sommes de Kloostermann

Bonjour à tous !

J'aurais besoin d'une petite aide concernant un aspect purement calculatoire d'un exercice sur les sommes exponentielles.

Soit $p$ est un nombre premier impair, $n$ un entier non divisible par $p$ et $\alpha$ un entier positif.
Pour tout entier $h$ tel que $(h, p^\alpha)=1$, $\bar{h}$ représente toute solution de la congruence $h\bar{h} \equiv 1 \pmod {p^\alpha}$.

La somme de Kloostermann est alors définie par:
\begin{eqnarray}
A_{p^\alpha}(n) = \sideset{}{'}\sum_{h \pmod {p^\alpha}} \exp(2 \pi i n (h + \bar{h})/p^\alpha) \qquad (1.1)
\end{eqnarray}
L'apostrophe (') indique que l'indice de sommation parcours seulement un système réduit de résidus modulo $p^\alpha$…

Qualifiées d'"objets ésotériques" par certains auteurs, les sommes de Kloostermann peuvent se prêter à des calculs "élémentaires".

Si $\alpha=1$, on a la transformation:
\begin{equation}
A_p(n) = \sum_{r \pmod p} (r^2 - 4 \mid p) \exp(2 \pi i n r / p) \qquad (1.2)
\end{equation}
$(n \mid p)$ désignant le symbole de Legendre…

Mais quelqu'un sait-il comment on obtient l'égalité suivante:
\begin{equation}
A_p(n)= \sum_{r \pmod p} \quad \sideset{}{'} \sum_{\substack {h+ \bar{h} \equiv r \pmod p \\ h \pmod p}} \exp\big(2 \pi i n(h+\bar{h})/p\big) \qquad (1.3)
\end{equation}
Le corrigé (en anglais) de l'exercice indique que l'égalité ci-dessus a été obtenue en rassemblant dans l'égalité (1.1) les termes pour lesquels $h + \bar{h}$ a la même valeur $r$.
Mais cela reste assez flou. Si quelqu'un peut rajouter des précisions techniques ou à défaut d'explications, un exemple numérique concret pour illustrer cela…

Merci !

P.S: si $\alpha=1$, $A_p(n)$ n'est pas connue en général mais André Weil a obtenu $\mid A_p(n) \mid < 2p^{1/2}$…