RH
dans Arithmétique
(0) Je viens de m'apercevoir qu'il est possible de prouver que RH est décidable** à certaines conditions. Ceci étant dû au fait qu'un très grand nombre de théories sont décidables (essentiellement, les théories d'espaces métriques compacts dotés de prédicats récursifs).
Comme je ne connais rien à Zeta, pour vérifier si elle rentre dans le cadre, quelques questions:
1) Quel est son ensemble de définition ?
2) Peut-on la voir comme une courbe fermée du plan projectif sur $\C$?
3) L'ensemble des couples de disques $(C,D)$ de centres et rayons rationnels tels que $C\times D$ rencontre la courbe de Zeta est-il récursif ?
Bon, j'imagine que c'est banal et connu et qu'ou bien (0) est bien connu, ou bien l'une des réponse à 1-2-3 est non, mais ça ne coûte rien de poser la question.
** $ZFC\vdash RH$ ou $ZFC\vdash non(RH)$.
Comme je ne connais rien à Zeta, pour vérifier si elle rentre dans le cadre, quelques questions:
1) Quel est son ensemble de définition ?
2) Peut-on la voir comme une courbe fermée du plan projectif sur $\C$?
3) L'ensemble des couples de disques $(C,D)$ de centres et rayons rationnels tels que $C\times D$ rencontre la courbe de Zeta est-il récursif ?
Bon, j'imagine que c'est banal et connu et qu'ou bien (0) est bien connu, ou bien l'une des réponse à 1-2-3 est non, mais ça ne coûte rien de poser la question.
** $ZFC\vdash RH$ ou $ZFC\vdash non(RH)$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
Pour le reste, je n'y comprends rien.
Une démonstration de RH à vérifier (récente pré-publication). En première lecture, ce n'est pas trop nul...
En deuxième lecture, l'article contient des erreurs : la condition $5, b$ ne garantie pas $v(1)=0$ et l'équation différentielle sur $v$ est fausse.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_zêta_de_Riemann
J'en profite pour préciser un truc qui n'a rien à voir sur mes intentions d'hier soir. En aucun cas, je ne souhaite m'attaquer à RH. Il se trouve juste qu'en réfléchissant à tout autre chose [small](précisément au fait que toutes les théories** qui s'obtiennent comme celle des corps réels clos, algébriquement clos, etc, bref n'importe quelle théorie qui singe les aventures d'un espace métrique compact doté de prédicats fermés comme parties de $E^{n_i}$ est décidable (ie elles ont un ensemble d'axiomes récursifs et la théorie engendrée est complète par compacité, donc leur ensemble de théorèmes est récursif)[/small] j'ai remarqué que la théorie positive*** $(E,adh(zeta),+,.,=)$ est décidable (où $E$ est le compactifié naturel de $\mathbb{C}$) sous des hypothèses faibles de la mettre en axiomes, (ce qui me semble trivial d'après ce que je lis). D'où ma demande de plus amples informations, en particulier est-ce que zeta est fermée?
D'après le lien de foys ça semble être tout à fait autre chose, la réalité.
** En fait, ça faisait suite à un fil sur la décidabilité de la géométrie élémentaire que j'avais ouvert
*** j'entends par là : écrite avec $\exists, \forall, predicats, et, ou$, mais pas non (le "non" transforme un fermé en ouvert, on perd la compacité)
et notamment il n'a pas utilisé :
- que $\zeta(s)$ a un Euler product
- il n'a utilisé que le fait qu'elle a une équation fonctionnelle (que $\Xi(t)$ est réelle)
et donc sa preuve ne peut pas marcher, parce qu'il existe des tas de séries de Dirichlet omettant l'une ou l'autre de ses hypothèses (mais ressemblant beaucoup à $\zeta(s)$ sur d'autres points) et pour lesquelles RH est fausse
Y - a - t - il des bons documents (en français) sur $\sigma$? Faciles à lire et avec peu de calculs?
Pas mal!!!
Une question: l'anneau unitaire et commutatif évoqué dans :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Convolution_de_Dirichlet
Qu'est-ce qu'il a comme propriétés nommées de la théorie des anneaux? (Bézout, noethérianité, factorialité, localité, produit de blabla, etc)
Sur $\sigma$, rien que https://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_des_diviseurs me paraît déjà bien.
À noter aussi que si on le munit du produit de convolution unitaire, alors il perd son intégralité.
et il y a en déjà beaucoup dans https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_zêta_de_Riemann
mais ce sont des critères équivalents à RH, il y a bien plus de critères qui impliquent RH (certains y mettent comme exemple "que ZFC est incohérente" implique RH), mais l'exemple le plus intéressant à mon avis étant la conjecture de Mertens (on sait maintenant qu'elle est fausse, mais en la changeant légèrement elle devient équivalente à RH, qui est que $\text{Mertens}(x) = \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon})$)
PS : Sylvain c'est quoi le rapport ?
Je dirais que l'un des rares qui est beaucoup moins trivialement lié à RH c'est l'hypothèse de Lindelöf, qui concerne la rapidité avec laquelle $\sup_{t < T}|\zeta(\sigma+it)|$ croit quand $T \to \infty$, qui associé avec l'idée "qu'en gros $\frac{1}{\zeta(s)}$ ressemble beaucoup à $\zeta(s)$ pour $Re(s) > \sigma_0$" ($\sigma_0 = 1/2$ étant RH) donne des indications sur la vitesse avec laquelle $\sup_{t < T} \frac{1}{|\zeta(\sigma+it)|}$ croit (et donc sur $\sigma_0$).
Dans le genre moins trivial on peut aussi citer les énoncés sur la distribution des zéros de $\zeta'(s)$, et ceux sur les coefficients de la série de Laurent de $\zeta(s)$ ou $\xi(s)$ en $s=1$, et plus généralement ceux sur les propriétés de la fonction entière $\xi(s)$ (liée à un opérateur dont le fait qu'il soit auto-adjoint impliquerait RH, c'est l'idée du pdf plus haut)
Il y a aussi beaucoup d'énoncés sur les caractères de Dirichlet (en lien avec ça et ça ou ça ou ça) qui pourraient impliquer l'hypothèse de Riemann généralisée sachant qu'il y a un "repulsion/conspiracy phenomenom" entre les valeurs de $L(s,\chi)$ à différents $s$ et à différents $\chi$, phénomène dû en gros au fait que ce sont des fonctions holomorphes (sauf $\zeta(s)$ en $s=1$) et que les coefficients $\chi(n)$ sont très réguliers (complètement multiplicatifs, périodiques, et ressemblant aux $e^{2 i \pi k n / N}$ de la transformée de Fourier discrète dont on aurait permuté les $n$) (une des meilleures sources sur la vulgarisation de ces concepts c'est le blog de Terrence Tao)
J'ai un vague souvenir que t(n)/ln(ln(n)) tend vers 1 ou en tout cas une constante en n infini
On a probablement prouvé j'imagine que n|----> sigma(n)/(t(n)×n) est bornée?
Si oui il ya certains nombres K tel que RH équivaut à borne ci-dessus <= K puis comme ça on a que des fonctions arithmétiques. Bon c'est pas qu'elles sont plus faciles mais c'est toujours ça?
Il y a deux idées principales derrière $\zeta(s)$ et plus généralement les séries de Dirichlet :
- la première c'est que la convolution de Dirichlet $a \ast b(n) = \sum_{d | n} b(d) a(n/d)$ est parfaitement compatible avec la factorisation en nombres premiers, et les fonctions multiplicatives (voir wiki/Euler product)
- la deuxième c'est que la "singularité dominante" de $F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} = s \int_1^\infty \sum_{n < x} a_n x^{-s-1}dx$ détermine la vitesse à laquelle croit $\sum_{n < x} a_n$. (ce n'est pas vrai avec toutes les séries de Dirichlet, mais avec $\zeta(s)$ et les fonctions qui sont liées, ça l'est presque toujours)
par exemple avec $a_n = 1$, on a $ \sum_{n < x} a_n \sim x$, et $s \int_1^\infty x x^{-s-1} dx = \frac{s}{s-1}$, et justement le pôle dominant de $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ est en $s=1$ où $\zeta(s) \sim \frac{s}{s-1}$.
avec $\zeta(s)\zeta(s-1) = \sum_{n=1}^\infty \sigma(n) n^{-s}$, son pôle dominant est en $s=2$, où $\zeta(s)\zeta(s-1) \sim \frac{\zeta(2)}{s-2}$, et vu que $\frac{\zeta(2)}{s-2} \sim \frac{\zeta(2) s / 2}{s-2} = s \int_1^\infty \frac{\zeta(2)}{2} x^2 x^{-s-1}dx$ on a que $\sum_{n < x} \sigma(n) \sim \frac{\zeta(2)}{2} x^2$.
encore plus important, $\ln \zeta(s) = \sum_{p^k} \frac{(p^{k})^{-s}}{k} $ (voir wiki/Euler product) dont la singularité dominante est en $s=1$ où $\ln \zeta(s) \sim -\ln(s-1)$, donc $\sum_{p < x} 1 \sim \sum_{p^k < x} \frac{1}{k} \sim \frac{x}{\ln x}$ (c'est le raisonnement de Dirichlet qui lui faisait croire qu'il avait prouvé le théorème des nombres premiers, mais en fait il n'avait pas vérifié que $s=1$ était bien une singularité dominante de $\ln \zeta(s)$, c'est à dire qu'il a oublié de vérifier que $\zeta(s)$ n'a pas d'autre zéro sur $Re(s) = 1$, et quelques autres détails techniques)
vu qu'on a aussi $\ln \zeta(s+1) = \sum_{p^k} \frac{(p^{k})^{-s}}{p^k k}$, singularité dominante $\ln \zeta(s+1) \sim -\ln(s)$, obtient que $\sum_{p < x} \frac{1}{p} \sim \ln \ln x$.
l'hypothèse de Riemann elle s'occupe du terme d'erreur de ces équivalents, c'est à dire de quelle est la singularité dominante de $\ln(s-1)+\ln \zeta(s) $. Si elles sont en $Re(s) = 1/2$, alors $-\frac{x}{\ln x} + \sum_{p < x} 1 = \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon})$ (le $\epsilon$ c'est parce que dans ce cas il y a une infinité de singularités en $Re(s)=1/2$).
enfin, $\sum_{n < x} \sigma(n) \sim \frac{\zeta(2)}{2} x^2$ nous dit qu'en moyenne $\sigma(n) \approx \zeta(2) n$. Le critère de Robin/Lagarias s'occupe des $n$ pour lesquels $\sigma(n)$ est un peu plus grand : quand $n = \prod_{p < k} p$ (un primorial), et alors vu que $ \prod_{p < k} p \sim e^k$, on a $k \sim \ln n$, et $\sigma(n) = n\prod_{p | n} 1+\frac{1}{p} \sim n e^{\gamma + \sum_{p < k} \frac{1}{p}} \sim n e^{\gamma + \ln \ln k} \sim n e^{\gamma}\ln \ln n $,
et sous RH, cet équivalent est aussi une borne supérieure, ce que Robin a prouvé : $$\sigma(n) < n e^{\gamma}\ln \ln n$$
Exemple: majorer sigma(n)divisé par (w(n)fois n) où w(n)est la somme des inverses des nombres premiers jusqu'à n.
On peut faire une course à l'échalote jusqu'à simplifier le plus possible cette suite (sans changer sa vitesse de croissance à l'infini et obtenir des bons énoncés accessibles à tous les amateurs?
De mon téléphone.
PS: parce que e puissance gamma ou autre chose :-D ça reste des constantes réelles bien mystérieuses toute façon?
* par de bonnes constantes.
Par exemple, l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si $1=1$. Mais c'est trés difficile à démontrer.
et pour christophe, la GRH implique RH et pas l'inverse.
yvesm, le mec a retiré son papier? le lien marche pas ou plus.
Dans les articles francophones, on évite généralement le recours à ces abréviations, préférant assez souvent (mais pas tous le temps) écrire l'hypothèse en toute lettre.
Mais bon, sur un forum, on peut accepter tout type de symbolique, pour peu que l'auteur rappelle leur signification (comme par exemple Chaurien lorsqu'il parle de CSSA).