ici, [www.bibmath.net]
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Pablo de retour: je vous en prie! :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
"transcendant×pas transcendent ça donne transcendent"

$0 \times \pi = 0$
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Tu es de mauvaise foi et en plus, tu donnes un would be contre-exemple qui n'en est pas un ! Que je sache, $0$ n'est pas transcendant et $\pi$ n'est pas pas transcendant, n'est-ce pas ?
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
transcendant ×pas transcendant pas égale à zéro=transcendant
c'est mieux comme ça?

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Math Cross : je n'ai rien compris à ton message, j'infirmais juste l'affirmation "transcendant×pas transcendent ça donne transcendent"

Quentino37 : oui, peux-tu le démontrer ?
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
d'accord, je vais prouver ça par l'absurde
supposons que transcendant×pas transcendant pas égale à 0=pas transcendant, or pas transcendant/pas transcendant pas égale à 0= pas transcendant
donc transcendant = pas transcendant ce qui est faux(très faux, et plus précisément toujours faux) donc je vient de prouver que transcendant×pas transcendant pas égale à 0=transcendant

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
avatar
Ce n'est pas courant de savoir ce que signifie transcendant mais pas algébrique... eye rolling smiley
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
c'est encore mieux maintenant? grinning smiley :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
avatar
Ce n'est pas courant de savoir ce que signifie algébrique mais d'utiliser "pas transcendant" à la place... eye rolling smiley
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Le vocabulaire ce n'est pas mon point fort smiling smiley

[Merci d'écrire tes mots en entier. AD]

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Afin de soulager vos douleurs, voici ce qu'il faut retenir, grinning smiley
Une propriété $ P $ est valide s'il est génériquement valide.
Une propriété $ P $ est génériquement valide, si $ P(x) $ est valide pour presque tous les $ x $.
Ceci dit, Si $ P(x) $ est non valide pour tout $ x $ appartenant à un négligeable $ N $, alors, $ P $ est valide.
Donc, si vous trouvez qu'une propriété ( Ici, la propriété de transcendance ) n'est pas valide dans certains cas négligeables, il ne faut pas se dire que la propriété de transcendance n'est pas valide.
Il faut toujours travailler dans le cas générique, et négliger ce qui est négligeable ( Ce genre de trucs pathétiques foisonnent en géométrie algébrique ). Donc, surtout, oubliez ce que vous a fait remarquer Héhéhé , les cas négligeables qui font invalider la notion de transcendance. Ce sont juste des cas pathétiques.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Oui mais il faut être rigoureux et préciser quel est cette ensemble négligeable N

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
avatar
Donc, oui, $ P \ : \ \text{ transcendant } \times \text{ pas transcendant } = \text{ transcendant } $ est une propriété valide., parce qu'elle est génériquement valide.
@Quentino37 a tout à fait raison.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
je préfère et il est mieux de préciser l'ensemble N négligeable :)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
avatar
$ N $ dépend de $ P $. C'est à dire, $ N $ varie lorsque $ P $ varie.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
oui(c'est logique)

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
avatar
Lorsque $ P $ est la propriété définie par, $$ P \ : \ \text{ transcendant } \times \text{ pas transcendant } = \text{ transcendant } $$ Alors, $ N = \{ \ x \ | \ \neg ( P ) \ \} $.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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$\pi \times 0 =0$
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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Citation
Pablo
Afin de soulager vos douleurs, voici ce qu'il faut retenir, ...

Moi ce que je retiens c'est que tu t'es fait dégager du sous-forum Algèbre smoking smiley


PS. Pablo pourquoi lorsque tu ouvres un nouveau fil tu ne le fais pas directement dans Shtam ? De toute façon c'est là que tu finis par aller non ?



@Chaurien il faut suivre [www.les-mathematiques.net]
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
Pourquoi ce fil doit aller dans le shtam alors que ça n'a aucune raison d'y être?
Shtam: Réservé aux amateurs pensant avoir démontré un résultat important ou difficile
je ne voit pas le rapport! confused smiley

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
avatar
Citation
raoul.S
Moi ce que je retiens c'est que tu t'es fait dégager du sous-forum Algèbre smoking smiley

Les modérateurs ont besoin de se sentir flattés de temps en temps. smiling bouncing smiley
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
avatar
@Quentino37 "Réservé aux amateurs pensant avoir démontré un résultat important ou difficile" ça c'est le nom officiel. Le nom officieux c'est... poubelle.
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
oui mais pourquoi ça, ça va à la "poubelle"?

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
il y a quatre semaines
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probablement à cause de ces deux post :

- [www.les-mathematiques.net]

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