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Un et les nombres premiers impairs

Envoyé par PierrelePetit 
Un et les nombres premiers impairs
il y a trois semaines
Saluts à toutes et tous

Soit 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... la suite des nombres premiers impairs P(i)

Soit P(i)#/2 le produit 3*5*7*11*...*P(i) soit la suite 3, 15, 105, 1155, 15015, 255255, ...

Soit Q(1)=1 puis Q(i)=Q(i-1)*(P(i)-1); on trouve la suite 1, 2, 8, 48, 480, 5760 ....

Démontrer que la somme 1/3 + 2/15 + 8/105 + 48/1155 + 480/15015 + 5760/255255 + .... + Q(i)/P(i)# /2 tends vers 1 si i tends vers l'infini

Modifié pour tenir compte d'une remarque pertinente de Dreamer



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par PierrelePetit.
Re: Un et les nombres premiers impairs
il y a trois semaines
avatar
Tes notations sont difficiles à suivre, mais après 2 lignes de calculs, on arrive à la conclusion que ce que tu demandes est équivalent au fait que le produit $\displaystyle \prod_{k=1}^n \left(1-\frac{1}{p_k}\right)$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini.
Ceci est connu depuis bien longtemps et vient en particulier du fait que la série $\sum_{k\geq 1} \frac{1}{p_k}$ diverge, ce qui peut se démontrer élémentairement ou bien à l'aide du théorème des nombres premiers.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par bisam.
Re: Un et les nombres premiers impairs
il y a trois semaines
avatar
On peut imaginer qu'il veut dire que $\displaystyle P_n=\prod_{k=2}^n p_k$ où $p_k$ est le $k$-ème nombre premier et $n \geq 2$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Un et les nombres premiers impairs
il y a trois semaines
avatar
Bonjour.

Juste une petite précision, le P(i)# du message de départ est la moitié de la primorielle de i.

Le lien me fait penser que la combinaison des notations [P(i) et #] à été mal comprise, une notation en excluant une autre.

À bientôt.

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Dreamer.
Re: Un et les nombres premiers impairs
il y a trois semaines
Avec
\begin{align*}
Q_i&=\prod_{k=1}^i(p_k-1)=\phi(p_i\#) \\
P_i\sharp&=\prod_{k=2}^{i+1}p_k=\frac{p_{i+1}\#}{2} \\

\frac{Q_i}{P_i\sharp}&=\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right) \\
\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{P_i\sharp}&=1-\prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)

\end{align*} et la remarque de bisam, la limite tend bien vers $1$ (Note: $p_2=3$)
Pour montrer que
$$
\prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^n\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)=1,

$$ il suffit de voir que les termes s'annulent de proche en proche :
\begin{align*}
\Big(1-\frac{1}{p_{n+1}}\Big)\prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\frac{1}{p_{n+1}}\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\
\prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\
\left(1-\frac{1}{p_{n}}\right)\prod_{k=2}^{n-1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\frac{1}{p_{n}}\prod_{k=2}^{n-1}\left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{n-2}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\[2mm]
\cdots \\
\prod_{k=2}^{2} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{1}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\
\left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}&=1
\end{align*}



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Un et les nombres premiers impairs
il y a trois semaines
Bonjour à toutes et tous

J'ai retrouvé cet exercice dans un écrit de 1956 sur un cahier ainsi que la démonstration par compréhension donnée par notre Professeur de Mathématiques ( en classe préparatoire aux grandes écoles):

1/3 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 3

1/5 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 5 et 1/3 sont multiple de trois donc 2/15 = 3/15-(3/3)/15 = 2/15 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 5 et non divisible par 3.

1/7 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 7, 1/3 sont multiples de trois et 1/5 sont multiples de 5 donc 15/105-5/105 = 10/105 et 10/105-(10-10/5)/105 = 8/105 et 8/105 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 7 et non divisible par 3 ou par 5.

Par récurrence on démontre que Q(i)/(P(i)#)/2) représente la fraction des nombres impairs divisibles par P(i) et non divisible par les nombre premiers impairs inférieur à P(i).

Par définition la somme 1/3 + 2/15 + 8/105 + ... + Q(i)/(P(i)#/2) est égale à 1 si elle contient tous les nombres premiers, donc elle tends bien vers UN quand i tends vers l'infini, CQFD

C'est plus simple en comphéension qu'avec des symboles, oui ou non?
Re: Un et les nombres premiers impairs
il y a trois semaines
Pas si on a une idée de ce que repésentent les symboles.
$\phi(p_i\#)$ (Indicatrice d'Euler) est le nombre de nombres copremiers à tous les premiers inférieurs ou égaux à $p_i$ dans $p_i\#$, et si on le divise par $p_i\#$, ça nous donne leur proportion.
Si on le divise par $p_{i+1}\#$ au lieu de $p_i\#$, ça nous donne alors la proportion des multiples de $p_{i+1}$ dans $p_{i+1}\#$ qui ne sont pas multiples de premiers inférieurs.

On peut aussi voir que multiplier par $\big(1-\frac{1}{p_k}\big)$ c'est simplement une façon de retirer la proportion des multiples de $p_k$ (et donc le produit sur tous les $p_k$ revient à retirer tous les multiples de $p_k$ ce qui nous mène à pas "grand chose" vu que tout nombre (supérieur à 1) est multiple d'un $p_k$)

Note qu'en ignorant $p_1=2$ tu oublies les puissances de $2$ (même si leur densité est égale à 0)

Edit: Ok, je vois que dans ton dernier post tu te limites aux nombres impairs, mais ce n'est absolument pas nécessaire. Enlève chaque occurrence de "impairs" et cela reste aussi valable (lié à ma remarque sur les puissances de 2 et au principe de coprimalité).

Tu pourrais même commencer par les multiples de 5, de 7 .... que ça donnerait le même résultat:
1/5 + 4/35 + 24/385 + 240/5005 + 2880/85085 + ... tend aussi vers 1.

Dans ce cas tu pourrais même remplacer "impairs" par "multiple de 2", de 3, de 6 que ça ne changerait rien au résultat.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Collag3n.
Re: Un et les nombres premiers impairs
il y a deux semaines
Bonjour
Citation
Collag3n
Note qu'en ignorant p1=2 tu oublies les puissances de 2 (même si leur densité est égale à 0)

Je ne comprends pas ce que tu dis , quelle est la définition de la densité des puissances de 2? Si elle est égale à 0 OK mais ça ne donne aucune indication sur la définition de " la densité" dans le contexte!

Deux types différents de nombres pairs
1- Les nombres doubles des nombres impairs qui sont : 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, ...
2- Les nombres doubles des nombres impairs + 2 soit : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... ces derniers sont des puissances de deux multipliées par un nombre impair
On a bien deux nombres pairs différents pour chaque nombre impair et on trouve alors que 2/3 + 1/9 + 2/45 + 8/135 + ... tends vers 1.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par PierrelePetit.
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