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Tenseur

Envoyé par Morgatte 
Tenseur
il y a deux années
Bonjour
Je ne suis pas certain que c'est ici qu'il faille poser cette question (en Algèbre (tensorielle) peut-être) mais bon les tenseurs sont surtout un outil utile aux Sciences Physiques, donc je poste ici...

Soit une Base $e_i = (e_1, e_2,\ldots, e_n)$
Et une autre $e'_i = (e'_1, e'_2,\ldots, e'_n)$
On peut passer d'une base à l'autre en utilisant les matrices de passages $A$ et $A^{-1}$ (ou $A'$) telles que :
$e_i = A'^k_ie'_k$
$e'_k = A^i_ke_i$

Bon je suis ok avec ça, sauf que je ne vois pas comment dans la pratique je peux appliquer ça numériquement (sur excel).
Car si je prends des valeurs numériques concrètes pour les $e{_i}$ je calcule effectivement mes $e'{_k}$ mais ça ne m'avance pas à grand chose car comment dire... il n'y a pas de référence qui dise ce que représentent factellement ces bases.

Dois-je forcément partir d'une base de référence telle qu'une Base Orthonormée $e{_i} = (e{_1} e{_2} ... e{_n}) = (1, 1, ..., 1)$ ?

Autre question...
- Si oui, du coup le Tenseur métrique $g{_{ij}}$ ne peut-être que la matrice identité I... non ?
- Si non, alors le Tenseur métrique $g{_{ij}}$ ne doit pas forcément être la matrice identité I, et alors là ça me pose un sacré problème car comment déterminer $g{_{ij}}$ ?

Je me dis ça car un vecteur X vie indépendamment de la base dans laquelle il est exprimé $X = x{^i}e{_i} = x'{^i}e'{_i}$ du coup je n'en déduis rien sur ce vecteur (Longueur par exemple) sauf si effectivement j'ai une référence telle une base orthonormée.


Quelqu'un peut-il m'éclairer un peu sur tout ça.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Tenseur
il y a deux années
Si tu ne te donnes pas la métrique $g_{ij}$, que ce soit dans une base ou une autre, qu'elle soit orthonormée ou pas, comment veux-tu calculer une longueur ?

La phrase « $e{_i} = (e{_1} e{_2} ... e{_n}) = (1, 1, ..., 1)$ » est difficile à comprendre. Veux-tu parler de la famille $(e_i)_{1\le i\le n}$, en version développée $(e_1,\dots,e_n)$, qui est la base canonique de $\R^n$, à savoir \[\left(\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\\vdots\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\\vdots\\0\end{pmatrix},\dots,
\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\\1\end{pmatrix}\right)\;?\]
Re: Tenseur
il y a deux années
Oui c'est ça, je parlais bien de ça.

Ah oui d'accord je viens de comprendre, la métrique ne dépend pas à l'origine d'une quelconque base. J'avais imaginé que si je définissais une base orthonormée ma métrique était forcément euclidienne. Mais oui, c'est vrai qu'il n'y pas de cause à effet.

Autre chose que je me demande... Dans une métrique $g_{ij}$ quelconque si je trace deux vecteurs orthogonaux dans un plan ou dans l'espace, il est possible que visuellement leur longueurs puissent être différentes alors qu'en réalité leurs normes (calculées) puissent être les mêmes. non ? La métrique doit déformer la perspective j'imagine.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Tenseur
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Qu’appelles-tu métrique ? Comment est-elle définie ? Il est plus facile de comprendre une notion si l’on sait de quoi on parle, non ?
Re: Tenseur
il y a deux années
Je retire ce que j'ai dit précédemment, je viens de lire ce qui suit p71 dans le livre "Introduction au calcul tensoriel application à la physique" (de Claude Semay & Bernard Silvestre-Brac) :

"Les quantités $g_{{ij}}$ sont fondamentales; elles déterminent la métrique de l'espace vectoriel. Ces valeurs dépendent de 2 indices et il est très utile de représenter cette métrique sous forme d'une matrice $g$ dont les éléments son précisément $(g)_{{ij}} = g_{{ij}}$........En effet si le produit scalaire est une propriété propre à l'espace vectoriel, indépendamment de tout choix de base, les quantité $g_{{ij}}$ dépendent elles manifestement de la base."

p76 : Définition 5.11
"Une base d'un espace vectoriel euclidien est dite orthonormée si c'est une base orthogonale dont tous les vecteurs sont unitaires. Dans une telle base le tenseur métrique se représente par une matrice identité $g_{{ij}} = \delta_{{ij}}$"

J'en déduis que $g_{{ij}}$ n'est pas la matrice identité si la base n'est pas orthonormée, ce que je me demandais ci-dessus.



Pour répondre à YvesM, comme dit ci-dessus $g$ est un tenseur, nommé "tenseur métrique" qui pour des raisons pratiques peut-être organisé sous la forme d'une matrice carrée. Chacun de ses constituants $g_{{ij}}$ est le produit scalaire des vecteurs $e_i$ par $e_j$ de la base considérée.
Dans un espace vectoriel euclidien, g est la matrice identité ce qui fait que le produit scalaire d'un vecteur u par un vecteur v vaut $u.v = \sum\limits_{i = 1}^n u^i v^i $ alors que la forme générale du produit scalaire dans un espace vectoriel quelconque est $u.v = \sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^n g_{{ij}} u^i v^j $

Il en découle que la norme d'un vecteur u est : (notation d'einstein = suppression du signe "somme")
$ |u| = \sqrt{(u^i)^2} $ pour un espace euclidien.
$ |u| = \sqrt{g_{{ij}} u^i u^j} $ pour un espace quelconque.

Par mal de choses ne sont pas claires pour moi, mais j'ai l'impression que ce sujet ne fait pas parti du forum.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Morgatte.
Re: Tenseur
il y a deux années
Si la matrice $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ est l'identité, tu as égalité entre les deux expressions que tu as écrites : $\sum_{i,j}g_{ij}u^iu^j=\sum_{i=1}^n(u^i)^2$.

Quand tu écris : « Dans un espace vectoriel euclidien, $g$ est la matrice identité », tu te trompes sans doute : la matrice du produit scalaire n'est l'identité que dans une base orthonormée.

Exercice : on se donne un espace vectoriel réel de dimension $2$ et une base $(e_1,e_2)$ de cet espace ; on se donne une autre base $e'_1=e_1+e_2$ et $e'_2=e_2$ ; il s'agit d'écrire la matrice $(g_{ij})$ du produit scalaire qui rend la base $(e_1,e_2)$ orthonormée dans la base $(e'_1,e'_2)$.
Re: Tenseur
il y a deux années
Erreur classique de raisonnement : On me dit que si c'est un chien c'est un animal; "J'en déduis que" comme ce n'est pas un chien, ce n'est pas un animal.

Cordialement.
Re: Tenseur
il y a deux années
Je suis d'accord avec la première proposition.

Math Coss écrivait : [www.les-mathematiques.net]
-------------------------------------------------------
> Quand tu écris : « Dans un espace vectoriel euclidien, $g$ est la matrice identité », tu te
> trompes sans doute : la matrice du produit scalaire n'est l'identité que dans une base orthonormée.

Ah! J'avais cru comprendre que la propriété première qui faisait qu'un espace vectoriel était euclidien était justement que le tenseur métrique qui le décrivait était la matrice identité.
Je pense que tu as raison, je viens de relire ceci :
p75: Corollaire 5.7 :
"Dans un espace pseudo-euclidien $Vn$, il est possible de trouver une base dans laquelle le tenseur métrique est diagonal. Les éléments de la diagonale sont tous non nuls."
Tous non nuls... mais pas forcément unitaires.

Aparté : Je reviens là dessus après réflexion... Il s'agit d'un espace pseudo-eulidien et non pas euclidien, la diagonale pourrait être formée de 1 et de -1 comme le tenseur métrique de la relativité restreinte. Je ne suis pas certain que l'espace reste pseudo-euclidien si cette diagonale contient autre chose que des 1 et -1.

Par contre je suis perdu avec la suite...
Math Coss écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Alors c'est exactement ça le fond de mon problème je vois bien comment sont construites les matrices $A$ et $A'$ de changement de base.
$e_i = A'^k_ie'_k$
$e_k = A^i_ke_i$
mais par contre le tenseur métrique $g_{{ij}}$ dont le rôle est de décrire la géométrie de l'espace je ne vois pas vraiment comment on l'obtient, je suis dans le flou. Je suis perdu dans ce que tu me dis plus haut.

Pour moi...
$A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 2 & 2\end{bmatrix} ,\qquad A' = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ -1 & 0,5\end{bmatrix} $

$g_{{11}} = e_1.e_1 = $
$g_{{12}} = e_1.e_2 = $
$g_{{21}} = e_2.e_1 = $
$g_{{22}} = e_2.e_2 = $

Je ne sais plus j'arrête pour l'instant... Je reviendrai après avoir lu plus de choses...
p84 il y a un exemple faisant le lien entre les matrices de passages et le tenseur $g$. Je vais décortiquer tout ça, je recopierai l'exo ici pour ceux que ça intéressent. Il me semble bien.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Tenseur
il y a deux années
Citation
Morgatte
Ah! J'avais cru comprendre que la propriété première qui faisait qu'un espace vectoriel était euclidien était justement que le tenseur métrique qui le décrivait était la matrice identité.
Tu continues à passer à côté d'un point essentiel : la matrice d'une forme quadratique (d'un tenseur métrique) dépend de la base dans laquelle on l'écrit. Dans l'exemple précédent, si on se rapporte à la base canonique, on a \[\begin{cases}g_{11} = e_1\cdot e_1 =1\\
g_{12}=e_1\cdot e_2=0\\g_{21}=e_2\cdot e_1=0\\g_{22}=e_2\cdot e_2=1\end{cases}\quad
\text{c'est-à-dire}\
M=(g_{ij})=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\] Si on se rapporte à la base $(e'_1,e'_2)$, alors \[\begin{cases}g'_{11} = e'_1\cdot e'_1 =2\\
g'_{12}=e'_1\cdot e'_2=1\\g'_{21}=e'_2\cdot e'_1=1\\g'_{22}=e'_2\cdot e'_2=1\end{cases}\quad
\text{c'est-à-dire}\
M'=(g'_{ij})=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=A^{\mathsf{T}}MA,\]où $A=\left(\begin{smallmatrix}1&0\\1&1\end{smallmatrix}\right)$ est la matrice de changement de base que tu as correctement introduite.

Les tenseurs en physique, cela peut devenir compliqué à interpréter. Tant qu'on en reste à une métrique, il devrait être utile de lire un cours de mathématiques sur les formes quadratiques, par exemple les deux premières pages de ce cours. Ce que tu notes $g_{ij}$, ce n'est rien d'autre que ce que l'auteure note $\varphi(e_i,e_j)=a_{ij}=M_{ij}$.
Re: Tenseur
il y a deux années
Oui, pardon je me suis gouré dans la matrice A (une faute d'inattention de ma part).

g je l'aurais aussi définit ainsi. C'est ce que j'avais fait d'ailleurs puis je l'ai effacé parce que j'ai du mal à justifier que dans $g_{{12}}$, $e_1$ vaut 1 et $e_2$ vaut 0 alors que dans $g_{{21}}$, $e_1$ vaut 0 et $e_2$ vaut 1.
L'écriture telle qu'elle est gênante mais je comprends bien que $e_1$ c'est avant tout $(1,0)$.

Ok j'ai compris ce que tu dis. Je reviens écrire l'exo plus tard. Et je vois si j'ai bien compris tout ça.
Merci pour le lien.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Tenseur
il y a deux années
Citation
Morgatte
dans $g_{12}$, $e_1$ vaut $1$ et $e_2$ vaut $0$ alors que dans $g_{21}$, $e_1$ vaut $0$ et $e_2$ vaut $1$.
Qu'est-ce que tu racontes ? Un vecteur, ce sont deux composantes (en dimension $2$) : jamais $e_1$ ne « vaudra » $1$ – ni $0$ d'ailleurs.

Le coefficient $g_{12}$ vaut $0$ parce qu'on a défini le produit scalaire de l'une des deux manières équivalentes suivantes : 1) sa matrice dans la base canonique est l'identité ; 2) la base $(e_1,e_2)$ est orthonormée, c'est-à-dire que $g_{12}=e_1\cdot e_2=0$. De même, $e_2\cdot e_1=g_{21}=0$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
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